2020-2021学年苏教版数学选修2-2课时素养评价 1.3.1 单调性 Word版含解析

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课时素养评价
六单调性
(25分钟·60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.曲线y=x2-2ln x的单调增区间是( )
A.(0,1]
B.[1,+∞)
C.(-∞,-1]和(0,1]
D.[-1,0)和[1,+∞)
【解析】选B.求解函数的导数可得y′=2x-,
令2x-≥0,结合x>0,解得x≥1.
所以单调增区间为[1,+∞).
【误区警示】易错选D,忽略定义域不是R,而是(0,+∞).
2.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( )
A.y=sin 2x
B.y=xe x
C.y=x3-x
D.y=-x+ln(1+x)
【解析】选B.y=xe x,则y′=e x+xe x=e x(1+x)在(0,+∞)上恒大于0.
3.已知函数f(x)=+ln x,则有( )
A.f(2)<f(e)<f(3)
B.f(e)<f(2)<f(3)
C.f(3)<f(e)<f(2)
D.f(e)<f(3)<f(2)
【解析】选A.在(0,+∞)上,f′(x)=+>0,所以f(x)在(0,+∞)上是
增函数,所以有f(2)<f(e)<f(3).
【补偿训练】
函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间是__________________.
【解析】因为f′(x)=3x2-30x-33=
3(x+1)(x-11).
由f′(x)<0,得-1<x<11,
所以f(x)的单调减区间为(-1,11).
答案:(-1,11)
4.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是( )
【解析】选C.由y=f′(x)的图象可知f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故应选C.
【补偿训练】
函数f(x)=x-sin x是( )
A.奇函数且单调递增
B.奇函数且单调递减
C.偶函数且单调递增
D.偶函数且单调递减.
【解析】选A.因为函数的定义域为R,f(-x)=
-x-sin(-x)=-(x-sin x)=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.又f′(x)=1-cos x≥0,
所以函数f(x)=x-sin x在R上是增函数.故A正确.
5.设函数h(x)=mln x+(m∈R)在(1,+∞)上单调递增,则m的取值范围是 ( )
A.m<1
B.m≤1
C.m>1
D.m≥1
【解析】选D.因为h(x)=mln x+,
所以h′(x)=-.由题意,h′(x)=-≥0,
即m≥对x∈(1,+∞)恒成立.
又当x∈(1,+∞)时,<1,所以m≥1.
【补偿训练】
已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是____________.
【解析】f′(x)=3x2-a,由题意知3x2-a≥0,
即a≤3x2在x∈[1,+∞)恒成立.
又当x∈[1,+∞)时,3x2≥3,
所以a≤3,所以a的取值范围是(-∞,3].
答案:(-∞,3]
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.若函数f(x)的导函数为f′(x)=x2-4x+3,则函数f(1+x)的单调递减区间是____________.
【解析】令f′(x)=x2-4x+3<0,得1<x<3,
由1<1+x<3,解得0<x<2,故函数f(1+x)的单调递减区间为(0,2).
答案:(0,2)
【补偿训练】
函数f(x)=2x2-ln x的单调递减区间是_______________.
【解析】因为f′(x)=4x-,令f′(x)<0,
又函数的定义域为(0,+∞),故函数的单调减区间为.
答案:
7.函数y=xsin x+cos x,x∈(-π,π)的单调增区间是_______________.
【解析】y′=xcos x,当-π<x<-时,cos x<0,
所以y′=xcos x>0;当0<x<时,cos x>0,
所以y′=xcos x>0.故函数的单调增区间是和.
答案:和
8.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为____________.
【解析】设F(x)=f(x)-(2x+4),
则F(-1)=f(-1)-(-2+4)=2-2=0.
F′(x)=f′(x)-2,对任意x∈R,F′(x)>0,
即函数F(x)在R上是单调增函数,
则F(x)>0的解集为(-1,+∞),
故f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).
答案:(-1,+∞)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.确定下列函数的单调区间:
(1)y=x3-9x2+24x.
(2)y=3x-x3.
【解析】(1)y′=(x3-9x2+24x)′
=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4).
令3(x-2)(x-4)>0,解得x>4或x<2.所以y=x3-9x2+24x的单调增区间是(4,+∞)和(-∞,2).
令3(x-2)(x-4)<0,解得2<x<4.
所以y=x3-9x2+24x的单调减区间是(2,4).
(2)y′=(3x-x3)′=3-3x2=-3(x2-1)
=-3(x+1)(x-1).
令-3(x+1)(x-1)>0,解得-1<x<1.
所以y=3x-x3的单调增区间是(-1,1).
令-3(x+1)(x-1)<0,
解得x>1或x<-1.
所以y=3x-x3的单调减区间是(-∞,-1)和(1,+∞).
10.已知曲线y=x3+3x2+6x+10,点P(x,y)在该曲线上移动,在P点处的切线为直线l.
(1)求证:此函数在R上单调递增.
(2)求l的斜率k的范围.
【解析】(1)由于y′=3x2+6x+6=3(x2+2x+1)+3=3(x+1)2+3>0恒成立,所以此函数在R上递增.
(2)由(1)知f′(x)=3(x+1)2+3≥3,
所以l的斜率的范围是k≥3.
【补偿训练】
设函数f(x)=ax3+bx2+c,其中a+b=0,a,b,c均为常数,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y-1=0.
(1)求a,b,c的值.
(2)求函数f(x)的单调区间.
【解析】(1)因为f′(x)=3ax2+2bx,
所以f′(1)=3a+2b,
又因为切线x+y=1的斜率为-1,
所以3a+2b=-1,a+b=0,解得a=-1,b=1,
所以f(1)=a+b+c=c,
由点(1,c)在直线x+y=1上,
可得1+c=1,即c=0,所以a=-1,b=1,c=0.
(2)由(1)知f(x)=-x3+x2,
令f′(x)=-3x2+2x=0,解得x1=0,x2=,
当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;
当x∈时,f′(x)>0;
当x∈时,f′(x)<0,所以f(x)的增区间为,减区间为(-∞,0)和.
(20分钟·40分)
1.(5分)已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,则a的取值范围为
( )
A.(-∞,-3)
B.(-∞,-3]
C.(-3,+∞)
D.[-3,+∞)
【解析】选B.因为f′(x)=3ax2+6x-1≤0恒成立,
所以即
所以a≤-3.
【补偿训练】
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(其中a,b,c为实数)在定义域R上单调递增,则实数a,b满足条件为____________.
【解析】f′(x)=3x2+2ax+b,因为f(x)在R上单调递增,即f′(x)≥0恒成立,
所以Δ=(2a)2-12b≤0成立,即a2-3b≤0.
答案:a2-3b≤0
2.(5分)已知函数f(x),g(x)在区间[a,b]上均有f′(x)<g′(x),则下列关系式中正确的是( )
A.f(x)+f(b)≥g(x)+g(b)
B.f(x)-f(b)≥g(x)-g(b)
C.f(x)≥g(x)
D.f(a)-f(b)≥g(b)-g(a)
【解析】选B.据题意,
由f′(x)<g′(x)得f′(x)-g′(x)<0,
故F(x)=f(x)-g(x)在[a,b]上为减函数,
由单调性知识知,必有F(x)≥F(b),
即f(x)-g(x)≥f(b)-g(b),
移项整理得:f(x)-f(b)≥g(x)-g(b).
3.(5分)若函数f(x)=x2-aln x在其定义域内的一个子区间(a-2,a+2)上不单调,则实数a的取值范围是____________.
【解析】定义域为(0,+∞).
f′(x)=x-=.
依据题意知a-2≥0,所以a≥2.
令f′(x)>0得x>.
故函数的减区间为(0,),增区间为(,+∞).
因为f(x)=x2-aln x在(a-2,a+2)上不单调,
所以a-2<<a+2,
又因为a≥2,所以2≤a<4.
答案:2≤a<4
【补偿训练】
设f(x)=-x3+x2+2ax.若f(x)在上存在单调递增区间,则a的取值范围为____________.
【解析】f′(x)=-x2+x+2a,
由题意知在上存在x使-x2+x+2a>0成立,令g(x)=-x2+x+2a, 则g>0,解得:a>-.
答案:
4.(5分)已知函数f(x)=x2+2ax-ln x,若f(x)在区间上是增函数,则实数a的取值范围为____________.
【解析】f′(x)=x+2a-≥0在上恒成立,则2a≥-x+在上恒成立,
因为y=-x+在上为减函数,
所以=,所以2a≥,即a≥.
答案:
【补偿训练】
已知函数f(x)=x3-x2+mx+2,若对任意x1,x2∈R,均满足(x1-x2)·
>0,则实数m的取值范围是____________.
【解析】对任意x1,x2∈R,均满足(x1-x2)·>0,即函数f(x)在R上为增函数,即有f′(x)≥0在R上恒成立.
因为f(x)=x3-x2+mx+2的导数为f′(x)=3x2-2x+m.
所以3x2-2x+m≥0恒成立,
则Δ=4-12m≤0.
解得m≥.
则实数m的取值范围是.
答案:
5.(10分)已知函数y=x+,试讨论出此函数的单调区间.
【解析】y′=′=1-1·x-2=
=,令>0.
解得x>1或x<-1.
所以y=x+的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞).
令<0,解得-1<x<0或0<x<1.
所以y=x+的单调减区间是(-1,0)和(0,1).
6.(10分)设函数f(x)=(m-1)x2-2ln x+mx,其中m是实数.
(1)若f(1)=2,求函数f(x)的单调区间.
(2)当f′(2)=10时,若P(s,t)为函数y=f(x)图象上一点,且直线OP与y=f(x)相切于点P,其中O为坐标原点,求s.
【解析】(1)由f(1)=m-1+m=2m-1=2,得m=,
所以f(x)=x2-2ln x+x(x>0),
所以f′(x)=x-+=.
由f′(x)>0得:x>;
由f′(x)<0得:0<x<.
所以f(x)的单调增区间为,单调减区间为.
(2)由f′(2)=10,得m=3,
所以f(x)=2x2-2ln x+3x.
所以f′(x)=4x-+3(x>0),所以切线的斜率k=4s-+3.又切线OP的斜率为k=,
所以,4s-+3=,即s2+ln s-1=0,
设y=s2+ln s-1,所以y′=2s+>0,
所以,函数y=s2+ln s-1在(0,+∞)上为增函数,
且s=1是方程的一个解,
即s=1是惟一解,所以s=1.
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