九年级数学上册第二章一元二次方程4用因式分解法求解一元二次方程
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第九页，共二十八页。
(因式分解法)原方程可化为[(2x＋1)－3][(2x＋1)＋3]＝0，即(2x－2)(2x＋4) ＝0，
∴2x－2＝0 或 2x＋4＝0， ∴x1＝1，x2＝－2. (公式法)原方程变形为 4x2＋4x＋1－9＝0， 即 4x2＋4x－8＝0， 两边同时除以 4，得 x2＋x－2＝0， 则 x＝－12± 9＝－12±3， ∴x1＝1，x2＝－2.
第二十三页，共二十八页。
请模仿上面的方法解方程：(x－1)2－5|x－1|－6＝0. 解：原方程化为|x－1|2－5|x－1|－6＝0， 令 y＝|x－1|，原方程化成 y2－5y－6＝0， 解得 y1＝6，y2＝－1. 当|x－1|＝6 时，x－1＝±6， 解得 x1＝7，x2＝－5； 当|x－1|＝－1 时(不符合题意，舍去)． 则原方程的解是 x1＝7，x2＝－5.
第二十六页，共二十八页。
(3)∵△ABC 是等边三角形，∴a＝b＝c， ∴原方程变形为 2ax2＋2ax＝0. ∵a≠0，∴x1＝0，x2＝－1.
第二十七页，共二十八页。
内容(nèiróng)总结
No 第二章 一元二次方程。x1＝0，x2＝2。4 Image
12/11/2021
第二十八页，共二十八页。
第七页，共二十八页。
【点悟】 (1)用因式分解法解方程的关键是方程左边的因式分解． (2)根据所给方程的形式适当变形，得到符合一定公式的式子是因式分解法 解方程的常用方法．
第八页，共二十八页。
类型之二 用不同的方法解一元二次方程 用三种不同的方法解方程(2x＋1)2－9＝0.
解：(直接开平方法)移项，得(2x＋1)2＝9， 开平方，得 2x＋1＝±3， 即 2x＋1＝3 或 2x＋1＝－3， ∴x1＝1，x2＝－2.
第二十二页，共二十八页。
7．[2016·淄博]阅读下面的例题，解方程 x2－|x|－2＝0.
解：原方程化为|x|2－|x|－2＝0. 令 y＝|x|，原方程化成 y2－y－2＝0， 解得 y1＝2，y2＝－1. 当|x|＝2 时，x＝±2；当|x|＝－1 时(不符合题意，舍去)． ∴原方程的解是 x1＝2，x2＝－2.
第十九页，共二十八页。
(5)3(x－2)2＝x(x－2)． 解：(x－2)(3x－6－x)＝0， ∴2(x－2)(x－3)＝0， ∴x1＝2，x2＝3.
第二十页，共二十八页。
5．[2017·萧山区期中]已知(x2＋y2)(x2＋y2－1)＝12，则 x2＋y2 的值是__4__． 【解析】 设 x2＋y2＝A，则原方程化为 A(A－1)＝12，解得 A＝－3 或 A
第十七页，共二十八页。
(3)x2＋5＝5(x＋1)； 解：∵x2＋5＝5(x＋1)， ∴x2＋5＝5x＋5， ∴x2－5x＝0， ∴x(x－5)＝0， ∴x1＝0，x2＝5.
第十八页，共二十八页。
(4)x2＋8x＋16＝(3＋5x)2； 解：x2＋8x＋16＝25x2＋30x＋9. ∴24x2＋22x－7＝0， ∴(4x－1)(6x＋7)＝0， ∴x1＝14，x2＝－67.
第二十五页，共二十八页。
解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由： 把 x＝－1 代入方程，得 2A－2B＝0， ∴a＝b， ∴△ABC 是等腰三角形． (2)△ABC 是直角三角形．理由： ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2B)2－4(A＋C)(A－C)＝0， ∴b2＋c2＝a2， ∴△ABC 是直角三角形．
＝4.∵不论 x，y 为何值，x2＋y2 不能为负数，∴x2＋y2＝4.
第二十一页，共二十八页。
6．已知(x2＋4x－5)0＝x2－5x＋5，则 x＝__4__． 【解析】 依题意，得 x2－5x＋5＝1， 解得 x1＝1，x2＝4， 当 x＝1 时，x2＋4x－5＝0，不符合； 当 x＝4 时，x2＋4x－5≠0， 所以 x＝4.
第四页，共二十八页。
2．解一元二次方程的四种方法 基本方法：(1)_直_接__(_zh_íj_iē_)开__平_方__法；(2)_配__方__法__(f_ān；gf(ǎ3) )_公__式__(_gō_n_gs；hì()法4)_因__式__分_解__法___． 解法顺序：直接开平方法→因式分解法→公式法，若没特殊说明一般不选 用配方法． 注 意：整体思想或整体换元常贯穿于解题之中．
第二十四页，共二十八页。
8．已知关于 x 的一元二次方程a＋cx2＋2bx＋a－c＝0，其中 a，b，c 分 别为△ABC 的三边的长．
(1)如果 x＝－1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
第十三页，共二十八页。
4．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－9＝0；
(2)x2－4x＋4＝0.
解：(1)x2－9＝(x＋3)(x－3)＝0， ∴x＋3＝0 或 x－3＝0， ∴x1＝3，x2＝－3. (2)x2－4x＋4＝(x－2)2＝0， ∴x1＝x2＝2.
第十四页，共二十八页。
分层作业
1．方程(x＋1)(x－2)＝x＋1 的解是( D ) A．2 B．3 C．－1，2 D．－1，3 2．一元二次方程 x2－2x＝0 的解是__x_1＝__0_，__x2_＝__2_____． 3．方程 3(x－5)2＝2(x－5)的根是___x_1＝__5_，__x_2_＝__13_7_____．
第十页，共二十八页。
【点悟】 经过此题的训练可以体验到对于某些形式的方程，选用因式分解 法最为简便．
第十一页，共二十八页。
类型之三 用换元法解方程 解方程：(x2－2x)2＋(x2－2x)－2＝0.
解：设 y＝x2－2x. 原方程可变为 y2＋y－2＝0. 解得 y＝－2 或 1， 即 x2－2x＝－2 或 x2－2x＝1. 当 x2－2x＝－2 时，Δ＜0，没实数根； 当 x2－2x＝1 时，解得 x＝1± 2. ∴原方程的根是 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2.
第十二页，共二十八页。
当堂测评
1．方程(x－2)(x＋3)＝0 的解是( D )
A．x＝2
B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3
2．一元二次方程 x(x－2)＝2－x 的根是( D )
A．－1
B．0
C．1 和 2
D．－1 和 2
3．方程 x2＋x＝0 的解是_x_1＝__0_，__x_2＝__－__1____．
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ章 一元二次方程
4 用因式分解(yīn shì fēn jiě)法求解一元二次方程
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
第一页，共二十八页。
学习指南
★教学目标★ 1．了解因式分解法的概念； 2．会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程．
第二页，共二十八页。
★情景问题引入★ 我们知道，当两个数的积为 0 时，这两个数中至少有一个为 0.同样地，当两 个整式的积为 0 时，这两个整式中至少有一个为 0，用这样的思路我们就能把一 元二次方程转化为两个一元一次方程．
第十五页，共二十八页。
4．用因式分解法解方程： (1)(x＋2)2－25＝0； 解：∵(x＋2)2－25＝0， ∴(x＋2＋5)(x＋2－5)＝0， ∴(x＋7)(x－3)＝0， ∴x1＝3，x2＝－7.
第十六页，共二十八页。
(2)(x－3)2＋2x(x－3)＝0； 解：∵(x－3)2＋2x(x－3)＝0， ∴(x－3)(x－3＋2x)＝0， ∴(x－3)(3x－3)＝0， ∴x1＝3，x2＝1.
第五页，共二十八页。
归类探究
类型之一 用因式分解法解方程 解方程．
(1)x2－3x＋2＝0； (2)x2－6x＋9＝(5－2x)2. 解：(1)x2－3x＋2＝0. 因式分解，得(x－1)(x－2)＝0， x－1＝0 或 x－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝2.
第六页，共二十八页。
(2)原方程可化为(x－3)2＝(5－2x)2， 移项，得(x－3)2－(5－2x)2＝0， 分解因式，得[(x－3)＋(5－2x)][(x－3)－(5－2x)]＝0， 即(－x＋2)(3x－8)＝0， ∴－x＋2＝0 或 3x－8＝0， 解得 x1＝2，x2＝83.
第三页，共二十八页。
知识管理
1．因式分解法 定 义：当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因式 的乘积时，即如果 a·b＝0，那么 a＝0 或 b＝0.这种解一元二次方程的方法称为 因式分解法． 步 骤：(1)移项，将方程的右边化为 0； (2)把方程的左边分解为两个一次因式的乘积； (3)令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解．
(因式分解法)原方程可化为[(2x＋1)－3][(2x＋1)＋3]＝0，即(2x－2)(2x＋4) ＝0，
∴2x－2＝0 或 2x＋4＝0， ∴x1＝1，x2＝－2. (公式法)原方程变形为 4x2＋4x＋1－9＝0， 即 4x2＋4x－8＝0， 两边同时除以 4，得 x2＋x－2＝0， 则 x＝－12± 9＝－12±3， ∴x1＝1，x2＝－2.
第二十三页，共二十八页。
请模仿上面的方法解方程：(x－1)2－5|x－1|－6＝0. 解：原方程化为|x－1|2－5|x－1|－6＝0， 令 y＝|x－1|，原方程化成 y2－5y－6＝0， 解得 y1＝6，y2＝－1. 当|x－1|＝6 时，x－1＝±6， 解得 x1＝7，x2＝－5； 当|x－1|＝－1 时(不符合题意，舍去)． 则原方程的解是 x1＝7，x2＝－5.
第二十六页，共二十八页。
(3)∵△ABC 是等边三角形，∴a＝b＝c， ∴原方程变形为 2ax2＋2ax＝0. ∵a≠0，∴x1＝0，x2＝－1.
第二十七页，共二十八页。
内容(nèiróng)总结
No 第二章 一元二次方程。x1＝0，x2＝2。4 Image
12/11/2021
第二十八页，共二十八页。
第七页，共二十八页。
【点悟】 (1)用因式分解法解方程的关键是方程左边的因式分解． (2)根据所给方程的形式适当变形，得到符合一定公式的式子是因式分解法 解方程的常用方法．
第八页，共二十八页。
类型之二 用不同的方法解一元二次方程 用三种不同的方法解方程(2x＋1)2－9＝0.
解：(直接开平方法)移项，得(2x＋1)2＝9， 开平方，得 2x＋1＝±3， 即 2x＋1＝3 或 2x＋1＝－3， ∴x1＝1，x2＝－2.
第二十二页，共二十八页。
7．[2016·淄博]阅读下面的例题，解方程 x2－|x|－2＝0.
解：原方程化为|x|2－|x|－2＝0. 令 y＝|x|，原方程化成 y2－y－2＝0， 解得 y1＝2，y2＝－1. 当|x|＝2 时，x＝±2；当|x|＝－1 时(不符合题意，舍去)． ∴原方程的解是 x1＝2，x2＝－2.
第十九页，共二十八页。
(5)3(x－2)2＝x(x－2)． 解：(x－2)(3x－6－x)＝0， ∴2(x－2)(x－3)＝0， ∴x1＝2，x2＝3.
第二十页，共二十八页。
5．[2017·萧山区期中]已知(x2＋y2)(x2＋y2－1)＝12，则 x2＋y2 的值是__4__． 【解析】 设 x2＋y2＝A，则原方程化为 A(A－1)＝12，解得 A＝－3 或 A
第十七页，共二十八页。
(3)x2＋5＝5(x＋1)； 解：∵x2＋5＝5(x＋1)， ∴x2＋5＝5x＋5， ∴x2－5x＝0， ∴x(x－5)＝0， ∴x1＝0，x2＝5.
第十八页，共二十八页。
(4)x2＋8x＋16＝(3＋5x)2； 解：x2＋8x＋16＝25x2＋30x＋9. ∴24x2＋22x－7＝0， ∴(4x－1)(6x＋7)＝0， ∴x1＝14，x2＝－67.
第二十五页，共二十八页。
解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由： 把 x＝－1 代入方程，得 2A－2B＝0， ∴a＝b， ∴△ABC 是等腰三角形． (2)△ABC 是直角三角形．理由： ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2B)2－4(A＋C)(A－C)＝0， ∴b2＋c2＝a2， ∴△ABC 是直角三角形．
＝4.∵不论 x，y 为何值，x2＋y2 不能为负数，∴x2＋y2＝4.
第二十一页，共二十八页。
6．已知(x2＋4x－5)0＝x2－5x＋5，则 x＝__4__． 【解析】 依题意，得 x2－5x＋5＝1， 解得 x1＝1，x2＝4， 当 x＝1 时，x2＋4x－5＝0，不符合； 当 x＝4 时，x2＋4x－5≠0， 所以 x＝4.
第四页，共二十八页。
2．解一元二次方程的四种方法 基本方法：(1)_直_接__(_zh_íj_iē_)开__平_方__法；(2)_配__方__法__(f_ān；gf(ǎ3) )_公__式__(_gō_n_gs；hì()法4)_因__式__分_解__法___． 解法顺序：直接开平方法→因式分解法→公式法，若没特殊说明一般不选 用配方法． 注 意：整体思想或整体换元常贯穿于解题之中．
第二十四页，共二十八页。
8．已知关于 x 的一元二次方程a＋cx2＋2bx＋a－c＝0，其中 a，b，c 分 别为△ABC 的三边的长．
(1)如果 x＝－1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
第十三页，共二十八页。
4．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－9＝0；
(2)x2－4x＋4＝0.
解：(1)x2－9＝(x＋3)(x－3)＝0， ∴x＋3＝0 或 x－3＝0， ∴x1＝3，x2＝－3. (2)x2－4x＋4＝(x－2)2＝0， ∴x1＝x2＝2.
第十四页，共二十八页。
分层作业
1．方程(x＋1)(x－2)＝x＋1 的解是( D ) A．2 B．3 C．－1，2 D．－1，3 2．一元二次方程 x2－2x＝0 的解是__x_1＝__0_，__x2_＝__2_____． 3．方程 3(x－5)2＝2(x－5)的根是___x_1＝__5_，__x_2_＝__13_7_____．
第十页，共二十八页。
【点悟】 经过此题的训练可以体验到对于某些形式的方程，选用因式分解 法最为简便．
第十一页，共二十八页。
类型之三 用换元法解方程 解方程：(x2－2x)2＋(x2－2x)－2＝0.
解：设 y＝x2－2x. 原方程可变为 y2＋y－2＝0. 解得 y＝－2 或 1， 即 x2－2x＝－2 或 x2－2x＝1. 当 x2－2x＝－2 时，Δ＜0，没实数根； 当 x2－2x＝1 时，解得 x＝1± 2. ∴原方程的根是 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2.
第十二页，共二十八页。
当堂测评
1．方程(x－2)(x＋3)＝0 的解是( D )
A．x＝2
B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3
2．一元二次方程 x(x－2)＝2－x 的根是( D )
A．－1
B．0
C．1 和 2
D．－1 和 2
3．方程 x2＋x＝0 的解是_x_1＝__0_，__x_2＝__－__1____．
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ章 一元二次方程
4 用因式分解(yīn shì fēn jiě)法求解一元二次方程
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
第一页，共二十八页。
学习指南
★教学目标★ 1．了解因式分解法的概念； 2．会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程．
第二页，共二十八页。
★情景问题引入★ 我们知道，当两个数的积为 0 时，这两个数中至少有一个为 0.同样地，当两 个整式的积为 0 时，这两个整式中至少有一个为 0，用这样的思路我们就能把一 元二次方程转化为两个一元一次方程．
第十五页，共二十八页。
4．用因式分解法解方程： (1)(x＋2)2－25＝0； 解：∵(x＋2)2－25＝0， ∴(x＋2＋5)(x＋2－5)＝0， ∴(x＋7)(x－3)＝0， ∴x1＝3，x2＝－7.
第十六页，共二十八页。
(2)(x－3)2＋2x(x－3)＝0； 解：∵(x－3)2＋2x(x－3)＝0， ∴(x－3)(x－3＋2x)＝0， ∴(x－3)(3x－3)＝0， ∴x1＝3，x2＝1.
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归类探究
类型之一 用因式分解法解方程 解方程．
(1)x2－3x＋2＝0； (2)x2－6x＋9＝(5－2x)2. 解：(1)x2－3x＋2＝0. 因式分解，得(x－1)(x－2)＝0， x－1＝0 或 x－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝2.
第六页，共二十八页。
(2)原方程可化为(x－3)2＝(5－2x)2， 移项，得(x－3)2－(5－2x)2＝0， 分解因式，得[(x－3)＋(5－2x)][(x－3)－(5－2x)]＝0， 即(－x＋2)(3x－8)＝0， ∴－x＋2＝0 或 3x－8＝0， 解得 x1＝2，x2＝83.
第三页，共二十八页。
知识管理
1．因式分解法 定 义：当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因式 的乘积时，即如果 a·b＝0，那么 a＝0 或 b＝0.这种解一元二次方程的方法称为 因式分解法． 步 骤：(1)移项，将方程的右边化为 0； (2)把方程的左边分解为两个一次因式的乘积； (3)令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解．