北师大版九年级数学教案-用配方法求解一元二次方程

第二章一元二次方程
２．用配方法求解一元二次方程（二）
一、學生知識狀況分析
學生的知識技能基礎：初二上學期，學生已經學習過開平方根的定義以及完全平方公式，在上節課學生初步學習了配方法解二次項係數為1的一元二次方程，這些為本節課學習解二次項係數不為1的方程打下較好的基礎。

學生活動經驗基礎：上一課時，學生已經經歷了二次項係數為1的方程的解的過程，已經體會到其中轉化的思想方法，這些都成為完成本課任務的活動經驗基礎。

二、教學任務分析
在課程安排上這節課的具體學習任務：用配方法解二次項係數不為1的一元二次方程以及利用一元二次方程解決實際問題。

這節課內容從屬於“方程與不等式”這一數學學習領域，因而務必服務于方程教學的遠期目標：“讓學生經歷由具體問題抽象出方程的過程，體會方程是刻畫現實世界中數量關係的一個有效模型，並在解一元二次方程的過程中體會轉化的數學思想”，為此，本節課的教學目標是：
①經歷配方法解一元二次方程的過程，獲得解二元一次方程的基本技能；
②經歷用配方法解二次項係數不為1的一元二次方程的過程，體會其中
的化歸思想；
③能利用一元二次方程解決有關的實際問題，能根據具體問題的實際意
義檢驗結果的合理性，進一步培養分析問題、解決問題的意識和能力.
三、教學過程分析
本節課設計了五個教學環節：第一環節：複習回顧；第二環節：情境引入；第三環節：講授新課；第四環節：練習提高；第五環節：課堂小結；第六環節：佈置作業。

第一環節複習回顧
活動內容：回顧配方法解二次項係數為1的一元二次方程的基本步驟。

活動目的：回顧配方法的基本步驟，為本節課研究二次項係數不為1的二次方程的解法打下基礎。

實際效果：教學中為了便於學生回顧，可以通過舉例的形式，説明學生回顧並整理步驟，例如，x2-6x-40=0
移項，得 x2-6x= 40
方程兩邊都加上32(一次項係數一半的平方），得
x2-6x+32=40+32
即（x-3）2=49
開平方，得 x-3 =±7
即 x-3=7或x-3=-7
所以 x1=10,x2=-4
學生一般都能整理出配方法解方程的基本步驟：
通過對這個方程基本步驟地熟悉學生們順暢的理清思路，掌握了每一步的理論依據，增強瞭解題的信心，達到預期的目的。

配方法的兩節課連貫性強，作為一種新的方法，學生在新授期間應多接觸，
熟練掌握基本的步驟，掌握每一步的原理，這樣會增強學生對這個知識點的駕馭能力。

一般的一元二次方程配方解法的步驟（移項，配方，開平方，求解）及注意事項。

移項的目的是將二次項和一次項調整到等號的左邊，常數項調整到右邊；配方是將方程的兩邊添加一個常數項（一次項係數一半的平方）原理是根據公式a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2進行的；開平方的原理是平方根的定義，需要注意一個正數有兩個平方根，它們是互為相反數；求解的過程是解兩個一元一次方程，要注意符號的變化。

第二環節：情境引入
活動內容：1.將下列各式填上適當的項，配成完全平方式口頭回答.
1.x2+2x+________=(x+______)2
2.x2-4x+________=(x-______)2
3.x2+________+36=(x+______)2
4.x2+10x+________=(x+______)2
5. x2-x+________=(x-______)2
2.請同學們比較下列兩個一元二次方程的聯繫與區別
1.x2+6x+8=0
2.3x2+18x+24=0
探討方程2的應如何去解呢？
活動目的：通過對第一部分的五個口答練習題的訓練，熟悉完全平方式的三項與平方形式的聯繫，第二部分的兩個習題之間的區別是方程2的二次項係數為3，不符合上節課解題的基本形式，聯繫是當方程兩邊同時除以3以後，這兩個方程式同解方程。

學生們作了方程的變形以後，對二次項係數不為1的方程的解法有了初步的感受和思路。

實際效果：學生對第一部分五個口答題的積極搶答，調動了各自的思維，進入了積極學習的狀態；比較第二部分中兩個方程係數之間的區別與聯繫，學生們發現二次項係數為1僅是方程中的一小部分，怎樣將其它類型的方程轉化成這類方程非常關鍵，這個比較也點明了轉化的方向和思路，為後續解這個方程做好了充分的鋪墊，學生解決它已是輕車熟路的事情。

第三環節：講授新課
活動內容1：講解例題
例2 解方程3x 2+8x-3=0
解：方程兩邊都除以3，得
移項，得
配方，得
活動目的：通過對例2的講解，繼續拓展規範配方法解一元二次方程的過程.讓學生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路,關鍵是將方程轉013
82=-+x x 2223413438⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 925342=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 3,3
1,353421-==±=+x x x 13
82=+x x 3
534±=+x
化成
)0()(2≥=+n n m x 形式，特別強調當一次項係數為分數時，所要添加常數項仍然為一次項係數一半的平方，理解這樣做的原理，樹立解題的信心。

另外，得到 後，在移項得到3
435-±=x 要注意符號問題，這一步在計算過程中容易出錯。

實際效果：經過這一環節，學生對配方法的特點有了深入的瞭解，通過例題的處理，進一步把握了配方法的基本思路，熟悉了其步驟。

活動內容2：應用提高：
做一做：一小球以15m/s 的初速度豎直向上彈出，它在空中的高度h(m)與時間t(S)滿足關係:h=15t-5t2,小球何時能達到10米的高度？
解：根據題意得
15t-5t2=10
方程兩邊都除以-5，得
t2-3t=-2
配方，得
活動目的：在前邊學習的基礎上，通過例3進一步提高學生分析問題,解決問題的能力，幫助學生熟練掌握配方法在實際問題中的應用，也為後續學習做2
22232233⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t t 41232=⎪⎭⎫ ⎝⎛-t 2123±=-t 1
,221==t t
好鋪墊。

實際效果：大部分學生通過獨立思考，根據題意很快列出了方程，解方程的過程比較順暢，最終得到兩個時間t 的值分別為1和2，根據實際情景怎樣理解這兩個時間呢？這就是很好的數學應用，體現數學的價值，很多學生能想像出當時間為1秒時，小球上升到離出發點10米的地方，當時間為2秒鐘時，小球是處於下降狀態，離出發點也是10米，激發了學生學習數學的熱情。

第四環節：練習與提高
活動內容：課本習題2.4問題解決2.
印度古算術中有這樣一首詩：“一群猴子分兩隊，高高興興在遊戲，八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林裡；其餘十二嘰喳喳，伶俐活潑又調皮。

告我總數有多少，兩隊猴子在一起？大意是說：一群猴子分兩隊，一隊猴子數是猴子總數的八分之一的平方，另一隊猴子數是12，那麼猴子的總數是多少？請同學們解決這個問題。

解：可設猴子的總數是x ，由題意可得 (81
x)2+12=x
解得x1=16 x2=48
答：這群猴子可能是16只，也可能是48只。

活動目的：對利用一元二次方程解決實際問題進行鞏固練習,培養學生的閱讀能力、數學建模能力。

實際效果：這個題中的等量關係不易發現，課堂上，我給學生們適當的空間，培養學生獨立思考的習慣，然後鼓勵思維敏捷的同學展示自己的思路，用學
生的語言帶動學生們學習。

第五環節：課堂小結
活動內容：1.學生總結解一元二次方程的基本步驟；
2.利用一元二次方程解決實際問題的思路，對於結果的理解。

活動目的：鼓勵學生結合本節課的學習，談自己的收穫與感想。

實際效果：學生暢所欲言談自己的切身感受與實際收穫，掌握了配方法的基本思路和過程。

第六環節：佈置作業
⑴課本42頁習題2.4第1題；
⑵一個人的血壓與其年齡及性別有關，對女性來說，正常的收縮壓p（毫米
汞柱）與年齡x（歲）大致滿足關係：p=0.01x2+0.05x+107.如果一個女性的收縮壓為120毫米汞柱，那麼她的年齡大概是多少？
⑶有能力的同學請課餘時間用配方法交流探究方程： ax2+bx+c=0 (a不為
0)的解法.
四、教學反思
1、創造性的使用了教材：
這節課作為配方的第二節主要是以習題訓練為重點，所以我依照書上的例題為重點展示瞭解方程的基本步驟，另外，添加了輔助性的3個習題；將書上的做一做轉化成一個例題，讓學生體會利用一元二次方程解決問題的感受；另在作業中配套了一道血壓方面的數學問題，學生可以體會到一元二次
方程與我們的現實生活息息相關。

2、注意改進的方面
基礎較好的學生對於基礎性的計算比較快，與此同時，班級中的有7—8名學生對於資料計算有懶惰的思想，速度慢，時間長，如果不能及時解決，這部分學生將落隊，或者整節課堂冗長無味，因此如何調控教學進度成為教學中的一個難點。

我的辦法是老師準備好幾個不同層次的習題，當大部分學生做完後，可以為他們提供更高層次的習題，繼續引領他們的思維前進，而加強對基礎薄弱的同學動手動腦的監督。