高中数学不同课型教学初探

高中数学不同课型教学初探作者：朱辉
来源：《湖北教育·教育教学》2020年第11期
新授课、试卷讲评课是高中数学教学的一些不同课型。

课型不同，教师教学的侧重点自然也会有所不同，采取的教学方法也会大相径庭，运用的教学理念也会略有差异。

一、新授课重在精讲点拨，适时引导
新授课教学的核心要义是“精讲点拨”，注重知识概念的形成。

以教学“椭圆及其标准方程”为例，在建系并写出椭圆上的点满足的方程以后如何化简，教师既要注意放手让学生自己去探索，又要特别注意引导与提示，带领学生走向正确的思维方向。

教师在引导学生建系并写出方程[（x+c）2+y2][+（x-c）2+y2=2a]以后，如何化简该方程呢？此时，教师不急于讲解教材的移项平方、再移项再平方的技巧，而是从学生解答的情况出发，从不同的角度来推导椭圆的标准方程，并且在此过程中加以引导，在思想方法上进行提示。

教师可以这样引导学生：“刚刚有同学直接对该式进行了平方，整理以后的式子是：[2
（x2+y2+c2）][+2（x2+y2+c2）2-4c2x=4a2]，很多同学化简到此处就化简不下去了，这时候该怎样去处理？”这时，有些化简成功的学生会说根号下面次数太高，不太好处理，但是注意到整个式子中出现了相同的结构，即[x2+y2+c2]，这时可以换元，即[t=x2+y2+c2]，让整个式子变得简单，次数也相应降低。

照此方法化简下去可以比较快的得到：[（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）]。

此時，教师引导学生换种思路：“我们将[a2-c2]换元成[b2]，这样可以使整个式子简单、对称，同时也隐含了椭圆的几何意义在其中，下节课我们将会探求[b2]的几何意义。

”这样留下伏笔，可以激发学生继续学习的兴趣。

然后，教师补充：“还有没有更好的方法呢？”一名学生说：“可以移项平方，再移项再平方。

”然后，教师为学生整理出以下两种简化方法。

第一种：注意到两个根号里面的式子的差为[4cx]，所以在原等式的左边乘以[（x+c）
2+y2-（x-c）2+y2]，这样即可得到：[（（x+c）2+y2-（x-c）2+y2）][（（x+c）2+y2][-（x-c）2+y2）=4cx]，又[（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a]①，所以可以得到[（x+c）2+y2-（x-c）
2+y2=2cxa]②;然后由①②两式可解出[（x+c）2+y2=a+cax]或者[（x-c）2+y2=a-cax]。

第二种：注意到[（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a]，结合等差数列中的等差中项的性质，也就是古代数学史中的和差法，我们可以设[（x+c）2+y2=a+t]，[（x-c）2+y2=a-t]，然后将两式平方再相减，即可得：[4at=4cx]，即[t=cxa]，再带回上面两式中，即得到：[（x+c）
2+y2=a+cax]或者[（x-c）2+y2=a-cax]。

到这里，学生已经知道后续的推导过程了，同时也感慨数学方法的奇妙。

教师可以鼓励有兴趣的学生阅读相关数学书籍，培养他们的学习兴趣，提高他们的数学素养。

二、讲评课重在解疑释惑
讲评课是基于学生在各种检测中暴露出来的知识漏洞与能力短板而设计的。

教师在讲解这些共性问题和典型问题时，要力争做到举一反三、触类旁通。

以下是2020年全国一卷“圆锥曲线”的一道例题：如下图，已知A，B分别为椭圆
[E∶x2a2+y2=1（a>1）]的左、右顶点，G为E的上顶点，[AG×GB=8]，P为直线[x=6]上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D。

（1）求E的方程;（2）证明：直线CD过定点。

由于学生已经花了很多时间进行思考，很多学生也已经用不同的方法完成了该题的解答，所以在讲解试卷中的这道题时应该从学生的解答入手，选取一些比较典型的解法，分析各种解法的思考过程，各种解法的计算量的差别，各种解法对于该题的认识等，以下是一些解法举例及分析。

第一种：设P（6，[t]），则直线PA的方程为[y=][t9（x+3）]，联立直线方程与椭圆方程，即可解出点C的坐标。

同理，也可解出点D的坐标，这样就可以写出直线CD的方程。

最后对直线CD的方程进行化简，将方程化简为[y=4t3（3-t2）（x-32）]，即求得直线CD过定点。

第二种：前面的方法与第一种基本相同，但可以在第一种解法上稍做改进，注意到直线CD关于[x]轴的对称性，可以提前判断出直线CD应该过横轴上的定点，所以最后在对直线CD的方程进行化简时，可以直接令[y=0]，即求得[x=32]，为整道题的顺利完成节省时间。

第三种：由第二种思路得到提示，出直线CD应该过横轴上的定点，所以对前面的解法进行改进，直接设直线CD的方程，而且设为横截距式[x=my+n]，然后与椭圆方程关联立即得到：[（m2+9）y2+2mny+n2-9][=0]。

由于直线PA的方程为[y=t9（x+3）]，所以得到[y1=t9（x1+3）]，又直线PB的方程为[y=t3（x-3）]，所以得到[y2=t3（x2-3）]，两式相除可得[3y1（x2-3）=y2（x1+3）]，进一步化简得[2my1y2=（n+3）y2-3（n-3）y1]，将[y1=][-2mnm2+9-y2]，然后进一步化简就可以求出[n=32]。

第四种：在第三种得到[3y1（x2-3）=y2（x1+3）]的基础上，进行另一种化简模式。

由于[x229+y22=1]，故[y22=-（x2+3）（x2-3）9]，可得[27y1y2=-][（x1+3）（x2+3）]，将
[y1+y2=-2mnm2+9]，[y1y2=][n2-9m2+9]代入上式得[（27+m2）][（n2-9）-2m（n+3）mn+
（n+3）2（m2+9）=0]，解得[n=32]。

第一种方法最常规，计算量也最大，最适合学生，是学生最容易采取的方法。

从最后阅卷得分来看，这种方法得分情况最好，虽然没有得满分，但只要写出C，D的坐标，就可以得到相当可观的分数。

第二种方法在第一种方法的基础上进行了改进，不仅可以得高分，而且可以
节省不少时间。

第三、四种方法对学生能力要求极高，但是计算量较第一种和第二种要小很多，其中第三种直接把[y1]用[y2]替换，不是对偶式，学生一般不敢去尝试，但实质上计算量很小。

第四种方法利用平方关系进行替换，变成了对偶式，方法比较巧妙，计算量也较小。

（作者单位：武汉市蔡甸区汉阳一中）。