《二次根式的乘除》精选讲练课件

呢？
问题2 两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？怎样运算？让我们从研究乘法开始．
（3） = 7 ， = 二次根式的商的算术平方根的性质
49 49 7 若成立请用式子表示这一规律
；
（2）
．
9= 9
16 16
=
25 25
36 36 49 = 49
二若次成根 立1式请、乘用除式计混子合表算运示算这上：一规述律 各式，你能再列举出这样的计算吗？你有什么新的发现？
A. 9 B.3 6 C.8 D.6 3
3. 2x 3x 的值是（ A ） A. 6x B. 6x C .6x D.6x2
4. 估计 8 1 3 的运算结果应在（ C ）
2
A、1到2之间
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B、2到3之间
C、3到4之间
D、4到5之间
5. 比较大小 2 3 __＜___ 3 2 - 3 3 _＜____ 2 6
（2）
；
（1）二次根式的乘法运算的依据是什么？
应用积（或商）的算术平方根的性质
的值是（ ）
语言表述：算术平方根的商等于商的算术平方根
若成立请用式子表示这一规律
2.计算：
（1） 16 81 ；（2） 4a2b3（a≥0，b≥0）．
解：（1） 16 81=36； （2） 4a2b3 = 4a2b2 b =2ab b ．
2
2
= 2 2 36 18
归纳总结
=4 2
二次根式的除法扩充法则
m a n b =（m n） a b（a 0,b 0)
课堂练习
(1)12 6 2 3
解：原式 (12 2) 6 3 6 2
(2)5 8 ( 1 2) 3
解：原式 (5 1) 8 2 3
-30
10
三 商的算术平方根的性质及应用
问题4对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围 有何变化？
典例精析
例1 计算
(1) 24 ; (2) 3 1.
3
28
小提醒： 根号下不含开得尽方 的因数.
解: (1) 24 24 8 2 2; 33
(2) 3 1 3 1 3 8 12 2 3. 2 8 28 2
小提醒：
请写出两个二次根式，猜一猜，它们的积应该 是多少？
特殊化，从能开得尽方的 二次根式乘法运算开始思考！
1 4= ？
讲授新课
一 二次根式的除法
1.计算下列各式:
4
4
的值是（ ）
4 2 4 2 解：原式
的值是（ ）
（1） = ， = 思考：对比本节课学习的
和上节课学习的
9 3 9 3 将被开方数尽可能分解成几个平方数
想一想：如何计算
呢？
（1）二次根式的乘法运算的依据是什么？
（3）
．
的值是（ ）
的值是（ ）
变：若（2）的条件为a≤0，b≥0呢？
A、1到2之间
B、2到3之间
将下列式子中根号外的因数（因式）移到根号内.
别为1，2，3，4，5试一试！
解：原式
归、纳 1、当所得二次根式的被开方数的因数（式）中，有一些幂的指数不小于2，即含有
（1） ≥0 (a≥0)
根号下不含开得尽方的因数.
问题4对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变化？
3 将被开方数尽可能分解成几个平方数
(1) （3）
．
特殊化，从能开得尽方的 利用它可以进行二次根式的化简
5
将下列式子中根号外的因数（因式）移到根号内.
（2）
．
语言表述：算术平方根的商等于商的算术平方根
15
拓展应用，能力提升
二次根式乘除混合运算：
合理简洁地进行二次根式的除法运算.
（2）
；
（2）
．
语言表述：算术平方根的商等于商的算术平方根
除式是分数（或分式的）先要转化为乘法再进行运算.
二次根式相除，
不变，
相除
类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到
形如
的除法
二次根式相除，
不变，
相除
理解二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质.
别为1，2，3，4，5试一试！
根号下不含开得尽方的因数.
的运算结果应在（ ）
A、1到2之间
B、2到3之间
解：（1）
；
若成立请用式子表示这一规律
利用 、归纳 类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到
的值是（ ）
达到去掉根号的目的
典例精析
例7 化简
B组：（2）3 2 ; 27
（3） 8 . 2a
解:（1）3 2 3 2 2 3 6 ; 27 3 3 3 3 3
(3) a2 =|a| =
-a (a≤0)
思考
问题1 当a 是正数或0 时， a 是实数吗？取a 值分 别为1，2，3，4，5试一试！
类比有理数的运算，你认为任何两个实数之间可以 进行哪些运算？
加、减、乘、除四则运算
问题2 两个二次根式能否进行加、减、乘、除 运算？怎样运算？让我们从研究乘法开始．
八年级-下册
二次根式的乘除2
难点名称：合理简洁地进行二次根式的除法运算
1
学习目标
1.理解二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质. （重点） 2.合理简洁地进行二次根式的除法运算.（难点）
复习旧知
二次根式的性质:
（1） a ≥0 (a≥0)
双重非负性
(2) ( a )2 a (a≥ 0)
a (a≥0)
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的 算术平方根的性质.
类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到
二次根式的商的算术平方根的性质
a a (a 0,b 0). bb
小提醒： 记住成立的
条件！
归纳： 利用它可以 进行二次根 式的化简
典例精析
例5 化简
A组： (1) 3 ; 100
(2) 75 . 27
典例精析
将被开方数尽可能分解成几个平方数
1 二次根式的除法扩充法则 1.计算：（1）3 5 ；（2） 别为1，2，3，4，5试一试！
问题2 两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？怎样运算？让我们从研究乘法开始． 化简二次根式的步骤：
3
27.
将平方项应用 化简
将下列式子中根号外的因数（因式）移到根号内.
4.己知 48x 是不大于100的整数，求整数x的值．
48x 100 48x 10000
x 625 3
又因为 48x 0 x0
综上所述：0 x 625 , 3
故x取0 625 之间的整数。 3
随堂练习
课堂小结
（1）二次根式的乘法运算的依据是什么？ （2）在本节课学习中你认为容易出错的地方在哪里？
思考：对比本节课学习的
和上节
课学习的 ，你发现它们之间有什么区
别和联系？
除式是分数（或分式的）先要转 化为乘法再进行运算.
二 形如m a n b（a 0,b 0)的除法
你还记得单项式除以单项式法则吗？试回顾如何计算
想一想：如何计算 2 36 1 18 呢？ 2
试回顾如何计算
？
解：2 36 1 18 （2 1）（ 36 18）
完全平方的因式（数），我们就可利用积的算术平方根的性质，并用
来化简二次根式。
2、二次根式的乘除混合运算，先把根号外的系数依次相乘除，再把根号下的被开 方数依次相乘除，最后再化简二次根式。
做一做
1. 3 2 2 3 的值是（ A ） A. 6 6 B.12 C.36 D.6 5
2. ( 2 3) 3 的值是（ B ）
，你发现它们之间有什么区
；
解：（1）
；
4 别为1，2，3，4，5试一试！
（1）二次根式的乘法运算的依据是什么？
16 加、减、乘、除四则运算
（2） = 5 （1）二次根式的乘法运算的依据是什么？
想一想：如何计算
2呢5？
，
16 = 25
4 5
；
（2）
；
6 根号下不含开得尽方的因数.
36 36 6 想一想：如何计算
变：若（2）的条件为a≤0，b≥0呢？
3.计算：
（1） 14 7；（2）3 5 2 10 ；（3） 3x 1 xy．
3
解：（1 ） 14 7= 14 7= 72 2=7 2 ；
（2）3 5 2 10=6 5 10=30 2 ；
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y ．
出错的原因是什么？
学习这件事不在乎有没有人教 你，最重要的是在于你自己有没有 觉悟和恒心。
—— 法布尔
还有其他
解: (1) 3 3 3 ； 100 100 10
解法吗?
(2)
75
52 3 52 5
.
27 32 3 32 3
补充解法：
75 27
75 5 3 5 27 3 3 3
典例精析
例5 化简 2、将上面运算过程中的两个非负实数分别换成 ，上面的结论是否仍然成立？
将被开方数尽可能分解成几个平方数
（2） 8 2 2 2 2 a 2 a . 2a 2a a a a a
归纳 化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数
2.应用积（或商）的算术平方根的性质
3.将平方项应用
化简
4.二次根式运算的结果中，被开方数不含能开得尽方的因数或因式
课堂练习
(1) 3 6
(2) 2 3 40
除式是分数（或分式的）先要转化为乘法再进行运算.
别为1，2，3，4，5试一试！
的值是（ ）
1、当所得二次根式的被开方数的因数（式）中，有一些幂的指数不小于2，即含有完全平方的因式（数），我们就可利用积的算术平方根的性质，并用
将下列式子中根号外的因数（因式）移到根号内.
特殊化，从能开得尽方的
问题4对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变化？
2、将上面运算过程中的两个非负实数分别换成 ，上面的结论是否仍然成立？
若成立请用式子表示这一规律
a b
a b
（a≥0，b＞0）
归纳总结
二次根式的除法法则
a a bb
(a 0, b 0).
二次根式相除， 根指数 不变，被开方数 相除 语言表述：算术平方根的商等于商的算术平方根
想一想：除式中被开 方数b为什么不能等 于0?
3
3
做一做
1.等式 x 1 x 1 x2 1成立的条件 __1___x___1__
2.将下列式子中根号外的因数（因式）移到根号内.
(1).3 2 ____6___(2)a 1 ______a___
3
a
3.已知a b,化简二次根式 a3b的正确结果是( A )
A. a ab B. a ab C .a ab D.a ab