高等传热学基本方程推导

采用热力学第一定律分析：dQ conv +dQ cond +dW=dE ，总能：()2
22
2
1w
v u
U e +++=
x 方向上流体携入控制体的净能量为uedydz ρ与()dxdydz x
ue uedydz ∂∂+ρρ之差，即()dxdydz x
ue ∂∂-
ρ，
同理可得y 、z 方向上的净能量，因而，()()()dxdydz z we y
ve x
ue dQ conv ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∂∂+
∂∂+
∂∂-=ρρρ x 、y 、z 方向上的净导入能量分别为：dxdydz x T x ⎪⎭⎫
⎝
⎛∂∂λ
∂∂、dxdydz y T y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂λ∂∂、dxdydz z
T
z ⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂λ∂∂，则：dxdydz z T z
y T y x T x
dQ cond ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂λ∂∂
∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂
控制体总能量随时间的变化率为()
dxdydz e dE τ
ρ∂∂=
，于是有能量守恒方程： ()()()()dxdydz e dW dxdydz z
T z y T y x T x dxdydz z we y ve x ue τρ∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂ρρρ∂∂=+⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-引入连续性方程，则有：dW dxdydz z T z y T y x T x dxdydz D De
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂τρ
界面上作用力（粘性力、静压力和体积力）对流体所做的功，x 方向的净功为：
dxdydz u F x pu z u y u x u x zx yx xx ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂)()()()(στσ，y 、z 方向类似，三项之和为Dw dW 减去x 、y 、z 方向上的动量方程分别乘以u 、v 、w 和dxdydz 的积，可以得到：
()
dxdydz z w y v x u p dxdydz z w y
w
x
w
z v y
v
x
v
z u y
u
y
u
dxdydz w v u D D dW zz
yz
xz
zy
yy
xy zx
yx
xx
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++-σ
τ
ττ
σττ
τ
στρ
22221令ηΦ为右侧方括号内各项(又称能量耗散函数)，则有
()dxdydz z w y v x u p dxdydz dxdydz w v u D D dW ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ηφτρ2
2221，整理，则有
ηφ∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂
∂∂λ∂∂τ
ρ+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
=
z w y v x u p z T z y T y
x T x D DU ，ηΦ又可表示为
222
2222
32222⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=z w y v x u y w z v x w z u x v y u z w y v x u ηηηφ温度形式的能量方程：
h=U+p/ρ,
τρ
ρτ
ρτ
τ
D D p D Dp
D DU D Dh 2
1-
+
=
,h=h(T,p),dp p h dT c dp p h dT T h dh T
p T p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂= 而，⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂p T T T p
h ρρρ11,体积膨胀系数p v T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=ρρα1，则()dp dT c dh v p αρ-+=11，则 ηφτα∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂τρ++⎪⎭
⎫
⎝⎛+
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
=
D Dp T z T
z y T y x T x D DT
c v p
对于理想气体T v 1
=α,对于不可压缩流体0
=v α，以及忽略耗散的情况，则可分别对上式简化。