电学2(56)电容器和电场能量

qkVk1 qkVk2 qkVkn)
W
k

1 2
qiVi
i1
n1

1 2
qiVi
i1
Vi1 Vi2 Vi,i1 Vi,i1 Vin
n
故, 对n个点电荷组成的电荷系
W

1 2
qiVi
i1
2. 电容器储存的静电能
应用：闪光灯…
电容器带电时具有能量，实验如下：
并且： 电场力做功(A) = 电荷电势能的减少(–W)
设q 在电场中a、b 两点的电势能分别为Wa、Wb，
将q 由 a b 电场力所做的功为：
.b
E
Aab (Wb Wa )
.a
Wa Wb
又： Aab ab qE dl q(Va Vb )
一点电荷q在电场中 具有电势能：
C2
C C1 C2 Ck
若增强耐压，可将多个电容串联：
…
Ck
V1 V2 … Vk
V
C
耐压强度：V V1 V2 VK
但是电容减小：
1 C

1 C1

1 C2

1 Ck
3.电容器电容的计算
另解：看作三个电容器的串联．
例: 一平行板电容器，两极板间距为b、面积为S， 其中置一厚度为t 的平板均匀电介质，其相对 应用：
一般讲，导体不同，C就不同。如同容器装水：
例：求一个带电导体球的电容。 设球带电q .
V
地球半径

q
4 0 R
C
R=6.4106m
q V
4 0 R
C 700106F 700 F
2. 电容器及其电容
B qA
如图如则：何：带消V电q除AAq其A的C它导导E体、体旁F的上若影的有响感其？应它电导荷体静影E、电响F屏VA蔽
D 2rl l D
2r b r R2
E D 2 r 20r r
D 2rl l D E D
2r
0 20r
V
R2
E

dr
R1

a R1
2
0r
dr

b a
20rr
t
介电常数为r,
求该电容器的电容C。
解：根据定义
C

q
V
r
b 设极板面密度为、-
油量计，
测r ，
由高斯定理可得：
…
V
空气隙中 D -
V V +E·dl


则：E 0 t tt
( 1 1
0t 1
介质中
b
t t )E·dl 1
D
求C的步骤：由 q自
D

E

V
C

q
V
C与q无关，但为求出V，可先假设极板带电。
注：
(1)衡量一个实际的电容器的性能主要指标 常用电容：100F25V、470pF60V
C的大小 耐压能力
(2)在电路中，一个电容器的电容量或耐压能力不够时，
可采用多个电容连接：
C1
如增大电容，可将多个电容并联：
1. 点电荷系的互能：
（1）两个点电荷q1, q2组成的系统
设电荷q1静止, 将q2由现有位置移到无穷远处,
在此过程中,

q1的电 场力对q2做的功为
A12 r q2
F dr
q1
r 40r2
r er
q2E1dr
dr q2
q1
40r
q2V21
qVa qVb 两式比较有：Wa qVa Wb qVb
W qV 电荷与场源电荷 的相互作用能
例. 求电偶极子在均匀电场中的电势能。
点电荷的电势能
W qV
解：两电荷的电势能分别是：
W qV W qV
p
E
W W W qV V


2r2 1r1

r2 2r1
E1 E2
当电压升高时，外层介质先达到EM被击穿
击穿时，介质分界处的电场： 最大电荷线密度：M 2 2EMr
EM

M 2 2r
两筒最大电位差：
V

r R1
M 2 1r1
dr1

R2 r
M 2 2r2
dr2

1 2
EMr
ln
电解电容器 (160V470 F)
例: 求平行板电容器的电容C。 应用：键盘，触摸屏，…
设:平行金属板的面积为S，间距为d，充满介电常数
为 的电介质，左极板+q，右极板-q
q q 分析：C V E D q自

解：取底面积为S的高斯柱面，如图所示
根据高斯定理：

只要两极导体的电势差不受或可忽略外界的影响即可。
例如：一对靠得很近的平行平面导体板


生活中的电容器：
70 厘米
12 厘米
高压电容器(20kV 5~21F) (提高功率因数)
聚丙烯电容器 (单相电机起动和连续运转)
2.5 厘米
2.5 厘米
涤纶电容 (250V0.47F)
陶瓷电容器 (20000V1000pF)
பைடு நூலகம்
)


b a
sin

b a
则：a b
sin

1
ln(1

a b
sin
)

a b
sin

1 2
(ab
sin
)2



C

a2 0 b
(1
1a 2b
sin )

a2 0 b
(1
a
2b
)
证毕
第 8 节、静电场的能量
一、电荷在外电场中的静电势能
任何电荷在静电场中都具有势能——静电势能
傅华华
第二篇
回顾：
静电场中的电介质
电介质放入外电场，其表面上都会出现电荷—电极化
取向极化（有极分子）
电极化 位移极化（无极分子）
电极化强度矢量
P

pi
V


有介质存在时的高斯定理

电位移矢量: D E
DdS q自
S
S内


P e0E
D r0E
0
a2 b
(1
a
2b
)
(忽略边缘效应)
x dx
证明：整体不是平行板电容器
b+xsin

b
但在小块面积 adx 上，可认为 是平行板电容器, 其电容为：
a
C

S
d
dC

b
adx 0
x sin
C

dC

a
0
b


adx
0
x sin

a 0
sin
ln(1

a b
sin
W

1 CV 2
1S
V
E 2d 2
2
2d

1 2
S
d
E2
并且 V Ed
Sd

1 2
E
的均匀介质板。设极板带电Q，忽略边缘效应。
求(1)该电容器的电容C，(2) 两极板间的电势差V。
解：（1） 等效两电容的并联
t
S 2 r
b
左半部：C左

b
0 S /2

r

1t
C

b
S 0

r

1t

r
右半部： C右
0
S b
2
r
电容并联相加： C

C左

C右

S2 b 1t
R22 rR1
三、电容
1.孤立导体的电容 若一孤立导体带电+q ,
V 0
V p Edl
V
q
则该导体具有一定的电势V，且q 、V
即有：
q V
C
C=比例系数
与q、V无关 与导体的尺寸形状有关
C：称为孤立导体的电容。 单位：F(法拉)
物理意义：导体每升高一个单位的电势所需要的电量。
0
r
r
2b b 1t
r
r
（2） V

Q C

2b b 1tQ
r
r
S2 b 1t
0
r
r
问：
Q左=？Q右
例. 一电容器两极板都是边长为a的正方形金属平板，但
两板不严格平行有一夹角。证明：当

b a
时，
该电容器的电容为：C

一对靠得很近的平行平面导体板静电屏蔽ab为电容器的两极板25厘米高压电容器20kv521f提高功率因数聚丙烯电容器单相电机起动和连续运转陶瓷电容器20000v1000pf涤纶电容250v047f电解电容器160v47012厘米25厘米70厘米生活中的电容器
大学物理
College Physics
主讲
华中科技大学物理学院
D0E P
r0
(均匀、各向同性介质中)
r 1 e
有介质存在时的环路定理 Edl 0
解题
步骤:
由q自
L


DdS q自 D
E

D



P e0E
例. 如图, 在两无限长导体圆筒中间有一层柱壳状均匀介质。

求：（1）各区D 、E 及筒间电压 V
E
F
VB=0 VA–VB=VA
不受E、F的影响
则A的电容为：
C

q VA
q VA VB
与B紧密相关
注：即使B不接地，VA–VB qA 并与E、F无关。
这种由A、B组成的导体系统
电容器
其电容为：
C AB

VA
q VB
或
C

q
V
A、B为电容 器的两极板
注：组成电容器的两极导体，并不要求严格的屏蔽，

r0
则：E
b r


r0
1
r
t
与t的位置无关
C

q
V

S r0
b 1
r
r
S
t

b

0
r
1
t
r
S 0 b
t、C
t=b
S
C r 0
b
例.一平行板电容器，两极板间距为b、面积为S，在其间
平行地插入一厚度为t，相对介电常数为r，面积为S/2
r q2 q1
约定: Vij ——电荷j在电荷i处产生的电势
静电能： W A12 q2V21
W

1 2
(q1V1

q2V2)
(教材上)
类似地,若电荷q2静止, 将q1由现有位置移到无穷远处,
可得:
W A21 q1V12
W

1 2
(q1V12

q2V21)
(对称)
（2）多个点电荷组成的系统


q E dl q E dl q Ecosdl



qlEcos
θ = 0, cosθ = 1, W = -pE,
即：W
p


p
ql

E
电势能最低，稳定平衡态。
θ = ,cosθ = -1,W = pE,
电势能最高，非稳定平衡态。
二、带电体系的静电能
W

1 2
(q1V12

q2V21)
两个点电荷 组成的系统
可证明, 对n
个点电荷组 W
成的电荷系

1 2
n
qiVi
i1
(数学归纳法)
移动第k个点电荷 到无穷远处的功
n
对n+1(=k
)个点电荷组成的系统:
W

Ak
1 2
qiVi
Ak

1 2
(q1V1k

q2V2k
qnVnk
i1
0



DdS DdS DdS DdS DS
S
d
左
q自 S
两极间的电势差：
C

q
V

侧
V
S
d
右
D

Edl C
EEdDd 、S、d1

若要增大C： 增大S、 减小d、 或选用r大的电介质
.
a
.
K. b
将K倒向a端电容充电 再将K到向b端 灯泡发出一
次强的闪光
C
R
能量从哪里来？ 电容器释放
计算当电容器带有电量Q、相应的
电压为V 时，所具有的能量W=？
利用放电时电场力做功来计算：
将放(电–d到q)某的t正时电刻荷，，极从板正还极剩板电荷负q，极极板板，的电电场位力差做u功为Cq：
（2）若介质击穿场强为 EM
则筒间最大电压 VM ?
R1
a
b
R2

r
解：（1）由

sDds

q
r R1 , r R2
R2
R1
a

R1 r a
D0
E

D
0

0
b

r
r

l
D
E
D 2rl l D
2r
arb
E D 0 20r
dr

R2 b
2
0r
dr
V

2
0
(ln
a R1

1
r
ln
b a

ln
R2 b
)
（2）何处先击穿？ r a 处
R1
a
b
R2

r
EM

2 0 ra
2
0

EM
ra
筒间最大电压：
VM

E
M

r
a(ln
a R1
1 r
ln b ln R2 )
a
b
例. 两共轴的导体圆筒内外半径分别为R1、R2(R22R1) 其间有两层均匀介质，分界面上半径为r，内外层介
电荷系的静电能: 当系统由多个静止的电荷组成时, 这些电荷之间 的静电相互作用能的总和称为该电荷系的静电能。
静电能的数值是相对的. 一般取诸电荷相距无限远时的静电能为零。
电荷系统的静电能等于将系统中各电荷从现有的位置 到彼此分散到无限远的过程中, 它们之间的静电力所做 的功; 或等于将各电荷从无限远移动到现有位置过程 中，外力做的功。
A


dA

u(-dq)


0
Q