山西省高考数学一轮复习单元测试 随机变量及其分布

山西省2013届高考数学一轮单元复习测试：随机变量及其分布
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A ．12
B ．35
C ．23
D ．34
【答案】D
2．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A ．12
B ．35
C ．23
D ．34
【答案】D
3．根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是830，刮东风又下雨的概率是7
30
，则
该地四月份在刮东风条件下下雨的概率是( )
A ．830
B ．730
C ．78
D ．87
【答案】C
4．两台相互独立工作的电脑产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为( ) A ．ab B ．a ＋b C ．1－ab D ．1－a －b 【答案】B
5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2
)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)＝( )
A ．0.6
B ．0.4
C ．0.3
D ．0.2 【答案】C
6．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2
)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)＝( )
A ．0.6
B ．0.4
C ．0.3
D ．0.2 【答案】C
7．已知随机变量的分布列为：P (X ＝k )＝1
3
k ，k ＝1,2…，则P (2<X ≤4)＝( )
A ．364
B ．164
C ．481
D ．181
【答案】C
8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，a 、
b 、
c ∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大
值为( )
A ．148
B ．124
C ．112
D ．16
【答案】B
9．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( ) A ．100 B ．200 C ．300 D ．400 【答案】B
10．设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表所示，
则q ＝( )
A ．1
B ．1±22
C ．1＋22
D ．1－
22
【答案】D
11．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3
4
，两个零件是否加工为
一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个是一等品的概率为( )
A ．12
B ．512
C ．14
D ．16
【答案】B
12．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率为( ) A ．0.72 B ．89 C ．0.36 D ．49
【答案】A
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生
得到甲公司面试的概率为2
3
，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其
面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝1
12
，则随机变
量X 的数学期望E (X )＝________.
【答案】5
3
14
15．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________． 【答案】0.128
16．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是1
4
．现在三人
同时射击目标，则目标被击中的概率为________．
【答案】 3
4
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时部分每小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点则车骑游(各租一车一次)．设
甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，1
2
；两小时以上且不超过三小时还车的概率分
别为12，1
4
；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ.
【答案】(1)由题意得，甲、乙在三个小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，1
4
．
设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则
P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516
．
答：甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为5
16
．
(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.
P (ξ＝0)＝14×12＝1
8
；
P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝5
16
；
P (ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝5
16；
P (ξ＝6)＝12×14＋14×14＝3
16；
P (ξ＝8)＝14×14＝1
16
．
甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为
所以E ξ＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝7
2
．
18．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2
＋16＝0.
(1)若a 、b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率． 【答案】(1)基本事件(a ，b )共有36个，
方程有正根等价于a －2>0,16－b 2
>0，Δ≥0，
即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2
≥16.
设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，
故所求的概率为P (A )＝436＝1
9
；
(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，其面积为S (Ω)＝16. 设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为
B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，
其面积为S (B )＝14
×π×42
＝4π，
故所求的概率为P (B )＝4π16＝π
4．
19．设S 是不等式x 2
－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .
(1)记使得“m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举A 包含的基本事件．
(2)记ξ＝m 2
，求ξ的分布列及其数学期望E (ξ)．
【答案】(1)由x 2
－x －6≤0得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}，
由于整数m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m 2
的所有不同取值为0,1,4,9，
且有P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝1
6
，
故ξ的分布列为
所以E (ξ)＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝19
6
．
20．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定位3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力． (1)求X 的分布列；
(2)求此员工月工资的期望．
【答案】(1)X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4
P (X ＝i )＝C i 4C 4－i 4
C 45
(i ＝0,1,2,3,4)
即
(2)令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2100,2800,3500
则P (Y ＝3500)＝P (X ＝4)＝1
70
P (Y ＝2800)＝P (X ＝3)＝8
35
P (Y ＝2100)＝P (X ≤2)＝53
70
EY ＝3500×170＋2800×1670＋2100×53
70
＝2280.
所以新录用员工月工资的期望为2280元．
21．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；
(2)设X 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求X 的分布列及数学期望． 【答案】设A i 表示事件：第i 局甲获胜，i ＝3,4,5，
B j表示事件：第j局乙获胜：j＝3,4.
(1)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．
因前2局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲胜2局，从而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5，
由于各局比赛结果相互独立，故
P(B)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A4)
＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.
(2)X的可能取值为2,3.
由于各局比赛结果相互独立，所以
P(X＝2)＝P(A3·A4＋B3·B4)
＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)
＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－0.52＝0.48.
X的分布列为
EX＝2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)
＝2×0.52＋3×0.48＝2.48.
22．某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样方法(按A类、B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)．
(1)分别求甲、乙两工人被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；
(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.
生产能
[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)
力分组
人数48x 5 3
生产能
[110,120)[120,130)[130,140)[140,150) 力分组
人数6y 3618
①先确定x、y，再完成下列频率分布直方图．
②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
【答案】(1)甲、乙被抽到的概率均为1 10．
(2)①由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名．故4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5，
6＋y＋36＋18＝75，得y＝15.
频率分布直方图如下：
②x A＝4
25×105＋
8
25
×115＋
5
25
×125＋
5
25
×135＋
3
25
×145＝123，
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.。