2021年湖北省十堰市初中毕业生统一考试(中考)数学试卷及解析

2021年湖北省十堰市初中毕业生统一考试（中考）数学
试卷及解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内. 1．（3分）−1
2的相反数是（ ） A ．﹣2
B ．2
C ．1
2
D ．−1
2
2．（3分）如图，直线AB ∥CD ，∠1＝55°，∠2＝32°，则∠3＝（ ）
A ．87°
B ．23°
C ．67°
D ．90°
3．（3分）由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．（3分）下列计算正确的是（ ） A ．a 3•a 3＝2a 3 B ．（﹣2a ）2＝4a 2 C ．（a +b ）2＝a 2+b 2
D ．（a +2）（a ﹣2）＝a 2﹣2
5．（3分）某校男子足球队的年龄分布如下表：
年龄 13 14 15 16 17 18 人数
2
6
8
3
2
1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A ．8，15
B ．8，14
C ．15，14
D ．15，15
6．（3分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x 台机器，则下列方程正确的是（ ）
A ．400x −450x−50=1
B ．
450x−50−
400x =1
C ．
400
x
−
450x+1
=50 D ．450
x+1
−
400
x
=50
7．（3分）如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC 为15m ，AB 为1.5m （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）
A ．（15√3+3
2
）m
B ．5√3m
C ．15√3m
D ．（5√3+3
2
）m
8．（3分）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 是⊙O 的直径，若AD ＝3，则BC ＝（ ）
A ．2√3
B ．3√3
C ．3
D ．4
9．（3分）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）
A ．2025
B ．2023
C ．2021
D ．2019
10．（3分）如图，反比例函数y =k
x （x ＞0）的图象经过点A （2，1），过A 作AB ⊥y 轴于点B ，连OA ，直线CD ⊥OA ，交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若点B 关于直线CD 的对称点B ′恰好落在该反比例函数图像上，则D 点纵坐标为（ ）
A ．
5√5−14
B ．5
2
C ．7
3
D ．
5√5+14
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人，把数字1412000000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）已知xy ＝2，x ﹣3y ＝3，则2x 3y ﹣12x 2y 2+18xy 3＝ ．
13．（3分）如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若AB ＝5，AD ＝12，则四边形ABOM 的周长为 ．
14．（3分）对于任意实数a 、b ，定义一种运算：a ⊗b ＝a 2+b 2﹣ab ，若x ⊗（x ﹣1）＝3，则x 的值为 ． 15．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，以C 为圆心、BC 长为半径画弧交AC 于点F ，则图中阴影部分的面积是 ．
16．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 是平面内一个动点，且AP ＝3，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是 ．
三、解答题（本题有9个小题，共72分） 17．（5分）计算：√2cos45°+（13
）﹣
1﹣|﹣3|．
18．（5分）化简：（a+2a 2−2a
−
a−1
a 2−4a+4
）÷
a−4
a
．
19．（9分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A 、B 、C 、D 四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．
等级 成绩（x ） 人数 A 90≤x ≤100 15 B 80≤x ＜90 a C 70≤x ＜80 18 D
x ＜70
7
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中a ＝ ；扇形统计图中，C 等级所占的百分比是 ；D 等级对应的扇形圆心角为 度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A 等级的学生共有 人； （2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．
20．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
21．（7分）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC 交DE于点F，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若CF＝2，∠F AC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．
22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若tan∠A=1
2，⊙O的半径为3，求EF的长．
23．（9分）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：y ={0.25x +30(1≤x ≤20且x 为整数)35(20＜x ≤40且x 为整数)，且日
销量m （kg ）与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 … 日销量m （kg ）
142
138
132
124
…
（1）填空：m 与x 的函数关系为 ； （2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（n ＜4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．
24．（10分）已知等边三角形ABC ，过A 点作AC 的垂线l ，点P 为l 上一动点（不与点A 重合），连接CP ，把线段CP 绕点C 逆时针方向旋转60°得到CQ ，连QB ． （1）如图1，直接写出线段AP 与BQ 的数量关系；
（2）如图2，当点P 、B 在AC 同侧且AP ＝AC 时，求证：直线PB 垂直平分线段CQ ；
（3）如图3，若等边三角形ABC 的边长为4，点P 、B 分别位于直线AC 异侧，且△APQ 的面积等于√3
4
，求线段AP 的长度．
25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；
（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD=√3MN，求N点的坐标．
2021年湖北省十堰市初中毕业生统一考试（中考）数学
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内. 1．（3分）−1
2的相反数是（ ） A ．﹣2
B ．2
C ．1
2
D ．−1
2
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数． 【解答】解：−1
2
的相反数是1
2
．
故选：C ．
2．（3分）如图，直线AB ∥CD ，∠1＝55°，∠2＝32°，则∠3＝（ ）
A ．87°
B ．23°
C ．67°
D ．90°
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”∠C ＝55°，再根据三角形的外角定理求解即可． 【解答】解：∵AB ∥CD ，∠1＝55°， ∴∠C ＝∠1＝55°，
∵∠3＝∠2+∠C ，∠2＝32°， ∴∠3＝32°+55°＝87°， 故选：A ．
3．（3分）由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【解答】解：从上面看，底层有3个正方形，上层右边有一个正方形．
故选：A ．
4．（3分）下列计算正确的是（ ） A ．a 3•a 3＝2a 3 B ．（﹣2a ）2＝4a 2 C ．（a +b ）2＝a 2+b 2
D ．（a +2）（a ﹣2）＝a 2﹣2
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【解答】解：a 3•a 3＝a 6，故选项A 错误； （﹣2a ）2＝4a 2，故选项B 正确； （a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，故选项C 错误； （a +2）（a ﹣2）＝a 2﹣4，故选项D 错误； 故选：B ．
5．（3分）某校男子足球队的年龄分布如下表：
年龄 13 14 15 16 17 18 人数
2
6
8
3
2
1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A ．8，15
B ．8，14
C ．15，14
D ．15，15
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15；
根据图表数据可知共有22名队员，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，中位数是（15+15）÷2＝15． 故选：D ．
6．（3分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x 台机器，则下列方程正确的是（ ） A ．400x −450x−50=1 B ．
450x−50−
400x =1
C ．
400
x
−
450x+1
=50 D ．450
x+1
−
400
x
=50
【分析】设现在平均每天生产x 台机器，则原计划平均每天生产（x ﹣50）台机器，根据“现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”列出方程即可．
【解答】解：设现在平均每天生产x 台机器，则原计划平均每天生产（x ﹣50）台机器，
根据题意，得450
x−50−
400
x
=1．
故选：B．
7．（3分）如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC 为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）
A．（15√3+3
2）m B．5√3m C．15√3m D．（5√3+
3
2）m
【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△ADE中利用锐角三角函数的定义求出DE的长，由CE＝CD+DE 即可得出结论．
【解答】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15m，AB＝1.5m，
∴BC＝AD＝15m，AB＝CD＝1.5m，
在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴DE＝AD•tan∠EAD＝15×√3
3
=5√3（m），
∴CE＝CD+DE＝（5√3+1.5）（m）．
故选：D．
8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD是⊙O的直径，若AD＝3，则BC＝（）
A．2√3B．3√3C．3D．4
【分析】根据∠BAC＝120°，AB＝AC即可推出∠ACB和∠ABC的度数，然后由同弧所对圆周角相等以及直径所对圆周角为直角即可推出△ABD为直角三角形且∠ADB＝30°，即可算出直径BD的长，再过点O过点O作OE⊥BC于点E，利用直角三角形中锐角三角函数计算出BE的长，再根据垂径定理即可计算出BC的长．
【解答】解：过点O作OE⊥BC于点E，如图所示：
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
又∵AB
̂对应圆周角为∠ACB和∠ADB，∴∠ACB＝∠ADB＝30°，
而BD为直径，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△BAD中，∠ADB＝30°，AD＝3，
∴cos30°=AD
BD
=3BD=√32，
∴BD＝2√3，
∴OB=√3，
又∵∠ABD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣30°＝60°，∠ABC＝30°，∴∠OBE＝30°，
又∵OE⊥BC，
∴△OBE为直角三角形，
∴cos∠OBE＝cos30°=BE
OB
=BE
√3
=√32，
∴BE=3 2，
由垂径定理可得：BC＝2BE＝2×3
2
=3，故C正确，
故选：C．
9．（3分）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）
A ．2025
B ．2023
C ．2021
D ．2019
【分析】先由题意得出位于第32行第13列的数是连续奇数的第1011个数，再将n ═1011代入奇数列通式：2n ﹣1求解即可． 【解答】解：由题意可知：
行数为1的方阵内包含“1”，共1个数；
行数为2的方阵内包含“1、3、5、7”，共22个数；
行数为3的方阵内包含“1、3、5、7、9、11、13、15、17”，共32个数； ∴行数为32的方阵内包含“1、3、5、7、......”共322个数，即共1024个数， ∴位于第32行第13列的数是连续奇数的第（1024﹣12）═1012个数， ∴位于第32行第13列的数是：2×1012﹣1═2023． 故选：B ．
10．（3分）如图，反比例函数y =k
x （x ＞0）的图象经过点A （2，1），过A 作AB ⊥y 轴于点B ，连OA ，直线CD ⊥OA ，交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若点B 关于直线CD 的对称点B ′恰好落在该反比例函数图像上，则D 点纵坐标为（ ）
A ．
5√5−14
B ．5
2
C ．7
3
D ．
5√5+14
【分析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，由点A 的坐标可得AB ＝2，OB ＝1；设BB ′交直线CD 于点E ，过点E 作EG ⊥BD 于G ，过B ′作B ′F ⊥BD 于点F ，利用待定系数法求得直线OA ，BB ′的解析式和反比例函数的解析式，进而求得点B ′的坐标，由此得到线段EG 的长度，利用解直角三角形求得线段DG ，BG ，利用OD ＝OB +BG +DG 求得线段OD ，则点D 的纵坐标可求．
【解答】解：设BB ′交直线CD 于点E ，过点E 作EG ⊥BD 于G ，过B ′作B ′F ⊥BD 于点F ，如图，
∵B 与B ′关于直线CD 对称，
∴CD 垂直平分BB ′．
即E 为BB ′的中点，EB ＝EB ′． ∵EG ⊥BD ，B ′F ⊥BD ， ∴EG ∥B ′F ． ∴EG =12
B ′F ．
∵直线OA 经过点A （2，1）， ∴直线OA 的解析式为：y =1
2x ． ∵CD ⊥OA ，BB ′⊥CD ， ∴BB ′∥OA ．
设直线BB ′的解析式为y =1
2x +b ， ∵B （0，1）， ∴b ＝1．
∴设直线BB ′的解析式为y =12
x +1．
∵反比例函数y =k
x （x ＞0）的图象经过点A （2，1）， ∴反比例函数y =2
x ． ∴{y =1
2x +1
y =2x
． 解得：{x 1=−1+√5y 1=√5+12，{x 2=−1−√5
y 2=−√5−12．
∴B ′（√5−1，
√5+1
2
）．
∴B ′F =√5−1． ∴EG =
√5−1
2
．
∵AB ⊥BD ， ∴∠OAB ＝∠ODC ．
∴tan ∠OAB ＝tan ∠ODC =OB
AB =1
2． 在Rt △DGE 中，
∵tan ∠ODC
EG
DG
=1
2
，
∴DG =√5−1． 同理：BG =
√5−1
4
．
∴OD ＝OB +BG +DG =
5√5−1
4
． ∴D 点纵坐标为5√5−1
4
．
故选：A ．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人，把数字1412000000用科学记数法表示为 1.412×109 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 【解答】解：1412000000＝1.412×109， 故答案为：1.412×109．
12．（3分）已知xy ＝2，x ﹣3y ＝3，则2x 3y ﹣12x 2y 2+18xy 3＝ 36 ．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后整体代入求值即可． 【解答】解：原式＝2xy （x 2﹣6xy +9y 2） ＝2xy （x ﹣3y ）2， ∵xy ＝2，x ﹣3y ＝3， ∴原式＝2×2×32 ＝4×9 ＝36， 故答案为：36．
13．（3分）如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若AB ＝5，AD ＝12，则四边形ABOM 的周长为 20 ．
【分析】根据题意可知OM 是△ADC 的中位线，所以OM 的长可求；根据勾股定理可求出AC 的长，
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM=1
2CD=
1
2AB＝2.5，
∵AB＝5，AD＝12，
∴AC=√52+122=13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO=1
2AC＝6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，
故答案为：20．
14．（3分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a⊗b＝a2+b2﹣ab，若x⊗（x﹣1）＝3，则x的值为2或﹣1．
【分析】依据新定义得到关于x的方程，解方程可得结论．
【解答】解：由题意得：
x2+（x﹣1）2﹣x（x﹣1）＝3．
整理得：
x2﹣x﹣2＝0．
即（x﹣2）（x+1）＝0．
解得：x1＝2，x2＝﹣1．
故答案为：2或﹣1．
15．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是3π﹣6．
【分析】根据扇形的面积公式和三角形面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接BE，
∵AB为直径，
∴BE⊥AC，
∵AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝90°， ∴BE ＝AE ＝CE ， ∴S 弓形AE ＝S 弓形BE ，
∴图中阴影部分的面积＝S 半圆−1
2（S 半圆﹣S △ABE ）﹣（S △ABC ﹣S 扇形CBF ）
=12π×22−12（12π×22−12×12×4×4）﹣（12×4×4−45π×42360
）
＝3π﹣6， 故答案为3π﹣6．
16．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 是平面内一个动点，且AP ＝3，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是
7
2
≤m ≤13
2 ．
【分析】取AB 的中点M ，连接QM ，CM ，分析可知，点C ，点M 是定点，点Q 是动点，且点Q 在以点M 为圆心，QM 长为半径的圆上运动，且当点C ，M ，Q 三点共线，且点Q 在线段CM 上时，m 取得最小值7
2，当点C ，M ，Q 三点共线，且点Q 在射线CM 上时，m 取得最大值
132
，可得结论．
【解答】解：如图，取AB 的中点M ，连接QM ，CM ，
在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6， ∴AB ＝10，
∵点M 是AB 的中点，
∴AM ＝BM ＝CM =12
AB ＝5，
∵点Q 是PB 的中点，点M 是AB 的中点， ∴QM 是△APB 的中位线， ∴QM =12
AP =32
，
在△CMQ 中，CM ﹣MQ ＜CQ ＜CM +MQ ， ∴7
2
＜m ＜132， ∵点C ，点M 是定点，点Q 是动点，且点Q 以点M 为圆心，QM 长为半径的圆上运动， ∴当点C ，M ，Q 三点共线，且点Q 在线段CM 上时，m 取得最小值7
2，
当点C ，M ，Q 三点共线，且点Q 在射线CM 上时，m 取得最大值132
，
综上，m 的取值范围为：7
2≤m ≤13
2．
故答案为：7
2
≤m ≤13
2．
三、解答题（本题有9个小题，共72分） 17．（5分）计算：√2cos45°+（13
）﹣
1﹣|﹣3|．
【分析】利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂和绝对值的意义解答即可． 【解答】解：原式=√2×√2
2+3﹣3＝1． 18．（5分）化简：（
a+2a 2−2a
−
a−1
a 2−4a+4
）÷
a−4
a
． 【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题． 【解答】解：（a+2a 2−2a
−
a−1
a 2−4a+4
）÷a−4
a
＝[a+2a(a−2)
−
a−1
(a−2)2
]⋅
a a−4
=(a+2)(a−2)−a(a−1)
a(a−2)2
⋅a
a−4
=a 2−4−a 2+a (a−2)2
⋅1
a−4
=a−4(a−2)2⋅1
a−4 =
1(a−2)
2．
19．（9分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成
绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．
等级成绩（x）人数
A90≤x≤10015
B80≤x＜90a
C70≤x＜8018
D x＜707
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中a＝20；扇形统计图中，C等级所占的百分比是30%；D等级对应的扇形圆心角为42度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有450人；（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．
【分析】（1）由A等级的人数和所对应的圆心角的度数求出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：15÷90°
360°
=60（人），
∴a＝60﹣15﹣18﹣7＝20，C等级所占的百分比是18÷60×100%＝30%，D等级对应的扇形圆心角为：
360°×7
60
=42°，
估计成绩为A等级的学生共有：1800×15
60
=450（人），
故答案为：20，30%，42，450；
（2）95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，其他两人记为丙、丁，画树状图如图：
共有12种等可能的结果，甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种， ∴甲、乙两人至少有1人被选中的概率为
1012
=5
6
．
20．（7分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣2m +5＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数m 的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m 的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4（﹣2m +5）＞0，然后解不等式即可； （2）利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝4＞0，x 1x 2＝﹣2m +5＞0，则m ＜52
，所以m ＝1或m ＝2． 【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（﹣2m +5）＞0， 解得m ＞12
；
（2）设x 1，x 2是方程的两根，
根据题意得x 1+x 2＝4＞0，x 1x 2＝﹣2m +5＞0，解得m ＜5
2， 所以m 的范围为1
2＜m ＜5
2
，
所以m ＝1或m ＝2， 所以整数m 的值为1或2．
21．（7分）如图，已知△ABC 中，D 是AC 的中点，过点D 作DE ⊥AC 交BC 于点E ，过点A 作AF ∥BC 交DE 于点F ，连接AE 、CF ． （1）求证：四边形AECF 是菱形；
（2）若CF ＝2，∠F AC ＝30°，∠B ＝45°，求AB 的长．
【分析】（1）由题意可得△AFD ≌△CED （AAS ），则AF ＝EC ，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形AECF 是平行四边形；又EF 垂直平分AC ，根据垂直平分线的性质可得AF ＝CF ，根据“有一组临边相等的平行四边形是菱形”可得结论；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，根据题意可得∠AEG＝60°，AE＝2，则BG＝AG=√3，AB=√2BG=√6．【解答】解：（1）证明：如图，
在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠F AD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，
∴AF＝FC，
∴平行四边形AECF是菱形．
（2）如图，过点A作AG⊥BC于点G，
由（1）知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠F AC＝30°，
∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠F AE＝2∠F AC＝60°，
∴∠AEB＝∠F AE＝60°，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB＝∠AGE＝90°，
∴∠GAE＝30°，
∴GE=1
2AE＝1，AG=√3GE=√3，
∵∠B＝45°，
∴∠GAB＝∠B＝45°，
∴BG＝AG=√3，
∴AB=√2BG=√6．
22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线
AB 上，且DF ⊥BC ，垂足为E ，连接AD 、BD ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）若tan ∠A =1
2，⊙O 的半径为3，求EF 的长．
【分析】（1）连接OD ，则∠ODC ＝∠OCD ，CD 平分∠OCB ，则∠OCD ＝∠BCD ＝∠ODC ，所以OD ∥CE ，又CE ⊥DF ，则OD ⊥DF ，所以DF 是⊙O 的切线； （2）在Rt △ABD 中，tan ∠A =
BD AD =1
2
，则AD ＝2BD ，由勾股定理可得，BD 2+AD 2＝AB 2，即BD 2+（2BD ）2
＝62，解得BD =
6√55，在Rt △BDE 中，BD =6√5
5
，由勾股定理可得，BE 2+DE 2＝BD 2，即BE 2+（2BE ）2
＝（6√55）2，解得BE =65，则DE =125，由（1）知BE ∥OD ，EF DF =BE OD ，即EF 125
+EF
=6
53，解得EF =85．
【解答】解：（1）如图，连接OD ，
∵OC ＝OD ， ∴∠ODC ＝∠OCD ， ∵CD 平分∠OCB ， ∴∠OCD ＝∠BCD ， ∴∠ODC ＝∠BCD ， ∴OD ∥CE ， ∴∠CEF ＝∠ODE ， ∵CE ⊥DF ， ∴∠CEF ＝90°，
∴∠ODE ＝90°，即OD ⊥DF ， ∴DF 是⊙O 的切线； （2）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴tan ∠A =
BD AD =1
2
，则AD ＝2BD ， 在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，AB ＝2r ＝6， ∴BD 2+AD 2＝AB 2，即BD 2+（2BD ）2＝62， 解得BD =
6√5
5
， 由（1）知DF 是⊙O 的切线， ∴∠BDF ＝∠A ， ∵BE ⊥DF ， ∴∠BEF ＝90°， ∴tan ∠BDF =
BE DE =1
2
，则DE ＝2BE ， 在Rt △BDE 中，BD =
6√5
5
， 由勾股定理可得，BE 2+DE 2＝BD 2，即BE 2+（2BE ）2＝（6√55
）2
， 解得BE =6
5，则DE =12
5， 由（1）知BE ∥OD ， ∴
EF DF
=
BE OD
，即EF 12
5
+EF
=
65
3
，解得EF =85
．
23．（9分）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：y ={0.25x +30(1≤x ≤20且x 为整数)35(20＜x ≤40且x 为整数)，且日
销量m （kg ）与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 … 日销量m （kg ）
142
138
132
124
…
（1）填空：m 与x 的函数关系为 m ═﹣2x +144（1≤x ≤40且x 为整数） ；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（n ＜4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围． 【分析】（1）根据题意建立一次函数模型，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意找到等量关系式：日销售利润═（销售单价﹣单件成本）×销售量，列出方程，再分情况进行讨论总结即可；
（3）根据题意列出方程，根据二次函数的图像与性质进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意可设日销量m （kg ）与时间x （天）之间的一次函数关系式为：m ═kx +b （k ≠0），
将（1，142）和（3，138）代入m ═kx +b ，有：{142=k +b 138=3k +b ，
解得k ═﹣2，b ═144，
故m 与x 的函数关系为：m ═﹣2x +144（1≤x ≤40且x 为整数）； （2）设日销售利润为W 元，根据题意可得：
当1≤x ≤20且x 为整数时，W ═（0.25x +30﹣20）（﹣2x +144）═﹣0.5x 2+16x +1440═﹣0.5（x ﹣16）2+1568，
此时当x ═16时，取得最大日销售利润为1568元，
当20＜x ≤40且x 为整数时，W ═（35﹣20）（﹣2x +144）═﹣30x +2160， 此时当x ═21时，取得最大日销售利润W ═﹣30×21+2160═1530（元）， 综上所述，第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元； （3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为P ，根据题意可得：
P ═﹣0.5x 2+16x +1440﹣n （﹣2x +144）═﹣0.5x 2+（16+2n ）x +1440﹣144n ，其对称轴为直线x ═16+2n ， ∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大， ∴16+2n ≥20，求得n ≥2， 又∵n ＜4，
∴n 的取值范围是：2≤n ＜4， 答：n 的取值范围是2≤n ＜4．
24．（10分）已知等边三角形ABC ，过A 点作AC 的垂线l ，点P 为l 上一动点（不与点A 重合），连接CP ，把线段CP 绕点C 逆时针方向旋转60°得到CQ ，连QB ． （1）如图1，直接写出线段AP 与BQ 的数量关系；
（2）如图2，当点P 、B 在AC 同侧且AP ＝AC 时，求证：直线PB 垂直平分线段CQ ；
（3）如图3，若等边三角形ABC 的边长为4，点P 、B 分别位于直线AC 异侧，且△APQ 的面积等于√3
4
，求线段AP 的长度．
【分析】（1）由“SAS ”证得△ACP ≌△BCQ （SAS ）可得AP ＝BQ ．
（2）由“SAS ”证得△ACP ≌△BCQ （SAS ）可得AP ＝BQ ，所以BQ ＝AP ＝AC ＝BC ，由“等边对等角”可得∠ABP ＝∠APB ＝75°，则∠CBP ＝∠ABC +∠ABP ＝135°，所以∠CBD ＝∠QBD ＝45°，则BD 是△BCQ 的平分线，又BC ＝BQ ，则PB 垂直平分CQ ．
（3）需要分点Q 在直线l 上方和点Q 在直线l 下方两种情况讨论，设AP 的长度，根据△APQ 的面积等于
√3
4
建立等式，可求出AP 的长． 【解答】解：（1）在等边△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝60°， 由旋转可得，CP ＝CQ ，∠PCQ ＝60°， ∴∠ACB ＝∠PCQ ，
∴∠ACP ﹣∠PCB ＝∠BCQ ﹣∠PCB ，即∠ACP ＝∠BCQ ， ∴△ACP ≌△BCQ （SAS ）， ∴AP ＝BQ ．
（2）在等边△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝60°， 由旋转可得，CP ＝CQ ，∠PCQ ＝60°， ∴∠ACB ＝∠PCQ ，
∴∠ACP ﹣∠PCB ＝∠BCQ ﹣∠PCB ，即∠ACP ＝∠BCQ ， ∴△ACP ≌△BCQ （SAS ），
∴AP ＝BQ ，∠CBQ ＝∠CAP ＝90°； ∴BQ ＝AP ＝AC ＝BC ， ∵AP ＝AC ，∠CAP ＝90°，
∴∠BAP ＝30°，∠ABP ＝∠APB ＝75°， ∴∠CBP ＝∠ABC +∠ABP ＝135°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠QBD＝45°，
∴∠CBD＝∠QBD，即BD平分∠CBQ，
∴BD⊥CQ且点D是CQ的中点，即直线PB垂直平分线段CQ．
（3）①当点Q在直线l上方时，如图所示，延长BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，
由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△APC≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，
∵∠CAB＝∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABE＝30°，
∵AB＝AC＝4，
∴AE＝BE=4√3 3，
∴∠BEF＝60°，
设AP＝t，则BQ＝t，
∴EQ=4√3
3
−t，
在Rt△EFQ中，QF=√3
2EQ=
√3
2（
4√3
3
−t），
∴S△APQ=1
2AP•QF=
√3
4，即
1
2
•t
√3
2
（
4√3
3
−t）=√34，
解得t=√3或t=√3
3．即AP的长为√3或
√3
3
．
②当点Q在直线l上方时，如图所示，设BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，
由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△APC≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，
∵∠CAB＝∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABE＝30°，
∵AB＝AC＝4，
∴AE＝BE=4√3 3，
∴∠BEF＝60°，
设AP＝m，则BQ＝m，
∴EQ＝m−4√3 3，
在Rt△EFQ中，QF=√3
2EQ=
√3
2（m−
4√3
3），
∴S△APQ=1
2AP•QF=
√3
4，即
1
2
•t
√3
2
（m−
4√3
3）=
√3
4，
解得m=2√3+√21
3（m=
2√3−√21
3负值舍去）．
综上可得，AP的长为：√3或√3
3
或
2√3+√21
3
．
25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；
（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD=√3MN，求N点的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法将点A （﹣1，0）和B （﹣5，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣5，解方程组即可得出答案；
（2）如图1，过点A 作AF ⊥AC 交直线CM 于点F ，过点F 作FE ⊥x 轴于点E ，通过△AEF ∽△CAO ，得出F （﹣7，﹣2），运用待定系数法求出直线CF 解析式为y =−3
7x ﹣5，再结合抛物线y ＝﹣x 2﹣6x ﹣5，即可求得答案；
（3）设N （﹣3，n ），利用待定系数法求出直线AN 解析式为y =−1
2nx −1
2n ，再结合抛物线y ＝﹣x 2﹣6x ﹣5，求得M （1
2n ﹣5，−1
4n 2+2n ），根据MD =√3MN ，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5与x 轴交于点A （﹣1，0）和B （﹣5，0）， ∴{a −b −5=025a −5b −5=0， 解得：{a =−1
b =−6
，
∴该抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2﹣6x ﹣5； （2）在y ＝﹣x 2﹣6x ﹣5中，令x ＝0，则y ＝﹣5， ∴C （0，﹣5）， ∴OC ＝5，
如图1，过点A 作AF ⊥AC 交直线CM 于点F ，过点F 作FE ⊥x 轴于点E ， ∴∠AEF ＝∠CAF ＝∠AOC ＝90°， ∴∠EAF +∠CAO ＝∠CAO +∠ACO ＝90°， ∴∠EAF ＝∠ACO ， ∴△AEF ∽△CAO ，
∴
EF OA
=
AE OC
=
AF AC
=tan ∠ACM ＝2，
∴EF ＝2OA ＝2，AE ＝2OC ＝10， ∴OE ＝OA +AE ＝1+10＝11， ∴F （﹣7，﹣2），
设直线CF 解析式为y ＝kx +c ， ∵C （0，﹣5），F （﹣7，﹣2）， ∴{c =−5−7k +c =−2， 解得：{k =−3
7c =−5
，
∴直线CF 解析式为y =−37
x ﹣5，
结合抛物线：y ＝﹣x 2﹣6x ﹣5，得：﹣x 2﹣6x ﹣5=−3
7
x ﹣5， 解得：x 1＝0（舍），x 2=−39
7， 当x =−
397时，y =−37×（−397）﹣5=−128
49
， ∴点M 的坐标为（−
397，−128
49
）； （3）∵y ＝﹣x 2﹣6x ﹣5＝﹣（x +3）2+4， ∴顶点P （﹣3，4），
设N （﹣3，n ），直线AN 解析式为y ＝k 1x +c 1， ∵A （﹣1，0），N （﹣3，n ）， ∴{−k 1+c 1=0−3k 1+c 1=n ， 解得：{k 1=−1
2n
c 1=−1
2n
， ∴直线AN 解析式为y =−1
2
nx −12
n ，
结合抛物线y ＝﹣x 2﹣6x ﹣5，得：﹣x 2﹣6x ﹣5=−1
2nx −1
2n ， 解得：x 1＝﹣1（舍），x 2=1
2n ﹣5，
当x =1
2n ﹣5时，y =−1
2n ×（1
2
n ﹣5）−1
2n =−1
4n 2+2n ，
∴M （1
2
n ﹣5，−1
4n 2+2n ），
∵PD ∥x 轴，MD ⊥PD ， ∴D （1
2n ﹣5，4），
∴MD ＝4﹣（−1
4n 2+2n ）=14
n 2﹣2n +4， 如图2，过点M 作MG ⊥PN 于点G ，
则MG ＝﹣3﹣（1
2n ﹣5）＝2−1
2n ，NG ＝n ﹣（−1
4n 2+2n ）=1
4n 2﹣n ，
∵∠MGN ＝90°，
∴MN 2
＝MG 2
+NG 2
＝（2−12n ）2
+（14
n 2﹣n ）2=116（n 2+4）（n ﹣4）2，
∵MD =√3MN ， ∴MD 2＝3MN 2，
∴（1
4n 2﹣2n +4）2＝3×1
16（n 2+4）（n ﹣4）2，
∴
1
16
（n ﹣4）4=3
16（n 2+4）（n ﹣4）2，
∵点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方， ∴n ＜0， ∴n ﹣4＜0， ∴（n ﹣4）2＞0， ∴（n ﹣4）2＝3（n 2+4），
解得：n 1=√6−2（舍），n 2=−√6−2， ∴N （﹣3，−√6−2）．。