济南外国语学校高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测题(包含答案解析)

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一、选择题
1.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换22x x
y y ''=⎧⎨=⎩
后,曲线C 变为曲线
()
()2
2
561x y -++=,则曲线C 的对称中心是( )
A .()5,6-
B .5,32⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C .()10,12-
D .5,62⎛⎫
-
⎪⎝⎭
2.已知点P 的极坐标是1,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
,则过点P 且垂直极轴的直线方程是( ) A .12
ρ=
B .1
cos 2
ρθ=
C .1
2cos ρθ
=-
D .2
cos ρθ
=-
3.在极坐标系中,已知两点6,6A π⎛⎫
⎪⎝

,26,
3B π⎛⎫
⎪⎝

,则A ,B 中点的极坐标为( )
A .56,
12π⎛⎫ ⎪⎝

B .512π⎛⎫ ⎪⎝

C .512π⎛⎫ ⎪⎝

D .512π⎛⎫ ⎪⎝

4.在直角坐标系xOy 中,曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩
(t 为参数,0t ≠),其中0απ≤<,在
以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:C ρθ=,3:cos C ρθ=,若1C 与2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,则线段||AB 的最大值为( )
A B .2
C .1
D .5.在极坐标系中,点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为( ) A .关于极轴所在直线对称 B .关于极点对称 C .重合
D .关于直线()2
R π
θρ=
∈对称
6.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换53x x
y y ''=⎧⎨=⎩后,曲线C 变为曲线
2241x y ''+=,则曲线C 的方程为( )
A .2225361x y +=
B .2291001x y +=
C .10241x y +=
D .
22
281259
x y +=
7.在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为0x =,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为( )
A .sin 32
πρθ⎛
⎫+= ⎪

⎭ B .sin 32πρθ⎛⎫
-= ⎪


C .sin 62πρθ⎛⎫
+
= ⎪
⎝⎭ D .sin 62
πρθ⎛⎫
-
= ⎪


8.已知曲线C 与曲线5ρ=5sin?θθ-关于极轴对称,则曲线C 的方程为( )
A .10cos ρ=-π-
6θ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭ B .10cos ρ=π-
6θ⎛⎫ ⎪⎝
⎭ C .10cos ρ=-π6θ⎛⎫+
⎪⎝

D .10cos ρ=π6θ⎛⎫+
⎪⎝

9.已知()()()12cos ,cos 0f x x f x x ωω==>,()2f x 的图象可以看做是把()1f x 的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的1
3
倍(纵坐标不变)而得到的,则ω为( ) A .
12
B .2
C .3
D .
13
10.直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝

与圆π4sin 4
ρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝

的位置关系是( ).
A .相交但不过圆心
B .相交且过圆心
C .相切
D .相离 11.圆心在(0,1)且过极点的圆的极坐标方程为( ) A .1ρ=
B .cos ρθ=
C .2cos ρθ=
D .2sin ρθ=
12.化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为( ) A .2202x y y +==或 B .2
x =
C .2202x y x +==或
D .2y =
二、填空题
13.在极坐标系中,直线()π
3
R θρ=
∈被圆()2sin 0a a ρθ=>所截弦长为a =_______.
14.已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合,极轴与x 的正半轴重合,点A 在圆ρ=2cosθ+2sinθ上,点B 在直线31x t
y t =+⎧⎨=-+⎩
(t 为参数)上,则|AB|的最小值为
________.
15.在极坐标系中,直线(cos 2sin )1ρθθ+=与直线sin 1ρθ=的夹角大小为_____(结果用反三角函数值表示).
16.直线θα=与cos()1ρθα-=的位置关系是________.
17.在极坐标系中,直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切,则
a =__________.
18.对于函数y =f (x )(x ∈R)而言,下列说法中正确的是________.(填序号) ①函数y =f (x +1)的图象和函数y =f (1-x )的图象关于x =1对称. ②若恒有f (x +1)=f (1-x ),则函数y =f (x )的图象关于x =1对称. ③函数y =f (2x +1)的图象可以由y =f (2x )向左移一个单位得到. ④函数y =f (x )和函数y =-f (-x )图象关于原点对称.
19.已知直线l 的参数方程为1{
1x t y t
=-+=+(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴
为极轴建立坐标系,曲线C 的极坐标方程为2
35cos 24(0,)44
ππρθρθ=><<,则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______.
20.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为23x cosa
y sina
=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),在极坐标系(与
直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线C 2的方程为ρ(cos θ-sin θ)+1=0,则C 1与C 2的交点个数为________.
三、解答题
21.在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为x tcos y tsin αα=⎧⎨=⎩

(t 为参数,0t ≥),在以
O 为原点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C ,3C 的极坐标方程为
242cos 05ρρθ--
=,()7
cos sin 5
ρθθ+=. (1)判断2C ,3C 的位置关系,并说明理由; (2)若()3
tan 04
ααπ=
≤≤,1C 分别与2C ,3C 交于M ,N 两点,求MN . 22.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为222(3)(1)(0)x y r r -+-=>,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为
sin 13πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝

,若直线l 与曲线C 相切. (Ⅰ)求实数r 的值;
(Ⅱ)在圆C 上取两点M N ,,使得6
MON π
∠=
,点M N ,与直角坐标原点O 构成
OMN ∆,求OMN ∆面积的最大值.
23.在平面直角坐标系中,已知点()3,0A ,点P 是圆221x y +=上的一个动点,且
AOP ∠的平分线交PA 于点Q ,如图所示,求Q 点的轨迹的极坐标方程.
24.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y θ
θ=+⎧⎨=⎩
(θ为参数),以坐标原
点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为
()()cos sin 0m m ρθθ+=>.
(1)求曲线C 的极坐标方程; (2)若直线()4
R π
θρ=
∈与直线l 交于点A ,与曲线C 交于M ,N 两点,且
6OA OM ON ⋅⋅=,求m .
25.在直角坐标系xOy 中,圆1C 和2C 的参数方程分别是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ
为参数)和
cos 1sin x y β
β
=⎧⎨
=+⎩(β为参数),以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆1C 和2C 的极坐标方程;
(Ⅱ)射线OM :θα=与圆1C 交于点O 、P ,与圆2C 交于点O 、Q ,求
2226100,x y x y x y ++-+=+=则的最大值.
26.以平面直角坐标系xOy 的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,C 的极坐标方程为8cos ρθ=. (1)求曲线C 的直角坐标方程;
(2)经过点()1,1Q 作直线l 交曲线C 于M ,N 两点,若Q 恰好为线段MN 的中点,求直线l 的方程.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、选择题 1.B 解析:B 【分析】
根据题意,点(,)x y ''在曲线()()
2
2
561x y -++=上,由伸缩变换公式22x x
y y
''=⎧⎨=⎩,将其代
入()()2
2
561x y -++=中化简,将其变形为标准方程即可求解. 【详解】
解:由题意,点(,)x y ''在曲线()()2
2
561x y -++=上,
()()22
561x y ''∴-++=,
又22x x y y '==⎩'⎧⎨,()()()2
2225125261324x y x y ⎛⎫∴-++=⇒-++= ⎪⎝
⎭,
所以曲线C 的对称中心是5,32⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
故选:B 【点睛】
本题考查伸缩变换公式的应用, 关键是将变换后的量代入方程进行化简,考查理解辨析能力及运算求解能力,属于基础题.
2.C
解析:C 【分析】
把极坐标化为直角坐标,求出直线的直角坐标方程,再化为极坐标方程. 【详解】
1,2P π⎛⎫
⎪⎝⎭的直角坐标是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
,∴过P 且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为12
x =-,
其极坐标方程为1cos 2
ρθ=-,即12cos ρθ=-.
故选:C . 【点睛】
本题考查求直线的极坐标方程,解题时利用极坐标与直角坐标的互化求解.
3.C
解析:C 【分析】
根据题意得出OM ,MOx ∠的值,即可得出其中点的极坐标. 【详解】
如下图所示,取AB 的中点为M ,连接OM
2362
AOB BOx AOx πππ
∠=∠-∠=-=,且AO BO = AOB ∆为等腰直角三角形
AB ∴=
=,2
AB
OM =
=4
AOM π
∴∠=
54
6
12
MOx MOA AOx π
π
π∴∠=∠+∠=
+
=
即A ,B 中点的极坐标为532,12M π⎛⎫ ⎪⎝

故选:C
【点睛】
本题主要考查了极坐标的应用,属于中档题.
4.B
解析:B 【分析】
首先将曲线1cos :sin x t C y t α
α=⎧⎨=⎩
(t 为参数,0t ≠),其中0απ≤<转化为极坐标方程为
(),0R θαρρ=∈≠,其中0απ≤<,再通过联立1C 与2C 得)
3A
αα,,联立1
C 与3C 得到()cos ,B αα,进而利用弦长公式和辅助角公式,结合三角函数的有界性即得结论. 【详解】
曲线1cos :sin x t C y t α
α=⎧⎨=⎩
的极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠,其中0απ≤<,
因此得到A 的极坐标为
)
3αα,,B 的极坐标为()cos ,αα. 所以
3sin 2sin 3=AB πααα⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭ , 当56πα=时,AB 取得最大值,最大值为
2.故选:B .
【点睛】
本题考查极坐标与参数方程,考查运算求解能力,涉及辅助角公式,注意解题方法的积累,属于中档题.
5.A
解析:A 【分析】
由点(),ρπθ--和点(,)ρθ-为同一点. 则比较点(,)ρθ-和点(),ρθ,可推出点(),ρθ与
(),ρπθ--的位置关系.
【详解】
解:点(),ρπθ--与点(),ρθ-是同一个点,(),ρθ-与点(),ρθ关于极轴对称.∴点
(),ρθ与(),ρπθ--关于极轴所在直线对称.
故选:A. 【点睛】
考查极坐标的位置关系.题目较为简单,要掌握极坐标的概念.
6.A
解析:A 【分析】 将伸缩变换53x x
y y
''=⎧⎨=⎩代入曲线2241x y ''+=中即可解.
【详解】
解:把53x x y y ''=⎧⎨=⎩代入曲线2241x y ''+=,可得:()()22
5431x y +=,即
2225361x y +=,
即为曲线C 的方程. 故选:A . 【点睛】
考查平面直角坐标系的伸缩变换,题目较为简单. 伸缩变换:设点(,)P x y 是平面直角坐标
系中的任意一点,在变换,(0)
:,(0)x x y y λλϕμμ'=⋅>⎧⎨'=⋅>⎩
的作用下,点(,)P x y 对应到点
(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 7.C
解析:C 【解析】 【分析】
利用cos ,sin x y ρθρθ==,将直线的直角坐标方程转化为极坐标方程,并利用辅助角公式进行化简,由此得出正确选项. 【详解】
因为cos sin 2 sin 06x πρθθρθ⎛⎫
=+= ⎪⎝


所以l 的极坐标方程为 sin 62
πρθ⎛⎫
+= ⎪

⎭.故选C. 【点睛】
本小题主要考查直角坐标方程化为极坐标方程,考查三角函数辅助角公式,属于基础题.
8.B
解析:B 【解析】 【分析】
将方程5sin ρθθ=-化为直角坐标方程,然后求出该方程关于极轴对称的方程,
再转化为极坐标方程即可. 【详解】 ∵5sin ρθθ=-


2cos 5sin ρθρθ=-,
将222,?,?x y cos x sin y ρρθρθ=+==代入上式,得225x y y +=-, ∴曲线关于极轴对称的曲线C 的直角坐标方程为
225x y y +=+,
化为极坐标方程为5sin ρθθ=+,
即ρ=θ+5sin θ=10co πs 6θ⎛

- ⎪⎝

. 故选B . 【点睛】
(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式:x =ρcos θ,y =ρsin θ,ρ2=x 2+y 2,y
tan x
θ=
(x ≠0). (2)进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,要注意ρ,θ的取值范围及其影响;要善于对方程进行合理变形,并重视公式的逆向与变形使用;要灵活运用代入法和平方法等技巧.
9.C
解析:C 【解析】
分析:根据变换规律得
1
1
3
ω
=
,解得结果. 详解:函数y =cos ωx ,x ∈R (其中ω>0,ω≠1)的图像,可以看做把余弦曲线上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的
1
ω
倍(纵坐标不变)而得到.因此
1
1
,3,3
ωω==应选C. 点睛:三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.
10.C
解析:C 【解析】
分析:直线πsin 44ρθ⎛⎫+
= ⎪⎝⎭化为直角坐标方程,圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为直角坐标方程,求出圆心到直线距离,与半径比较即可得结论.
详解:直线πsin 44ρθ⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭cos 4sin ρθρθ+= ,
422
x y +=
,0y x +-=, 圆π4sin 4ρθ⎛
⎫=+
⎪⎝

可化成2
cos sin ρθθ=+,
22((4x y +=,
圆心
到直线的距离2d r =
==,
所以圆与直线相切.故选C .
点睛:利用关系式cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
可以把极坐标与直角坐标互化,这类问题一般我们可以先
把曲线方程化为直角坐标方程,用直角坐标方程解决相应问题. 11.D
解析:D 【详解】
分析:先根据圆心与半径写出圆标准方程,再化为极坐标方程.
详解:因为圆心在()0,1且过极点,所以半径为1,圆方程为22(0)(1)1x y -+-= 所以22220,2sin 0,2sin x y y ρρθρθ+-=-=∴= 因此选D.
点睛:(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可; (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形,构造形如
2cos ,sin ,ρθρθρ的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两
边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.
12.C
解析:C 【解析】
由题意得,式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=,即0ρ=或cos 20ρθ-=,所以x 2+y 2=0或x=2,选C.
【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪
=⎨⎪+=⎩
,利用这个公式可以实现直角坐标
与极坐标的相互转化. 二、填空题
13.2【解析】【分析】由题意结合所给方程可得直线与圆的交点为:结合题中
所给的弦长确定的值即可【详解】很明显直线与圆均经过极点将代入圆的方程可得:据此可得直线与圆的交点为:结合题中所给的弦长可得:【点睛】
解析:2 【解析】 【分析】
由题意结合所给方程可得直线与圆的交点为:(
)0,0,,3π⎫
⎪⎭
,结合题中所给的弦长确定a 的值即可. 【详解】
很明显,直线与圆均经过极点, 将π3θ=
代入圆的方程可得:2sin 3
a π
ρ==, 据此可得直线与圆的交点为:(
)0,0,,3π⎫⎪⎭,
02a -=∴=. 【点睛】
本题主要考查极坐标的几何意义及其应用,属于中等题.
14.【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程将参数方程化为普通方程转化为圆上的点到直线的最值即可得解【详解】由ρ=2cosθ+2sinθ得x2+y2=2x +2y 即(x -1)2+(y -1)2=2故圆心M(11
【分析】
将极坐标方程化为直角坐标方程,将参数方程化为普通方程,转化为圆上的点到直线的最值即可得解. 【详解】
由ρ=2cos θ+2sin θ得x 2+y 2=2x +2y ,即(x -1)2+(y -1)2=2,故圆心M (1,1),半径r

31x t
y t =+⎧⎨
=-+⎩
(t 为参数)得x -y -4=0, ∵A 在圆M 上,B 在直线x -y -4=0上,
∴|AB |min =d M -r
=
【点睛】
本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,意在考查学生数形结合的能力,属于中档题.
15.【分析】利用直角坐标与极坐标之间的关系把极坐标方程转化为直角坐标方程再利用直线的直角坐标方程以及图形求出它们的夹角即可【详解】解:把
极坐标方程与化为普通方程即为与如图所示直线的倾斜角的余弦值为故直线 解析:25
arccos
5
【分析】
利用直角坐标与极坐标之间的关系,把极坐标方程转化为直角坐标方程,再利用直线的直角坐标方程以及图形求出它们的夹角即可。

【详解】
解:把极坐标方程(cos 2sin )1ρθθ+=与sin 1ρθ=化为普通方程 即为21x y +=与1y =,如图所示
直线21x y +=的倾斜角的余弦值为25
, 故直线21x y +=与直线1y =25
, 所以直线(cos 2sin )1ρθθ+=与直线sin 1ρθ=的夹角大小25。

【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标之间的互化问题,能熟练进行极坐标与直角坐标之间的互化,是解题的关键。

16.垂直【解析】【分析】由极坐标与直角坐标的互化公式求得两直线的直角坐标方程和为再根据两直线的位置关系即可求解得到答案【详解】由题意直线直角坐标方程为即又由直线可得即直线的直角坐标方程为两直线满足所以两
解析:垂直 【解析】 【分析】
由极坐标与直角坐标的互化公式,求得两直线的直角坐标方程sin cos 0x y αα⋅-⋅=和 为cos sin 1x y αα⋅+⋅=,再根据两直线的位置关系,即可求解,得到答案. 【详解】
由题意,直线θα=直角坐标方程为tan y x α=⋅,即sin cos 0x y αα⋅-⋅=, 又由直线cos()1ρθα-=,可得cos cos sin sin 1ρθαρθα+=, 即直线的直角坐标方程为cos sin 1x y αα⋅+⋅=,
两直线满足sin cos cos sin 0αααα-=,所以两直线互相垂直. 【点睛】
本题主要考查了极坐标与直角的互化,以及两直线的位置关系的判定,其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式,以及两直线位置关系的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
17.【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】(1)直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化简即可;
解析:1【分析】
根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程,再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】
因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==, 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>,得(0)x y a a +=>,
由2cos ρθ=,得2=2cos ρρθ,即22=2x y x +,即22(1)1x y -+=,
1101a a a =∴=>∴=,,
【点睛】
(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可;
(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形,构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.
18.②④【解析】由函数的平移和伸缩变换的性质可得:①函数y =f(x +1)的图像和函数y =f(1-x)的图像不一定关于x =1对称②若恒有f(x +1)=f(1-x)则函数y =f(x)的图像关于x =1对称③函
解析:②④ 【解析】
由函数的平移和伸缩变换的性质可得:
①函数y =f (x +1)的图像和函数y =f (1-x )的图像不一定关于x =1对称. ②若恒有f (x +1)=f (1-x ),则函数y =f (x )的图像关于x =1对称. ③函数y =f (2x +1)的图像可以由y =f (2x )向左移
1
2
个单位得到. ④函数y =f (x )和函数y =-f (-x )图像关于原点对称. 则说法中正确的是②④.
19.【解析】直线的普通方程为由得直角坐标方程为把代入双曲线方程解得因
此交点为其极坐标为考点:参数方程与普通方程的互化极坐标方程与直角坐标方程的互化 解析:(2,)π
【解析】
直线l 的普通方程为2y x =+,由2cos24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=,直角坐标方程为224x y -=,把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-,因此交点.为(2,0)-,其极坐标为(2,)π.
考点:参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化.
20.2【解析】由曲线C2的方程为p (cosθ﹣sinθ)+1=0∴x ﹣y+1=0即y=x+1;将曲线C1的参数方程化为普通方程为∴消去y 整理得:7x2+8x ﹣8=0△>0∴此方程有两个不同的实根故C1与
解析:2 【解析】
由曲线C 2的方程为p (cosθ﹣sinθ)+1=0,∴x ﹣y+1=0.即y=x+1;
将曲线C 1的参数方程化为普通方程为22
143
x y +=.
∴消去y 整理得:7x 2+8x ﹣8=0.
△>0,∴此方程有两个不同的实根, 故C 1与C 2的交点个数为2. 故答案为2.
点睛:这个题目考查的是直线和曲线的交点个数的判断问题;一般直线和椭圆,直接联立判△>0则由两个交点,△<0无交点,△=0,只有一个交点.直线和双曲线则数形结合的情况较多,比较直线和双曲线的渐近线的斜率,从而得到交点个数.
三、解答题
21.(1)圆2C 与直线3C 相交;(2)1. 【分析】
将2C ,3C 化为普通方程,利用点到直线的距离判断即可.
(2)联立方程,分别求得13ρρ、,利用极径的几何意义,求得MN . 【详解】
(1)由2
24:2cos 05C ρρθ--
=,可得224
205
x y x +--=,
即2C 是圆心为()10,
,半径为5
的圆; 又()37:cos sin 5C ρθθ+=
可得7
05
x y +-=,即3C 是一条直线,
圆心()1
0,到直线3C
的距离d =
=
<d r < 所以圆2C 与直线3C 相交. (2)由()3tan 04ααπ=
≤<,有3sin 5α=,4
cos 5
α=, 由()204205cos θαρρρθ⎧=≥⎪⎨--=⎪⎩,

得2
84055ρρ--=,解得12ρ=,2
25ρ=-(舍去) 由()()07cos sin 5,,
θαρρθθ⎧=≥⎪⎨+=⎪⎩
,得337
555ρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得31ρ=, 故131MN ρρ=-=
【点睛】
本题考查曲线的极坐标方程与普通直角坐标方程的互化,考查了极径的应用,属于中档题.
22.(Ⅰ)2;(Ⅱ
)2【分析】
(Ⅰ)将极坐标方程化为普通方程,利用圆心到直线的距离等于半径得到答案. (Ⅱ)将圆方程化为极坐标方程,()1,M ρθ,2,6N πρθ⎛⎫
+
⎪⎝

,2sin 23OMN S πθ∆⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
【详解】 (Ⅰ)由sin 13πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝

得sin cos 2ρθθ=
,化为直角坐标方程为2y =+,
又圆C
是圆心为)
,半径为r 的圆,直线l 与曲线C 相切,
可得:2r =
=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)圆C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝

, 不妨设()1,M ρθ,()212,0,0,[0,2]6N πρθρρθπ⎛
⎫+>>∈ ⎪⎝
⎭,

12111||||sin sin 4sin 4sin 2264336OMN S OM ON MON ππππρρθθ∆⎛⎫⎛
⎫=
∠==⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 22sin cos 23cos sin 23cos232sin 233πθθθθθθ⎛
⎫=+=++=++ ⎪⎝
⎭,
当12
π
θ=
时,S 23OMN ∆=+,
所以MON ∆面积的最大值为23+. 【点睛】
本题考查了参数方程,极坐标方程,面积的最大值,利用极坐标方程可以简化运算.
23.3
cos 2
ρθ=
【详解】
分析:先以O 点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,再设Q (ρ,θ),则P (1,2θ).最后根据三角形面积关系得Q 点的轨迹的极坐标方程 详解:以O 点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设(,),(1,2)Q p ρθθ. 如图所示:
∵S △OQA +S △OQP =S △OAP , ∴12·3ρsin θ+12ρsin θ =
12
·3·1·sin 2θ. 3
cos 2
ρθ∴=
. 点睛:用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示时,可以先化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题. 24.(1)22cos 30ρρθ--=(2)22m = 【解析】
试题分析:(1)根据极值互化的公式得到圆的极坐标方程;(2)2
OA ρ==
,12·3OM ON ρρ==-,故得到结果.
(1)∵()2
2
14x y -+=,∴22230x y x +--=,故曲线C 的极坐标方程为
22cos 30ρρθ--=.
(2)将4
π
θ=代入cos sin m ρθρθ+=得2
m ρ=
. 将4
π
θ=
代入22cos 30ρρθ--=,
得123ρρ=-,则·
3OM ON =,则362
=,∴m = 25.(Ⅰ)4cos ρθ=,2sin ρθ=.(Ⅱ)4. 【解析】
试题分析:(1)圆C 1的参数方程分别是222x cos y sin ϕ
ϕ
=+⎧⎨
=⎩(φ为参数),利用平方关系可
得普通方程,展开利用互化公式可得极坐标方程.圆C 2的参数方程1x cos y sin β
β
=⎧⎨
=+⎩(β为参
数),利用平方关系可得普通方程,展开利用互化公式可得极坐标方程.
(2)依题意得点P 、Q 的极坐标分别为()4cos ,P αα,()2sin ,Q αα,从而表示出
OP OQ ⋅,利用正弦函数的有界性问题迎刃而解.
试题
(Ⅰ)圆1C 和2C 的普通方程分别是()2
224x y -+=和()2
2
11x y +-=.
∴圆1C 和2C 的极坐标方程分别为4cos ρθ=,2sin ρθ=.
(Ⅱ)依题意得点P 、Q 的极坐标分别为()4cos ,P αα,()2sin ,Q αα。

∴4cos OP α=,2sin OQ α=,从而4sin24OP OQ α⋅=≤, 当且仅当sin21α=±,即4
π
α=
时,上式取“=”,OP OQ ⋅取最大值4.
26.(1)228x y x +=.(2)320x y --=. 【分析】
(1)由8cos ρθ=,得28cos ρρθ=即可得直角坐标方程;
(2)直线l 的方程为()11y k x -=-,利用QC MN ⊥得1QC k k ⋅=-求解即可 【详解】
(1)由8cos ρθ=,得28cos ρρθ=,
根据公式cos sin x
y
ρθρθ=⎧⎨=⎩,得228x y x +=,
故曲线C 的直角坐标方程是228x y x +=.
(2)设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为()11y k x -=-.
而曲线C :228x y x +=化为标准方程是()2
2
416x y -+=,
故圆心()4,0C .
因为Q 恰好为线段MN 的中点, 所以QC MN ⊥. 所以1QC k k ⋅=-,即
01
141
k -⋅=--,解得3k =. 故直线l 的方程是()131y x -=-,即320x y --=. 【点睛】
本题考查极坐标方程与普通方程的转化,考查圆的几何性质,根据Q 恰好为线段MN 的中点转化为1QC k k ⋅=-是关键,是基础题。

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