解集合问题的几种穕

解集合问题的几种方法
河北 代学奎
集合是历来高考查的重要内容之一，是整个高中内容的基础，由于集合知识的抽象性，给处理集合问题带来一定的困难，为此结合历年高考集合题，例析解集合问题的几种常用方法，供参考。

一、 数轴法
由实数与数轴上的点对应关系，可以用数轴上的点或区间表示数集，从而直观形象地分析问题和解决问题。

例1 (2005年天津理工高考) 设集合A={x||4x －1|≥9，x ∈R}，B={x|3
+x x ≥0 ，x ∈R }则A ∩B = ( )
A ．(－3，－2]
B ．(－3，－2]∪[0，
25] C ．(－≦，－3) ∪(25， +≦) D ．(－≦，－3) ∪[2
5，+≦) 解：集合A={x||4x －1|≥9，x ∈R}={x|x ≥25或x ≤－2，x ∈R}，集合B={x|3
+x x ≥0 ，x ∈R }={x|x <－3或x ≥0}，把集合A
和集合B 所表示的范围在数轴上表示出来，
可得A ∩B =(－≦，－3) ∪[25，+≦) 例2 (2005年重庆理工高考)集合A={ x ∈R|x 2－x －6 < 0}，B={ x ∈R||x －2| < 2}，则A ∩B =___________。

解：A={ x ∈R|x 2－x －6 < 0}={x|－2 < x < 3}, B={ x ∈R||x －2| < 2}={x|0 < x < 4}.把集合A 和集合B 所表示的范围在
数轴上表示出来，可得A ∩B ={x|0 < x < 3}
例3(2005年湖南理工高考)集合A={x|011<+-x x }，B ={x||x －b| < a}，若“a = 1”是“A ∩B =φ”的充分条件，则b 的取值范围可以是( )
. A ．－2≤b< 0． B ．0< b ≤2。

C ．－3 < b<－1 D ．－1≤b< 2
解：集合A={x|01
1<+-x x }={x|－1<x <1}，当 “a =1“ 时B ={x||x －b| < 1}= {x|－1 + b < x <1 + b}
－3 2.5
－2 0 －2 4
0 3 －1 1
1+b
－1+b 1+b －1+b －1 1
以上两个图都A ∩B =φ，因为“a = 1”是“A ∩B =φ”的充分条件，由图可得－1≤b< 2，故选D 。

二、 性质法
在解集合问题时，用常用性质求解，往往快捷迅速，如C U A ∪C U B = C U ( A ∩B)，C U A ∩C U B=C U ( A ∪B)，φ∩A=φ, φ∪A=A ，φ⊆A ，集合A 中有n 个元素其子集个数为2n ，真子集个数为2n －1等。

例4(2000年春季高考) 设全集U={a ，b ，c ，d ，e}，集合A={a ，c ，d}，B={b ，d ，e}，那么C U A ∩C U B =（ ）。

A ．φ
B ．{d}
C ．{a ，c}
D ．{b ，c}
解：C U A ∩C U B= C U ( A ∪B)= C U U=φ，故选A.
例5(1994年全国高考)设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则C U A ∪C U B = ( )
A ．{0}
B ．{0，1}
C ．{0，1，4}
D ．{0，1，2，3，4} 解：因为A ∩B={2，3}，C U A ∪C U B= C U ( A ∩B)= {0，1，4}故选C.
例6(2005年天津文史高考) 集合A={x|0≤x<3且x ∈N}的真子集个数为( )
A ．16
B ．8
C ．7
D ．4
解：集合A={0，1，2}共3个元素，其真子集个数为23－1。

故选C.
三、 列举法
对于一些有明显特征的集合，可以将集合中的元素一一列举出来，然后从中寻找解题方法。

例7(1993年全国高考)集合A={x|x=2πk +4π, k ∈Z}，B={x|x=4πk +2
π k ∈Z}则有( )
A ．A =
B B ．A ⊃B
C ． A ⊂B
D ．A ∩B =φ
解：分别取k=〃〃〃－2，－1，0，1，2〃〃〃得A={〃〃〃－4π，4
π，43π，45π，
47π〃〃〃} ，B={〃〃〃4π，2
π，43π，π，45π，23π，47π〃〃〃} 易得A ⊂B 故选C.
例8(1996年全国高考)，已知全集U=N ，集合A={x|x=2n ，n ∈N},集合B={x|x = 4n ，n ∈N}，则( )
A ．U= A ∪
B B ．U=
C U A ∪B C ．A ∪C U B
D ．C U A ∪C U B 解：用列举法有：集合A={2，4，6，8，〃〃〃}；集合B={4，8，12，16〃〃〃} 所以C U B={1，2，3，5，6，7，9〃〃〃}，于是有U= A ∪C U B ，故选C.。