1.5.1 比较法 教学案 2

1.5.1 比较法 教学案 2
教学目标:
1．理解，掌握比较法证明不等式．
2．培养渗透转化、分类讨论等数学思想，提高分析、解决问题能力．
3．锻炼学生的思维品质(思维的严谨性、灵活性、深刻性)．
教学重点与难点:
求差比较法证明不等式是本节课的教学重点；求差后，如何对“差式”进行适当变形，并判断符号是本节课教学难点．
教学过程设计:
一、复习提问：
1．不等式的一个等价命题
2．比较法之一(作差法)步骤：作差——变形——判断——结论
二讲授新课
今天我们继续学习不等式基本证明方法.
1、作差法：
3322
1 ,,,a b a b a b a b ab ≠+>+例已知都是实数且求证33223223:()()()()a b a b ab a a b ab b +-+=---证明
2222()()()()a a b b a b a b a b =---=--2()()a b a b =+-
,0,0a b a b >∴+>Q 2()0a b a b ≠∴->Q 又
23322()()0()()0a b a b a b a b ab +->+-+>故即
3322a b a b ab ∴+>+
2 ,,,,,.
a akg bkg
b a m mkg b m
++例如果用白糖制出糖溶液则其浓度为
若在上述溶液中再添加白糖此时溶液的浓度增加到
将这个事实抽象为数学问题并给出证明 ::
,,,,a m a a b m a b b m b +<>+解可以把上述事实抽象成如下不等式问题已知都是正数并且则
下面给出证明： ()()
a m a m
b a b m b b b m +--=++
0,,,,
()0,()0
b a b a a b m m b a b b m <∴->∴->+>Q Q 又都是正数 ()0 0()m b a a m a a m a b b m b m b b m b
-++∴>->∴>+++即 说明：将差式因式分解变形为几个因式积的形式，对每个因式进行分析，判断符号，从而使因式积的符号可以判断，差式符号即可判断．
2、作商法：
3 ,,,,.
a b b a a b a b a b a b ≥=例已知是正数求证当且仅当时等号成立:a b a b a b b a b a a b a a b a b b ---⎛⎫== ⎪⎝⎭证明
(,,)
0,1,0,1,.
a b a b a a a b a b b b a b -⎛⎫≥>≥-≥∴≥ ⎪⎝⎭
=根据要证的不等式的特点交换的位置不等式不变不妨设则当且仅当时等号成立 ,,.a b b a a b a b a b ∴≥=当且仅当时等号成立
说明：作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较.
三、小结
在了解不等式证明的含义的基础上，今天主要学习了不等式证明常用方法之一，比较法(或称求差比较法)证明不等式，它是不等式证明中最基本、最重要的证明方法．要明确求差比较法证明不等式的依据，理解转化，使问题简化是求差比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在今后学习中继续积累方法．。