安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高二(实验班)上学期第三次月考数学(理)试题

安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高二（实验班）
上学期第三次月考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．“a b =”是“直线2y x =+与圆22()()2x a y b -+-=相切”的（ ）． A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
2．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）
A ．12-
B ．1
C ．2
D ．12
3．已知四棱锥S ABCD -的底面是边长为2的正方形， SA ABCD SA AB ⊥=平面，且，则四棱锥S ABCD -的外接球的表面积为（ ）
A ．9π
B ．
C ．12π
D ．10π
4．设直线l 的斜率为k ，且1k -<≤
l 的倾斜角α的取值范围( ) A ．30,,34πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭
B ．30,,64πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭
C ．3,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．30,
,34πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 5．光线沿直线:3450l x y -+=射入，遇直线:l y m =后反射，且反射光线所在的直线经过抛物线2
25y x x =-+的顶点，则m =（ ） A ．3 B ．3- C ．4 D ．4- 6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==,11AA =则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ）
A ．6
B
C ．5
D ．5
7．已知点A 、B O 表面上运动，且2AB =，过AB 作相互垂直的平面α、β，若平面α、β截球O 所得的截面分别为圆M 、圆N ，则（ ）
A ．MN 长度的最小值是2
B ．MN
C ．圆M 面积的最小值是2π
D ．圆M 、N 的面积和是定值8π 8．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，AB PA =．若BC 边上有且只有一个点Q ，使得PQ QD ⊥，求此时二面角A PD Q --的余弦值（ ）
A B C D 9．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：
①m αβ⋂=，n α⊂，n m ⊥，则αβ⊥；
②αβ⊥，m αγ⋂=，n βγ⋂=，则m n ⊥；
③αβ⊥，αγ⊥，m βγ⋂=，则m α⊥；
④m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥
其中正确命题的序号为（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④
10．已知圆22:2C x y +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上．若存在圆C 上的点Q ，使得45OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是
A ．[0,1]
B ．8
[0,]5 C ．1[,1]2- D ．18
[,]25
-
11．设,,αβγ表示平面， l 表示直线，则下列命题中，错误的是( )
A ．如果αβ⊥，那么α内一定存在直线平行于β
B ．如果αγ⊥， βγ⊥， l αβ⋂=，那么l γ⊥
C ．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β
D ．如果αβ⊥，那么α内所有直线都垂直于β
12．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且1,2PD AD AB ===，点E 是AB 上一点，当二面角P EC D --为4
π时，AE =（ ）
A ．2
B ．12
C ．2-
D ．1
二、填空题
13．若圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>被直线:30l x y -+=截得的弦长为则a =__________．
14．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长是__________．
15．已知直线1:0l x y +=，直线2:20l x y -+=，点()11
,2A -关于1l 的对称点为2A ，点2A 关于直线2l 的对称点为3A ，则过点123,,A A A 的圆的方程为_________
16．在正方体1111ABCD A B C D -中，给出以下四个结论：
（1）直线1//D C 平面11A ABB ；（2）直线11A D 与平面1BCD 相交；
（3）直线AD ⊥平面1D DB ； （4）平面1BCD ⊥平面11A ABB .
上述结论中，所有正确结论的序号为________．
三、解答题
17．设直线l 的方程为(1)20a x y a +++-=，a R ∈.
（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；
（2）若l 与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求a 的值.
18．已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．
(1)求k 的取值范围；
(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.
19．已知：三棱柱111ABC A B C -中，底面是正三角形，侧棱1BB ⊥面ABC ，D 是棱BC 的中点，点M 在棱1BB 上，且1CM AC ⊥．
（1）求证：1A B 平面1AC D ．
（2）求证：1CM C D ⊥．
20．已知圆C 过两点()3,3M -， ()1,5N -，且圆心C 在直线220x y --=上． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；
（Ⅱ）直线l 过点()2,5-且与圆C 有两个不同的交点A ， B ，若直线l 的斜率k 大于0，求k 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线l 使得弦AB 的垂直平分线过点()3,1P -，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
21．如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，
且90,45,2,1DAB ABC CB AB PA ︒︒∠=∠====．
（1）求证：BC ⊥平面PAC ；
（2）若M 是PC 的中点，求三棱锥C MAD -的体积．
22．如图，在四棱锥P ABCD -中，90,60ABC ACD BAC CAD ∠=∠=︒∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2,1PA AB ==.
(1)设点E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ；
(2)线段PD 上是否存在一点N ，使得直线CN 与平面PAC 所成的角θ的正弦值为
？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：直线2y x =+与圆()()22
2x a y b -+-=相切
或，故为充分不必要条件，选A. 考点：充分条件；必要条件．
【易错点睛】判断充分、必要条件时应注意的问题：（1）要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；（2）要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以通过举出恰当的反例来说明．
2．C
【详解】
试题分析：设过点(2,2)P 的直线的斜率为k ，则直线方程(22)y k x -=-，即
220kx y k -+-=
=12
k =-，由于直线220kx y k -+-=与直线10ax y -+=，因此112
a -⨯=-，解得2a =，故答案为C. 考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用.
3．C
【解析】
由题意，将四棱锥S ABCD -扩充为正方体，体对角线长为所以四棱锥外接
球的直径为所以四棱锥外接球的表面积为2
412ππ=，故选C.
4．D
【分析】
根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范围.
【详解】
直线l 的斜率为k ，且1k -<≤
∴1tan α-<≤
[0,)απ∈. ∴3,0,43ππαπ⎛⎫⎡⎤∈⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
. 故选：D.
【点睛】
本小题主要考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.
5．A
【解析】
易知1:3450l x y -+= 与:l y m =都经过点45,3m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭
，根据对称性可得反射光线所在直线的斜率与1l 互为相反数，则可设反射光线所在直线的方程为340x y t ++= ，代入点45,3m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭
，得34580x y m ++-=，又抛物线225y x x =-+的顶点为()4,1 ，得 3144580,3m m ⨯+⨯+-=∴=
选A
6．D
【分析】
由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．
【详解】
解：以D 点为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，
则()2,0,0A ， ()2,2,0B ，()0,2,0C ， ()10,2,1C ，
∴()12,0,1BC =-， ()2,2,0AC =-， AC 且为平面11BB D D 的一个法向量． 1cos BC ∴<，1058AC >==．
1BC ∴与平面11BB D D 故选：D ．
【点睛】
此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．
7．B
【解析】
如图所示，过AB 作互相垂直的平面ABD ()α 、平面()ABC β，则BD BC ⊥ ，
22412BC BD ++= ，2228,CD BC BD CD =+==，因为,M N 分别是,AC AD
的中点，所以MN =，故选B.
8．C
【详解】
因为在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，由BC 边上有且只有一个点Q ，使得PQ QD ⊥，则QD ⊥ 面PAQ ，可得C 边上有且只有一个点Q ，使得AQ QD ⊥，则以AD 为直径的圆与直线BC 相切，设AD 中点为O ，则QO AD ⊥ ，可得QO ⊥ 平面PAD ，作OH PD ⊥ 于H ，连接QH ，则OHQ ∠ 是二面角A PD Q --的平面角，设AB PA ==a ,则2AD a = ，直角三角形QOH 中，可得OH
，,cos OH QH Q HO QH ∠==，二面角A PD Q --故选C.
9．C
【解析】
①m αβ⋂=，n α⊂，n m ⊥，则,αβ可以垂直,也可以相交不垂直，故①不正确； ②,,m n αβαβαγ⊥⋂=⋂=，则n 与m 相交、平行或异面，故②不正确；③若,,m αβαγβγ⊥⊥⋂=，则m α⊥，③正确；④m n ⊥， ,m n αβ⊥⊥，可知与m n ， 共线的向量分别是α与β的法向量，所以α与β所成二面角的平面为直角，αβ∴⊥，故④正确，故选C.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 10．B
【分析】
根据条件若存在圆C上的点Q,使得为坐标原点),等价即可,求出不等式的解集即可得到的范围
【详解】
圆O外有一点P,圆上有一动点Q,在PQ与圆相切时取得最大值.
如果OP变长,那么可以获得的最大值将变小.可以得知,当,且PQ 与圆相切时,,
而当时,Q在圆上任意移动,存在恒成立.
因此满足,就能保证一定存在点Q,使得,
否则,这样的点Q是不存在的，
点在直线上, ,即
,
,
计算得出,,
的取值范围是，
故选B.
考点：正弦定理、直线与圆的位置关系.
11．D
【解析】
由上图可得选项A 中： α 内存在直线1
CC β ,故A 正确；选项B 中：直线l 即为直线
1BB ,故B 正确；选项C 中：可用反证法假设存在直线,a a αβαβ∃⊂⊥⇒⊥
，与已知矛盾，故C 正确；选项D 中: 11,CC CC αβ∃⊂ ,故D 错误.综上应选D.
12．A 【解析】
建立如图所示空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,0,1),(1,,0)A B C D E t ，设平面PEC 的一个法向量为(,,)n x y z =，由于(1,,1),(0,2,1)PE t PC =-=-，所以
201202
x t
x ty z y y z z =-⎧+-=⎧⎪
⇒=⎨
⎨-=⎩='⎪⎩
，即(2,1,2)n t =-，又平面ABCD 的一个法向量是1(0,0,1)n =
且12)4122
n n ⋅=⇒++⨯=
，解之得2t =A ．
13
【分析】
由题意利用弦长公式可得弦心距1d =
=
，再由点到直线的距离公式可得
1d =
∴=
解得a =
，或1a =（舍去）．
14
【解析】
由三视图可以知道：该几何体是一个三棱锥．其中PA ⊥底面ABC ，1PA AC CB ===，
则该三棱锥的最长棱的长是PB
，PB=
故答案为．
15．2222110
x y x y
++--=
【解析】
()
2
2,1
A-，设()
3
,
A m n，则
1
1
2
21
20
22
n
m
m n
+
⎧
=-
⎪⎪-
⎨
+-
⎪-+=
⎪⎩
，解得
3
4
m
n
=-
⎧
⎨
=
⎩
，注意到12
l l
⊥，∴123
A A A
∆为直角三角形，∴过点
123
,,
A A A的圆的直径为
13
A A，
所求圆的方程为()()()()
13240
x x y y
-+++-=，也就是2222110
x y x y
++--=．16．①④
【分析】
①面面平行的性质判断；②由直线11
A D在平面
1
BCD内判断；③反证法，由直线AD不垂直于直线BD判断；④可由面面垂直的判定定理判断.
【详解】
因为平面11
A ABB平面
11
D DCC，
1
D C在平面
11
D DCC内，所以直线
1
D C平面
11
A ABB，①对；
因为直线11
A D在平面
1
BCD内，所以②错；
显然直线AD不垂直于直线BD，所以直线AD不垂直于平面1D DB，③错；
因为BC⊥平面11
A ABB，所以平面
1
BCD⊥平面
11
A ABB，④对，故答案为①④.
【点睛】
本题主要考查正方体的性质，考查了面面平行的性质、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理的应用，意在考查空间想象能力以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
17．(1) 直线l 的方程为30x y +=或20x y ++=;(2) 8a =±4a =-. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）分类讨论：当直线过原点时，a=2；当直线l 不过原点时，a=0，从而求出直线l 的方程．
（Ⅱ）由题意知l 在x 轴，y 轴上的截距分别为2
1
a a -+，2a -，由三角形面积构建方程，求出a 的值． 试题解析：
（1）由题意知，10a +≠，即1a ≠-
当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，此时2a =，直线l 的方程为
30x y +=；
当直线l 不过原点时，即2a ≠时，由截距相等，得2
21
a a a -=-+，即0a =， 直线l 的方程为20x y ++=，
综上所述，所求直线l 的方程为30x y +=或20x y ++=. （2）由题意知，10a +≠，20a -≠， 且l 在x 轴，y 轴上的截距分别为
2
1
a a -+，2a -， 由题意知，
122621
a a a --=+，即()2
2121a a -=+
当10a +>时，解得8a =±当10a +<时，解得4a =-，
综上所述，8a =±4a =-.
18．（1）44(33
-；
（2）2． 【解析】
试题分析：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，用点斜式求得直线l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k 的值，可得满足条件的k 的范围．
（2）由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解
试题解析：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在， 设过点A （0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R=1．
1=
，解得：1244,33k k +==．
k <<
，过点A （0，1）的直线与圆C ：()()22231x y -+-=相交于M ，N 两点．
（2）设M ()11,x y ；N ()22,x y ，
由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，代入圆C 的方程()()2
2
231x y -+-=， 可得(
)()2
2
14170k
x
k x +-++=，
∴()12122
2
417
,11k x x x x k k
++=
=
++， ∴()()()22
121212122
1241
1111k k y y kx kx k x x k x x k ++=++=+++=+， 由212122
1248
·121k k OM ON x x y y k ++=+==+，解得 k=1，
故直线l 的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．所以|MN|=2 考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算
19．（1）见解析（2）见解析 【解析】
试题分析:（1）设1A C 与1AC 交点为O ，则根据三角形中位线性质得1OD A B ，再利用线
面平行判定定理得结论（2）1BB ⊥由面ABC 得1B B AD ⊥，再由正三角形性质得AD BC ⊥，
因此由线面垂直判定定理得AD ⊥平面11BCC B ，即CM AD ⊥，再结合条件1CM AC ⊥，
利用线面垂直判定定理得CM ⊥平面1AC D ，即得1CM C D ⊥． 试题解析：（1）证明：连接1A C ， 设1A C 与1AC 交点为O ，连接OD ， ∵在1A CB 中，
O ，D 分别为1A C ，BC 中点，
∴1OD A B ， ∵OD ⊂平面1AC D ，
1A B ⊄平面1AC D ，
∴1A B 平面1AC D ． （2）∵1B B ⊥平面ABC ，
AD ⊂平面ABC ，
∴1B B AD ⊥， ∵在正ABC 中，
D 是棱BC 中点，
∴AD BC ⊥， ∵1BC B B B ⋂=点，
BC ，1B B ⊂平面11BCC B ，
∴AD ⊥平面11BCC B ， ∵CM ⊂平面11BCC B ， ∴CM AD ⊥， 又∵1CM AC ⊥，
1AC AD A ⋂=点， 1AC 、AD ⊂平面1AC D ，
∴CM ⊥平面1AC D ， ∵1C D ⊂平面1AC D ， ∴1CM C D ⊥．
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 20．（Ⅰ）（x ﹣1）2+y 2=25；（Ⅱ） 15,8⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
；（Ⅲ）x+2y ﹣1=0. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）圆心C 是MN 的垂直平分线与直线2x-y-2=0的交点，CM 长为半径，进而可得圆的方程；
（Ⅱ）直线l 过点（-2，5）且与圆C 有两个不同的交点，则C 到l 的距离小于半径，进而得到k 的取值范围；
（Ⅲ）求出AB 的垂直平分线方程，将圆心坐标代入求出斜率，进而可得答案． 试题解析：
（I ）MN 的垂直平分线方程为：x ﹣2y ﹣1=0与2x ﹣y ﹣2=0联立解得圆心坐标为C （1，0） R 2=|CM|2=（﹣3﹣1）2+（3﹣0）2=25 ∴圆C 的标准方程为：（x ﹣1）2+y 2=25
（II ）设直线l 的方程为：y ﹣5=k （x+2）即kx ﹣y+2k+5=0，设C 到直线l 的距离为d ， 则d=
由题意：d ＜5 即：8k 2﹣15k ＞0 ∴k ＜0或k ＞ 又因为k ＞0
∴k 的取值范围是（，+∞）
（III ）设符合条件的直线l 存在，则AB 的垂直平分线方程为：y+1=﹣（x ﹣3）即：x+ky+k ﹣3=0
∵弦的垂直平分线过圆心（1，0）∴k ﹣2=0 即k=2 ∵k=2＞
故符合条件的直线存在，l 的方程：x+2y ﹣1=0. 21．（1）证明见解析（2）1
12
【分析】
（1）利用勾股定理证明BC AC ⊥，由PA ⊥平面ABCD ，可得PA BC ⊥．从而可证得BC ⊥平面:PAC
（2）在直角梯形ABCD 中，过C 作CE AB ⊥于点E ，则四边形ADCE 为矩形，AE DC =，
AD EC =．求得CE ，计算ACD ∆的面积，根据M 到平面ADC 的距离是P 到平面ADC
距离的一半，求得棱锥的高，代入体积公式计算． 【详解】 解：（1）证明：
PA ⊥平面ABCD ，∴PA BC ⊥
在ABC ∆中，2,45AB BC ABC ︒==
∠=
依余弦定理有：222222cos 452AC ︒=+-⨯=，∴AC =又222224AC BC AB +=+==，∴90ACB ︒∠=，即AC BC ⊥ 又PA
AC A =，∴BC ⊥平面PAC
（2）在直角梯形ABCD 中，过C 作CE AB ⊥于点E ， 则四边形ADCE 为矩形，AE DC ∴=，AD EC =．
在Rt CEB ∆中，可得cos 451BE BC =︒==，
sin 4512
CE BC =︒==，211AE AB BE ∴=-=-=
11111222
ADC S DC CE ∆∴=
=⨯⨯=．， M 是PC 的中点，M ∴到平面ADC 的距离是P 到平面ADC 距离的一半，
111111
()3232212
C MA
D M ACD ACD V V S PA --∆∴==⨯⨯=⨯⨯=．
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定，考查了三棱锥的换底性及棱锥的体积公式，涉及知识较多，对学生的推理论证能力有一定的要求，属于中档题． 22．（1）见解析（2）N 为PD 中点 【详解】
试题分析：（1）先取AD 的中点M ，利用三角形中位线性质得//EM PA ，再根据线面平行判定定理得//EM 平面PAB .根据计算，利用平几知识得//MC AB ，再根据线面平行判定定理得//MC 平面PAB .从而利用面面平行判定定理得平面//EMC 平面PAB .最后根据面面平行性质得//EC 平面PAB . （2）一般利用空间直角坐标系研究线面角，先根据条件建立恰当直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出平面法向量，根据向量数量积求出向量夹角，最后利用线面角与向量夹角关系列方程，解出点N 坐标，确定其位置. 试题解析：(1)证明 取AD 的中点M ，连接,EM CM ，则//EM PA .
因为EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//EM 平面PAB .
在Rt ACD ∆中，60,CAD CM AM ∠︒＝＝，所以60ACM ∠︒＝
. 而60BAC ∠︒＝，所以//MC AB . 因为MC ⊄平面PAB ，AB
平面PAB ，
所以//MC 平面PAB . 又因为EM MC M ⋂＝， 所以平面//EMC 平面PAB . 因为EC ⊂平面EMC ，
所以//EC 平面PAB . （注：（1）问也可建系来证明）
(2)过A 作AF AD ⊥，交BC 于F ，又PA ⊥平面ABCD 知以A 为原点，AF AD AP 、、分别为x y 、、z 轴建系如图：
则(
))
()()10,0,0,,0,,0,4,0,0,0,2,2A B C
D P ⎫-⎪⎪⎝⎭
设平面PAC 的法向量(),,n x y z =， 由0
{
n AP n AC ⋅=⋅=
有200
z y =+=取(
)
3,3,0n =
-
设()01PN PD λλ=≤≤，则()()0,4,20,4,2PN λλλ=-=
-，
∴(
)()()
1,20,4,21,22CN CP PN λλλλ=+=--+-=--
∴(·sin cos ,
,3CN n CN n CN n
θ=〈〉=
=
=
+ ∴1680λ-+=,∴1
2
λ=
． ∴线段PD 上存在一点N ，N 为PD 中点。