模糊故障树分析方法新探_李馨
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顶事件结构函数 ψ （ ｘ） 的值表 示 整 个 系 统 失 效程度。顶事件发生的模糊概率也可以求出。如果 想要更深入地研究， 就可以通过专家等给出 ψ （ ｘ） 的一个阈值 λ， 当时 ψ （ ｘ） ＞λ， 失 效 程 度 达 到 上 限， 即不容许失效程度再进一步扩大， 否则整个系 统将会崩溃， 系统处于危险状态， 发出警告。研究 顶事件的失效程度大于某一临界值时的概率， 在实 际应用中是有现实意义的。
摘 要： 应用模糊数学的基本概念和方法， 在经典故障树分析方法的基础上将模糊集合理论引入其中， 将普
通事件拓展为模糊事件， 给出了模糊故障树的概念， 并且对模糊故障树进行了定性和定量分析。最后给出应用
实例。
关键词： 故障树； 模糊故障树分析； 模糊事件； 模糊诊断
中图分类号： Ｏ１５９
文献标识码： Ａ
＝
由上述的运算规律， 可以得出模糊故障树的最 小割集法， 即模糊故障树的结构函数仍然可以用一 个逻辑表达式表示， 利用模糊集合的运算法则去除 冗余项， 就可以得到最小割集。例如：
化简得
于是， 最小割集就是 ４ 个由逻辑或联结的 ４ 个 逻辑与。
可见， 模糊化的故障树与普通故障树在最小割 集的求法上其基本原理是一致的， 只是在算子上有 差别。
电子产品可靠性与环境试验 ＥＬＥＣＴＲＯＮＩＣ ＰＲＯＤＵＣＴ ＲＥＬＩＡＢＩＬＩＴＹ ＡＮＤ ＥＮＶＩＲＯＮＭＥＮＴＡＬ ＴＥＳＴＩＮＧ
可靠性与环境适应性理论研究
Ｖｏｌ．２５ Ｎｏ．１ Ｆｅｂ．， ２００７ ２００７年 ２ 月第 ２５ 卷 第 １ 期
模糊故障树分析方法新探
李馨
（ 辽宁工程技术大学工商管理学院， 辽宁 阜新 １２３０００）
若 事 件 ｅ１， ｅ２， Λ， ｅｎ 以 “与 ” 关 系 相 联 ， 用 合取 “∧”代替 “·”， 其故障树的结构函数为：
若 事 件 ｅ１， ｅ２， Λ， ｅｎ 以 “或 ” 关 系 相 联 ， 用 析取 “∨”代替 “＋”， 其故障树的结构函数为：
可见
取值也由原来的 ０、１ 变为：
若事件 树的结构函数为：
为此， 我们引入模糊集合理论。即将所有的故
２８
为顶事件发生的程度， 也是系统的失效
程度。另外， 还可义一个阈值 α，
通过
与 α的比较， 做出相应的决策。
３ 模糊故障树的分析
３．１ 最小割集定性分析法
故障树定性分析的目的是要找出使顶事件发生 的各种可能的基本事件的组合， 这对判明薄弱环 节、查明事件产生的原因、及时排除故障都有重要 意义。
Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ： ｆａｕｌｔ ｔｒｅｅ； ｆｕｚｚｙ ｆａｕｌｔ ｔｒｅｅ ａｎａｌｙｓｉｓ； ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ； ｆｕｚｚｙ ｄｉａｇｎｏｓｉｓ
１ 引言
故障树分析法 （ ＦＴＡ： Ｆａｕｌｔ Ｔｒｅｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ） 是 一种用于复杂系统可靠性、安全性预测的方法。故 障树是以系统最不希望发生的事件— ——顶事件为分 析目标， 应用逻辑演绎的方法研究造成顶事件发生 的各种直接及间接原因； 用 “逻辑门”将各原因相 联系， 建立起一个倒立的树状图形； 并指出单元故 障与系统故障之间的逻辑联系， 应用概率统计方法 对故障树进行定性分析， 可寻求顶事件发生的最小 割集 （ 即系统的最薄弱环节） ； 还可由基本事 件— ——底事件的发生概率来定量评价顶事件的发生 概率。由于该方法便于在系统设计时分析、处理各
当底事件发生的概率值起变化时引起顶事件发生概率的变化程度记为i个底事件的概率重要度等于该底事件发生时顶事件发生的概率与它不发生而顶事件依然发生的概率之差显然结束语系统故障树分析中模糊方法的引用并不是使分析方法本身模糊化而是针对可靠性工程的实际提出一种有效的处理工具是基于概率论的系统故障树分析理论的合理补充
例如： 断裂是轴零件的主要失效模式， 但在这 种突发失效中， 有一半以上是疲劳破坏， 即由于在 零件的局部高应力区， 较弱的晶粒在变应力的作用 下形成微裂纹。随着工作时间的延长， 这种微裂纹 逐渐发展成宏观裂纹， 最终导致断裂。试想当裂纹 很深即将导致断裂， 但却还未断裂时， 认为部件是 “完好”的显然是不合乎情理的。因此， 在失效分 析中， 除了那些完全失效的个体外， 还应该考虑未 失效个体所受到的损失， 并把这种损失看作是在一 定程度上的失效。
以 “或”关系相联， 其故障
然而， 失效既有像电灯泡断丝、晶体管击穿和 结构件断裂那样的突发失效， 又有像零件磨损、液 压系统漏油和电视机图像不清那样逐渐发生的退化 失效。对于后者， 失效的界限往往是不明确的。对 系统内部存在退化现象， 而分析失效时却仅仅考虑 系统状态的突变现象， 这显然是不全面的。
模糊事件隶属函数关于∨， ∧运算满足交换 率、分配率和结合率。即
（ ３） 式 （ ３） 中： ｋ— ——最小割集数目， 定义为：
对于模糊事件， 对应公式为：
令 Ｅｉ 为 属 于 Ｍｉ 的 全 部 底 事 件 均 发 生 的 事 件 ， 则顶事件发生即 ｋ 个 Ｅ 中至少有一个发生。设底
事件 ｅ１， ｅ２， Λ， ｅｎ 独立， 则顶事件发生的概率为：
件 “完 全 失 效 ” 时 的 隶 属 度 为 １， 部 件 “完 好 ” （ 即不发生故障） 时的隶属度为 ０， 在两者之间有 一个连续变化的中介过渡过程。这种基于模糊事件 的故障树称之为模糊故障树。
于是故障树的结构函数可定义为： （ ２）
式 （ ２） 中， μ１， μ２， Λ， μｎ 分别表示各个部件发生 失效或故障的程度， 故障树结构函数的算子也作相 应的改变。
２００７年
２ 模糊故障树及其结构函数
故障树是由构成它的全部底事件的逻辑 “并” 和 “交”联结而成的， 是在理论分析和丰富的经验 基础上完成的。系统失效可称为故障树的顶事件， 记作 Ｔ； 系统各部件故障称为底事件， 记为 ｅｉ （ ｉ＝１， ２， Λ， ｎ） 。传统的故障树分析法对系统和部件均只 考虑失效和成功两种状态， 把底事件定义为 ［１］：
３．２ 顶事件的故障概率 这里研究由最小割集结构函数来求系统失效概
率， 即顶事件故障概率的方法。系统最小割集结构 函数为：
ＤＩＡＮＺＩ ＣＨＡＮＰ ＩＮ ＫＥＫＡＯＸＩＮＧ ＹＵ ＨＵＡＮＪ ＩＮＧ Ｓ ＨＩＹＡＮ
（ ５）
根据式 （ ４） 、 （ ５） 可以看出， 每个模糊底事 件发生的概率等于该事件的概率密度函数与该事件 失效的隶属函数乘积的积分， 或通过求其隶属函数 的期望来求得。而每个割集发生的概率为割集中包 含的底事件的隶属函数的期望之积。因此， 利用式 （ ４） 、 （ ５） 可以方便地求出顶事件发生的概率， 即 系统失效概率。
系统顶事件的状态用 来表示， 则 必然是底 事件状态 ｘｉ （ ｉ＝１， ２， Λ， ｎ） 的函数：
同时 （ １）
式 （ １） 中：
；
— ——故障树的结构函数。
若事件
以 “与”关系相联， 其故障
树的结构函数为：
障树节点模糊化， 并给每个模糊事件定义隶属函数 ， 表示模糊事件 ｉ 发生的程度 ［３］。部
当底事件发生的概率值起变化时， 引起顶事件 发 生 概 率 的 变 化 程 度 ， 记 为 Ｉｇ （ ｉ） ， 其 数 学 定 义 为：
第 ｉ 个底事件的概率重要度等于该底事件发生 时， 顶事件发生的概率与它不发生而顶事件依然发 生的概率之差， 显然
０＜Ｉｇ （ ｉ） ＜１
４ 结束语
系统故障树分析中模糊方法的引用， 并不是使 分析方法本身 “模糊化”， 而是针对可靠性工程的 实际， 提出一种有效的处理工具， 是基于概率论的 系统故障树分析理论的合理补充。应用模糊集理论 建立系统的故障树， 并将模糊集理论用于故障树的 定量分析， 这种模糊故障树诊断方法克服了一般系 统故障诊断模式中的定位不准或误诊的通病， 是一 种简单可行、又有效的系统故障诊断方法。
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ｔｈｅ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ ｗａｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃ ｆａｕｌｔ ｔｒｅｅ ａｎａｌｙｓｉｓ
ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｃｏｎｃｅｐｔ ａｎｄ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｍａｔｈ． Ａ ｎｅｗ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｆａｕｌｔ ｔｒｅｅ ｗｈｉｃｈ ｅｘｔｅｎｄｓ ｃｏｍｍｏｎ ｅｖｅｎｔｓ ｔｏ ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ ｗａｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ． Ｔｈｅ ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ ａｎｄ ｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｆｕｚｚｙ ｆａｕｌｔ ｔｒｅｅ ｗａｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ａｎｄ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｗａｓ ｇｉｖｅｎ．
种潜在的事故， 在系统使用时做失效诊断 （ 即预告 失效原因） ， 所以近年来颇受重视， 已被公认为是 可靠性分析和故障诊断的一种简单、有效的方法。
然而传统的故障树分析法要求系统的底事件和 顶事件都是确定事件 （ 即要么失效， 要么正常） ， 这样才能确定顶事件处于何种状态。而对于非确定 性的模糊事件构成的故障树， 用传统的故障树分析 方法就显得无能为力了。在实际中， 模糊事件大量 存在， 不确定性才是事件的本质。本文将模糊集合 理论引入其中， 构成一种更能反映事物本质、更具 灵活性和适应性的模糊故障树诊断方法。
一般最小割集结构函数表示为： Ｔ＝Ｍ１＋Ｍ２＋Λ＋Ｍｋ
Ｍｉ 为 最 小 割 集 ， ｉ＝１， ２， Λ， ｋ， 它 为 ｌｉ 个 部 件的组合， 即 Ｍｉ＝ｅｉ１ｅｉ２Λ， ｋ。
ＤＩＡＮＺＩ ＣＨＡＮＰ ＩＮ ＫＥＫＡＯＸＩＮＧ ＹＵ ＨＵＡＮＪ ＩＮＧ Ｓ ＨＩＹＡＮ
第１期
李馨： 模糊故障树分析方法新探
一个故障树的结构函数可以用一个逻辑表达式
表示， 于是利用布尔代数运算的分配率和吸收率去
除冗余项， 就可以得到最小割集。例如：
Ｔ＝ （ ｘ１＋ｘ２＋ｘ３） （ ｘ１＋ｘ４） （ ｘ３＋ｘ５） 化简得
Ｔ＝ｘ１ｘ３＋ｘ１ｘ５＋ｘ３ｘ４＋ｘ２ｘ４ｘ５ 则最小割集就是 ４ 个由逻辑和联结的 ４ 个逻辑
积。
对于底事件为模糊事件的情况， 底事件发生定
２９
电子产品可靠性与环境试验
２００７年
或
也就是说， 顶事件 Ｔ 的失效程度在大于某一 临界值时的概率， 与模糊底事件的分布函数在这一 临界值点的取值有关。
３．３ 底事件的概率重要度
一个故障树往往包含多个底事件， 利用底事件 的概率重要度， 可以比较出各个部件对于系统的重 要性。概率重要度大的底事件的发生概率稍有变 化， 就会引起顶事件发生概率的显著变化， 这样的 底事件就很重要， 需要重点关注。
设故障树底事件的集合为 ｛ｅ１， ｅ２， Λ， ｅｎ｝， 若 有一子集 ｛ｅｉ１， ｅｉ２， Λ， ｅｉｌｉ｝， 则 ｉ＝１， ２， Λ， ｋ。在 ｛ｅｉ１， ｅｉ２， Λ， ｅｉｌｉ｝ ∪ ｛ｅ１， ｅ２， Λ， ｅｎ｝ 子集中， 全部 底事件都发生时顶事件必然发生， 则该子集就是割 集， 这里割集数量为 ｋ。下面介绍普通故障树最小 割集的求法 ［１］。
收稿日期： ２００６－ １０－ ２３ 作者简介： 李馨 （ １９８３－ ） ， 女， 河北唐山人， 辽宁工程技术大学工商管理学院在读硕士研究生， 研究方向为管理科学与工程下的
决策理论与应用。。
ＤＩＡＮＺＩ ＣＨＡＮＰ ＩＮ ＫＥＫＡＯＸＩＮＧ ＹＵ ＨＵＡＮＪ ＩＮＧ Ｓ ＨＩＹＡＮ
２７
电子产品可靠性与环境试验
义 为 该 底 事 件 的 隶 属 函 数 μｉ＝λ＞０； 底 事 件 不 发 生 定义为 μｉ＝０。最小割集是部件或底事件失效的最小 组合， 该组合中有一个部件未失效， 即有一个模糊
事件的隶属度等于 ０， 顶事件将不会发生； 组合中
所有的事件均发生， 顶事件才发生。
分别表示模糊事件
的隶属函
数 ［４］， 则
文章编号： １６７２－ ５４６８ （ ２００７） ０１－ ００２７－ ０４
Ａ Ｎｅｗ Ｓｔｕｄｙ ｏｆ Ｆｕｚｚｙ Ｆａｕｌｔ Ｔｒ ｅｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ
ＬＩ Ｘｉｎ （ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ ａｎｄ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ， Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｂｕｘｉｎ １２３０００， Ｃｈｉｎａ）
ｐ
｛Ｔ 发生｝ ＝ｐ
（
Ｙｋ
ｉ＝１
Ｅｉ）
＝
（ ４）
当部件的失效概率很小， 概率的积更小时， 可 以 把 各 个 割 集 Ｍ１Ｍ２ΛＭｋ 近 似 看 作 是 独 立 或 互 斥 事 件， 以便简化运算。则公式 （ ４） 变为：
ｋ
# ｐ ｛Ｔ 发生｝ ＝ｐ （ Ｙｉ＝ｋ１Ｅｉ） ＝ ｐ ｛Ｅｉ｝ ｉ＝１
若底事件 ｅ１， ｅ２， Λ， ｅｎ 的分布函数为 Ｆｚ （ ｘ） ， 概率密度函数为 ｆｚ （ ｘ） （ ｚ＝１， ２， Λ， ｎ） ， 则
摘 要： 应用模糊数学的基本概念和方法， 在经典故障树分析方法的基础上将模糊集合理论引入其中， 将普
通事件拓展为模糊事件， 给出了模糊故障树的概念， 并且对模糊故障树进行了定性和定量分析。最后给出应用
实例。
关键词： 故障树； 模糊故障树分析； 模糊事件； 模糊诊断
中图分类号： Ｏ１５９
文献标识码： Ａ
＝
由上述的运算规律， 可以得出模糊故障树的最 小割集法， 即模糊故障树的结构函数仍然可以用一 个逻辑表达式表示， 利用模糊集合的运算法则去除 冗余项， 就可以得到最小割集。例如：
化简得
于是， 最小割集就是 ４ 个由逻辑或联结的 ４ 个 逻辑与。
可见， 模糊化的故障树与普通故障树在最小割 集的求法上其基本原理是一致的， 只是在算子上有 差别。
电子产品可靠性与环境试验 ＥＬＥＣＴＲＯＮＩＣ ＰＲＯＤＵＣＴ ＲＥＬＩＡＢＩＬＩＴＹ ＡＮＤ ＥＮＶＩＲＯＮＭＥＮＴＡＬ ＴＥＳＴＩＮＧ
可靠性与环境适应性理论研究
Ｖｏｌ．２５ Ｎｏ．１ Ｆｅｂ．， ２００７ ２００７年 ２ 月第 ２５ 卷 第 １ 期
模糊故障树分析方法新探
李馨
（ 辽宁工程技术大学工商管理学院， 辽宁 阜新 １２３０００）
若 事 件 ｅ１， ｅ２， Λ， ｅｎ 以 “与 ” 关 系 相 联 ， 用 合取 “∧”代替 “·”， 其故障树的结构函数为：
若 事 件 ｅ１， ｅ２， Λ， ｅｎ 以 “或 ” 关 系 相 联 ， 用 析取 “∨”代替 “＋”， 其故障树的结构函数为：
可见
取值也由原来的 ０、１ 变为：
若事件 树的结构函数为：
为此， 我们引入模糊集合理论。即将所有的故
２８
为顶事件发生的程度， 也是系统的失效
程度。另外， 还可义一个阈值 α，
通过
与 α的比较， 做出相应的决策。
３ 模糊故障树的分析
３．１ 最小割集定性分析法
故障树定性分析的目的是要找出使顶事件发生 的各种可能的基本事件的组合， 这对判明薄弱环 节、查明事件产生的原因、及时排除故障都有重要 意义。
Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ： ｆａｕｌｔ ｔｒｅｅ； ｆｕｚｚｙ ｆａｕｌｔ ｔｒｅｅ ａｎａｌｙｓｉｓ； ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ； ｆｕｚｚｙ ｄｉａｇｎｏｓｉｓ
１ 引言
故障树分析法 （ ＦＴＡ： Ｆａｕｌｔ Ｔｒｅｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ） 是 一种用于复杂系统可靠性、安全性预测的方法。故 障树是以系统最不希望发生的事件— ——顶事件为分 析目标， 应用逻辑演绎的方法研究造成顶事件发生 的各种直接及间接原因； 用 “逻辑门”将各原因相 联系， 建立起一个倒立的树状图形； 并指出单元故 障与系统故障之间的逻辑联系， 应用概率统计方法 对故障树进行定性分析， 可寻求顶事件发生的最小 割集 （ 即系统的最薄弱环节） ； 还可由基本事 件— ——底事件的发生概率来定量评价顶事件的发生 概率。由于该方法便于在系统设计时分析、处理各
当底事件发生的概率值起变化时引起顶事件发生概率的变化程度记为i个底事件的概率重要度等于该底事件发生时顶事件发生的概率与它不发生而顶事件依然发生的概率之差显然结束语系统故障树分析中模糊方法的引用并不是使分析方法本身模糊化而是针对可靠性工程的实际提出一种有效的处理工具是基于概率论的系统故障树分析理论的合理补充
例如： 断裂是轴零件的主要失效模式， 但在这 种突发失效中， 有一半以上是疲劳破坏， 即由于在 零件的局部高应力区， 较弱的晶粒在变应力的作用 下形成微裂纹。随着工作时间的延长， 这种微裂纹 逐渐发展成宏观裂纹， 最终导致断裂。试想当裂纹 很深即将导致断裂， 但却还未断裂时， 认为部件是 “完好”的显然是不合乎情理的。因此， 在失效分 析中， 除了那些完全失效的个体外， 还应该考虑未 失效个体所受到的损失， 并把这种损失看作是在一 定程度上的失效。
以 “或”关系相联， 其故障
然而， 失效既有像电灯泡断丝、晶体管击穿和 结构件断裂那样的突发失效， 又有像零件磨损、液 压系统漏油和电视机图像不清那样逐渐发生的退化 失效。对于后者， 失效的界限往往是不明确的。对 系统内部存在退化现象， 而分析失效时却仅仅考虑 系统状态的突变现象， 这显然是不全面的。
模糊事件隶属函数关于∨， ∧运算满足交换 率、分配率和结合率。即
（ ３） 式 （ ３） 中： ｋ— ——最小割集数目， 定义为：
对于模糊事件， 对应公式为：
令 Ｅｉ 为 属 于 Ｍｉ 的 全 部 底 事 件 均 发 生 的 事 件 ， 则顶事件发生即 ｋ 个 Ｅ 中至少有一个发生。设底
事件 ｅ１， ｅ２， Λ， ｅｎ 独立， 则顶事件发生的概率为：
件 “完 全 失 效 ” 时 的 隶 属 度 为 １， 部 件 “完 好 ” （ 即不发生故障） 时的隶属度为 ０， 在两者之间有 一个连续变化的中介过渡过程。这种基于模糊事件 的故障树称之为模糊故障树。
于是故障树的结构函数可定义为： （ ２）
式 （ ２） 中， μ１， μ２， Λ， μｎ 分别表示各个部件发生 失效或故障的程度， 故障树结构函数的算子也作相 应的改变。
２００７年
２ 模糊故障树及其结构函数
故障树是由构成它的全部底事件的逻辑 “并” 和 “交”联结而成的， 是在理论分析和丰富的经验 基础上完成的。系统失效可称为故障树的顶事件， 记作 Ｔ； 系统各部件故障称为底事件， 记为 ｅｉ （ ｉ＝１， ２， Λ， ｎ） 。传统的故障树分析法对系统和部件均只 考虑失效和成功两种状态， 把底事件定义为 ［１］：
３．２ 顶事件的故障概率 这里研究由最小割集结构函数来求系统失效概
率， 即顶事件故障概率的方法。系统最小割集结构 函数为：
ＤＩＡＮＺＩ ＣＨＡＮＰ ＩＮ ＫＥＫＡＯＸＩＮＧ ＹＵ ＨＵＡＮＪ ＩＮＧ Ｓ ＨＩＹＡＮ
（ ５）
根据式 （ ４） 、 （ ５） 可以看出， 每个模糊底事 件发生的概率等于该事件的概率密度函数与该事件 失效的隶属函数乘积的积分， 或通过求其隶属函数 的期望来求得。而每个割集发生的概率为割集中包 含的底事件的隶属函数的期望之积。因此， 利用式 （ ４） 、 （ ５） 可以方便地求出顶事件发生的概率， 即 系统失效概率。
系统顶事件的状态用 来表示， 则 必然是底 事件状态 ｘｉ （ ｉ＝１， ２， Λ， ｎ） 的函数：
同时 （ １）
式 （ １） 中：
；
— ——故障树的结构函数。
若事件
以 “与”关系相联， 其故障
树的结构函数为：
障树节点模糊化， 并给每个模糊事件定义隶属函数 ， 表示模糊事件 ｉ 发生的程度 ［３］。部
当底事件发生的概率值起变化时， 引起顶事件 发 生 概 率 的 变 化 程 度 ， 记 为 Ｉｇ （ ｉ） ， 其 数 学 定 义 为：
第 ｉ 个底事件的概率重要度等于该底事件发生 时， 顶事件发生的概率与它不发生而顶事件依然发 生的概率之差， 显然
０＜Ｉｇ （ ｉ） ＜１
４ 结束语
系统故障树分析中模糊方法的引用， 并不是使 分析方法本身 “模糊化”， 而是针对可靠性工程的 实际， 提出一种有效的处理工具， 是基于概率论的 系统故障树分析理论的合理补充。应用模糊集理论 建立系统的故障树， 并将模糊集理论用于故障树的 定量分析， 这种模糊故障树诊断方法克服了一般系 统故障诊断模式中的定位不准或误诊的通病， 是一 种简单可行、又有效的系统故障诊断方法。
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ｔｈｅ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ ｗａｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃ ｆａｕｌｔ ｔｒｅｅ ａｎａｌｙｓｉｓ
ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｃｏｎｃｅｐｔ ａｎｄ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｍａｔｈ． Ａ ｎｅｗ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｆａｕｌｔ ｔｒｅｅ ｗｈｉｃｈ ｅｘｔｅｎｄｓ ｃｏｍｍｏｎ ｅｖｅｎｔｓ ｔｏ ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ ｗａｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ． Ｔｈｅ ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ ａｎｄ ｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｆｕｚｚｙ ｆａｕｌｔ ｔｒｅｅ ｗａｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ａｎｄ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｗａｓ ｇｉｖｅｎ．
种潜在的事故， 在系统使用时做失效诊断 （ 即预告 失效原因） ， 所以近年来颇受重视， 已被公认为是 可靠性分析和故障诊断的一种简单、有效的方法。
然而传统的故障树分析法要求系统的底事件和 顶事件都是确定事件 （ 即要么失效， 要么正常） ， 这样才能确定顶事件处于何种状态。而对于非确定 性的模糊事件构成的故障树， 用传统的故障树分析 方法就显得无能为力了。在实际中， 模糊事件大量 存在， 不确定性才是事件的本质。本文将模糊集合 理论引入其中， 构成一种更能反映事物本质、更具 灵活性和适应性的模糊故障树诊断方法。
一般最小割集结构函数表示为： Ｔ＝Ｍ１＋Ｍ２＋Λ＋Ｍｋ
Ｍｉ 为 最 小 割 集 ， ｉ＝１， ２， Λ， ｋ， 它 为 ｌｉ 个 部 件的组合， 即 Ｍｉ＝ｅｉ１ｅｉ２Λ， ｋ。
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第１期
李馨： 模糊故障树分析方法新探
一个故障树的结构函数可以用一个逻辑表达式
表示， 于是利用布尔代数运算的分配率和吸收率去
除冗余项， 就可以得到最小割集。例如：
Ｔ＝ （ ｘ１＋ｘ２＋ｘ３） （ ｘ１＋ｘ４） （ ｘ３＋ｘ５） 化简得
Ｔ＝ｘ１ｘ３＋ｘ１ｘ５＋ｘ３ｘ４＋ｘ２ｘ４ｘ５ 则最小割集就是 ４ 个由逻辑和联结的 ４ 个逻辑
积。
对于底事件为模糊事件的情况， 底事件发生定
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或
也就是说， 顶事件 Ｔ 的失效程度在大于某一 临界值时的概率， 与模糊底事件的分布函数在这一 临界值点的取值有关。
３．３ 底事件的概率重要度
一个故障树往往包含多个底事件， 利用底事件 的概率重要度， 可以比较出各个部件对于系统的重 要性。概率重要度大的底事件的发生概率稍有变 化， 就会引起顶事件发生概率的显著变化， 这样的 底事件就很重要， 需要重点关注。
设故障树底事件的集合为 ｛ｅ１， ｅ２， Λ， ｅｎ｝， 若 有一子集 ｛ｅｉ１， ｅｉ２， Λ， ｅｉｌｉ｝， 则 ｉ＝１， ２， Λ， ｋ。在 ｛ｅｉ１， ｅｉ２， Λ， ｅｉｌｉ｝ ∪ ｛ｅ１， ｅ２， Λ， ｅｎ｝ 子集中， 全部 底事件都发生时顶事件必然发生， 则该子集就是割 集， 这里割集数量为 ｋ。下面介绍普通故障树最小 割集的求法 ［１］。
收稿日期： ２００６－ １０－ ２３ 作者简介： 李馨 （ １９８３－ ） ， 女， 河北唐山人， 辽宁工程技术大学工商管理学院在读硕士研究生， 研究方向为管理科学与工程下的
决策理论与应用。。
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义 为 该 底 事 件 的 隶 属 函 数 μｉ＝λ＞０； 底 事 件 不 发 生 定义为 μｉ＝０。最小割集是部件或底事件失效的最小 组合， 该组合中有一个部件未失效， 即有一个模糊
事件的隶属度等于 ０， 顶事件将不会发生； 组合中
所有的事件均发生， 顶事件才发生。
分别表示模糊事件
的隶属函
数 ［４］， 则
文章编号： １６７２－ ５４６８ （ ２００７） ０１－ ００２７－ ０４
Ａ Ｎｅｗ Ｓｔｕｄｙ ｏｆ Ｆｕｚｚｙ Ｆａｕｌｔ Ｔｒ ｅｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ
ＬＩ Ｘｉｎ （ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ ａｎｄ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ， Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｂｕｘｉｎ １２３０００， Ｃｈｉｎａ）
ｐ
｛Ｔ 发生｝ ＝ｐ
（
Ｙｋ
ｉ＝１
Ｅｉ）
＝
（ ４）
当部件的失效概率很小， 概率的积更小时， 可 以 把 各 个 割 集 Ｍ１Ｍ２ΛＭｋ 近 似 看 作 是 独 立 或 互 斥 事 件， 以便简化运算。则公式 （ ４） 变为：
ｋ
# ｐ ｛Ｔ 发生｝ ＝ｐ （ Ｙｉ＝ｋ１Ｅｉ） ＝ ｐ ｛Ｅｉ｝ ｉ＝１
若底事件 ｅ１， ｅ２， Λ， ｅｎ 的分布函数为 Ｆｚ （ ｘ） ， 概率密度函数为 ｆｚ （ ｘ） （ ｚ＝１， ２， Λ， ｎ） ， 则