人教A版高中数学选修2-1课件2.1《求曲线的方程》(第二课时).pptx
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上式两边平方，并整理得x+2y－7=0.①
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是 方程①的解；（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即 x1+2y1－7=0,x1=7－2y1. 点M1到A，B的距离分别是 M1 A ( x1 1)2 ( y1 1)2 (8 2 y1 )2 ( y1 1)2
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
2.1曲线与方程
2.1.2求曲线的方程
通过美丽的南沙群岛中，在甲岛、乙岛军舰巡逻的路线引入新课 ，在回顾曲线与方程概念的基础之上，学习如何建立曲线的方程 。以学生自主探究为主，探究求曲线的方程的基本步骤，尝试用 代数方法研究几何问题。在几何问题代数化以后，注意检验是否 产生增解或漏解。 通过例1探讨求曲线方程的一般方法.通过例2说明检验是否产生 增解或漏解的重要性。通过这两个例题，了解坐标法的解题方法 ，明确建立适当坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线 上的点应适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节。 例题2强调求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选 择适当坐标系.求得方程后需要检验，防止产生增解或漏解。
解析几何与坐标法 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐 标法.在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成 的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方法 研究几何问题的一门数学学科.
平面解析几何研究的两个基本问题.
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海 上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为直角 ，你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线，你能为它写出一个 方程吗？
南沙群岛风光视频
/edu/ppt/ppt_playVideo.action?me diaVo.resId=55d6bf4caf508f0099b1c732
1 直线与方程的关系
复 2 圆与方程的关系
习
3 曲线与方程的概念
4 求曲线的方程步骤
求曲线的方程的步骤
上一节，我们已经学习了曲线的方程与方程的曲线的 概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系， 用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合 或 轨 迹 ， 用 曲 线 上 点 的 坐 标 （ x,y ） 所 满 足 的 方 程 f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究 曲线的性质.
5( y12 6 y1 13);
M1B ( x1 3)2 ( y1 7)2 (4 2 y1 )2 ( y1 7)2 5( y12 6 y1 13).
即点M在线段AB的垂直平分线上. 由(1)、(2)可知,方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
由上述例子可以看出，求曲线的方程，一般有下面几个步骤： (1)建系设动点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示所求曲线 上任意一点M的坐标；（求一谁般设情谁况）下，化简前后方程的解集 (2)列几何条件:写出适合是条相件同p的的，点步M的骤集（合5）P=可{M以|p省(M略)}不; 写， (3)坐标代换:用坐标表示如条有件特p殊(M情),况列，出可方适程当f(予x,以y)说=0明; .另 (4)化简:化方程f(x,y)=外0为，最也简可形以式根；据情况省略步骤（2）， (5)证明:说明以化简后的直方接程列的出解曲为线坐方标程的. 点都在曲线上.
典例展示
【例1】设A,B两点的坐标分别是(－1,－1)，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程.
解析：设点M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任意一点，
也就是点M属于集合
P=｛M|｜MA｜=｜MB｜｝.
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
(x 1)2 (y 1)2 (x 3)2 (y 7)2 .
课后练习 课后习题
离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.
分析：在建立坐标系时，一般应当充分利用已知条件中的 定点、定直线等，这样可以使问题中的几何特征得到更好 的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.
解：如图，取直线l为x轴, 过点F且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy.
设点M(x,y)是曲线上任意一点，作
1.本节学习了一种方法--直接法求曲线方程; 2.直接法求曲线方程五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐
步转化为含动点坐标的代数方程的过程.(因此求曲线方程时要 注意挖掘题中形成曲线的等量关系); 3.求曲线方程时,五个步骤不一定要全部实施.如第二步、第五步；
注意:(1)建系要适当；
(2)化简变形要考查等价与否(即考察曲线的完备性和纯粹性).
(x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 26， 化简得 x2 y2 4.
y
M
A
B
3 O 3 x
建立适当坐标系的基本原则: （1）定点、定线段常选在坐标轴上; (2）原点有时选在定点; （3）充分利用对称性，坐标轴可选为对称轴.
另外注意：坐标系不同虽曲线形状一样其方程却不同； 要注意选择几何图形与坐标系的适当相对位置，以简 化方程形式.
的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是 y
1 x（2 x
8
0）.
通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是 求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点应适合的条件列出等式， 是求曲线方程的重要环节，严格按步骤解题是基本能力.
解：如图建立坐标系，设两定点 A(-3,0)，B(3,0)，动点M(x, y), 则|MA|2 |MB|2 26 , 即
1.如何把实际问题转化为数学问题？ 2.你觉得应如何建立直角坐标系？ 3.从军舰看甲乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件？ 4.所求方程与军舰巡逻路线是否对应？
典例展示
【例2】已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2. 一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距
y
MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集
P=｛合M|｜MF｜－｜MB｜=2｝. F
两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
O
M
B
x
x2 ( y 2)2 y 2,
①
将①式移项后两边平方，得
x 2 (y 2)2
(y 2)2,
化简得 y
1 x2.
8
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程
1.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A(-2,0)，B(-
4,0),则圆C的方程为.(x+3)2+(y-2)2=5
2.在△ABC中，B，C坐标分别为（-3，0），（3，0）， 且三角形周长为16，则点A的轨迹方程是__2x5_2 _+_1y_62__=_1_(_x_≠__±__5.)
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是 方程①的解；（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即 x1+2y1－7=0,x1=7－2y1. 点M1到A，B的距离分别是 M1 A ( x1 1)2 ( y1 1)2 (8 2 y1 )2 ( y1 1)2
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
2.1曲线与方程
2.1.2求曲线的方程
通过美丽的南沙群岛中，在甲岛、乙岛军舰巡逻的路线引入新课 ，在回顾曲线与方程概念的基础之上，学习如何建立曲线的方程 。以学生自主探究为主，探究求曲线的方程的基本步骤，尝试用 代数方法研究几何问题。在几何问题代数化以后，注意检验是否 产生增解或漏解。 通过例1探讨求曲线方程的一般方法.通过例2说明检验是否产生 增解或漏解的重要性。通过这两个例题，了解坐标法的解题方法 ，明确建立适当坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线 上的点应适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节。 例题2强调求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选 择适当坐标系.求得方程后需要检验，防止产生增解或漏解。
解析几何与坐标法 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐 标法.在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成 的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方法 研究几何问题的一门数学学科.
平面解析几何研究的两个基本问题.
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海 上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为直角 ，你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线，你能为它写出一个 方程吗？
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1 直线与方程的关系
复 2 圆与方程的关系
习
3 曲线与方程的概念
4 求曲线的方程步骤
求曲线的方程的步骤
上一节，我们已经学习了曲线的方程与方程的曲线的 概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系， 用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合 或 轨 迹 ， 用 曲 线 上 点 的 坐 标 （ x,y ） 所 满 足 的 方 程 f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究 曲线的性质.
5( y12 6 y1 13);
M1B ( x1 3)2 ( y1 7)2 (4 2 y1 )2 ( y1 7)2 5( y12 6 y1 13).
即点M在线段AB的垂直平分线上. 由(1)、(2)可知,方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
由上述例子可以看出，求曲线的方程，一般有下面几个步骤： (1)建系设动点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示所求曲线 上任意一点M的坐标；（求一谁般设情谁况）下，化简前后方程的解集 (2)列几何条件:写出适合是条相件同p的的，点步M的骤集（合5）P=可{M以|p省(M略)}不; 写， (3)坐标代换:用坐标表示如条有件特p殊(M情),况列，出可方适程当f(予x,以y)说=0明; .另 (4)化简:化方程f(x,y)=外0为，最也简可形以式根；据情况省略步骤（2）， (5)证明:说明以化简后的直方接程列的出解曲为线坐方标程的. 点都在曲线上.
典例展示
【例1】设A,B两点的坐标分别是(－1,－1)，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程.
解析：设点M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任意一点，
也就是点M属于集合
P=｛M|｜MA｜=｜MB｜｝.
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
(x 1)2 (y 1)2 (x 3)2 (y 7)2 .
课后练习 课后习题
离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.
分析：在建立坐标系时，一般应当充分利用已知条件中的 定点、定直线等，这样可以使问题中的几何特征得到更好 的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.
解：如图，取直线l为x轴, 过点F且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy.
设点M(x,y)是曲线上任意一点，作
1.本节学习了一种方法--直接法求曲线方程; 2.直接法求曲线方程五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐
步转化为含动点坐标的代数方程的过程.(因此求曲线方程时要 注意挖掘题中形成曲线的等量关系); 3.求曲线方程时,五个步骤不一定要全部实施.如第二步、第五步；
注意:(1)建系要适当；
(2)化简变形要考查等价与否(即考察曲线的完备性和纯粹性).
(x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 26， 化简得 x2 y2 4.
y
M
A
B
3 O 3 x
建立适当坐标系的基本原则: （1）定点、定线段常选在坐标轴上; (2）原点有时选在定点; （3）充分利用对称性，坐标轴可选为对称轴.
另外注意：坐标系不同虽曲线形状一样其方程却不同； 要注意选择几何图形与坐标系的适当相对位置，以简 化方程形式.
的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是 y
1 x（2 x
8
0）.
通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是 求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点应适合的条件列出等式， 是求曲线方程的重要环节，严格按步骤解题是基本能力.
解：如图建立坐标系，设两定点 A(-3,0)，B(3,0)，动点M(x, y), 则|MA|2 |MB|2 26 , 即
1.如何把实际问题转化为数学问题？ 2.你觉得应如何建立直角坐标系？ 3.从军舰看甲乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件？ 4.所求方程与军舰巡逻路线是否对应？
典例展示
【例2】已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2. 一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距
y
MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集
P=｛合M|｜MF｜－｜MB｜=2｝. F
两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
O
M
B
x
x2 ( y 2)2 y 2,
①
将①式移项后两边平方，得
x 2 (y 2)2
(y 2)2,
化简得 y
1 x2.
8
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程
1.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A(-2,0)，B(-
4,0),则圆C的方程为.(x+3)2+(y-2)2=5
2.在△ABC中，B，C坐标分别为（-3，0），（3，0）， 且三角形周长为16，则点A的轨迹方程是__2x5_2 _+_1y_62__=_1_(_x_≠__±__5.)