福建省漳州龙文中学高三数学上学期第一次月考试题 理(1)

2014-2015龙文中学高三年第一次月考
数学试卷
一．选择题（每题5分，共10题） 1．若集合
{}
||1A x x =≤，
{}
0B x x =≥，则A B =I （ ）
（A ）
{}11x x -≤≤ （B ）{}0x x ≥ （C ）{}01x x ≤≤ （D ）∅
2.函数
2
()1f x x mx =++的图像关于直线1x =对称的充要条件是（ ） （A ）2m =- （B ）2m = （C ）1m =- （D ）1m =
3．设集合A=22
{(,)|1}416x y x y +=，B=
{(,)|3}x
x y y =,则A ∩B 的子集的个数是（ ） （A ） 4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
4.已知函数3log ,0()2,0x
x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =
（ ）
（A ）4
（B ）14
（C ）-4
（D ）-14
5.函数164x
y =-的值域是（ ）
（A ）[0,+∞） （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4) 6.设
2
log 3=a ，2ln =b ，2
1
5
-
=c ,则（ ）
（A ） a<b<c （B ）b<c<a （C ） c<a<b （D ）c<b<a
7.若0x 是方程1
3
1()2x
x =的解，则0x
属于区间（ ）
(A)(23,1) (B)(13,12) (C)(12,2
3) (D)(0,13)
8.若函数f(x)=3x
+3x
-与g(x)=33x
x
--的定义域均为R ，则（ ） (A)f(x)与g(x)均为偶函数 (B)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 (C)f(x)与g(x)均为奇函数 (D)f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
9．函数
2sin 2x
y x =
-的图象大致是( )
10.设函数
2
()2()g x x x R =-∈，()4,(),
(),().
(){
g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（ ）
（A ）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞ （D ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦
二．填空题（每题4分，共5题）
11. 计算1
2
1
(lg lg 25)1004--÷= .
12. 计算定积分
()1
2
1
sin x x dx
-+⎰＝ .
13.若
()
f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足
()()11,22
f f ==，则
()()34f f -=
14.命题“对任何x ∈R ，243
x x -+->”的否定是________.
15.函数
()
f x 的定义域为A,若12,x x ∈
A ，且
()()
12f x f x =时总有
12
x x =，则称
()f x 为单函数.例如
()()
21f x x x R =+∈是单函数，下列命题：
①函数
2
()f x x =()x R ∈是单函数； ②指数函数
()2()x
f x x R =∈是单函数； ③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()
f x f x ≠；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.
其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）.
三．解答题（共6题，共80分）
16.(本题13分)已知集合A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}，C={x|5-a<x<a}.
(1)求A ∪B ，(A C R )∩B.
(2)若C ⊆(A ∪B)，求a 的取值范围.
17.(本题13分)已知定义在区间(-1,1)上的函数f(x)=错误!未找到引用源。

为奇函数.
(1)求实数b 的值.
(2)判断函数f(x)在区间(-1,1)上的单调性,并证明你的结论.
(本题13分)已知奇函数y=f （x ）在定义域（-7，7）上单调递减，且满足条件 f （1-a ）+f （2a-5）<0，求a 的取值范围。

19.(本题13分)已知函数f(x)=x3-3ax+b 在x=1处有极小值2. (1)求函数f(x)的解析式.
(2)若函数g(x)=错误!未找到引用源。

f ′(x)-2x+3在[0,2]只有一个零点,求m 的取值范围.
20.（本题14分）（2011·湖北高考理科·T17）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明，当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.
（1）当0200x ≤≤时，求函数()
v x 的表达式.
（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）
()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求最大值（精确到1辆/每小时）.
21．（本题14分，你可以从A 或B 选择一题进行解答，若两题都有解答，只批改第一题） A 题：设函数x b ax x x f ln )(2++=，曲线)(x f y =
过点P （1，0），且在P 点处的切线斜率为2．
（1）求a ，b 的值；
（2）证明：
f (x)2x 2≤-．
B 题：已知函数ln ()(e x x k
f x k +=
为常数，e=2.718 28…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点
(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (1)求k 的值.
(2)求()f x 的单调区间.
(3)设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意2
0,()1e x g x -><+.
参考答案：
选择题：CAABC CBDCA
二．填空题：11.-20122
313.－1 14.“存在x ∈R ，|2||4|3x x -+-≤”
15.②③④ 三．解答题：
16.(1)A ∪B={x|2<x<10}，因为错误!未找到引用源。

A={x|x<3或x ≥7}. 所以(错误!未找到引用源。

A)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.
(2)由(1)知A ∪B={x|2<x<10}，①当C=∅时，满足C ⊆A ∪B ，此时5-a ≥a ，所以a ≤错误!未找到引用源。

.
②当C ≠∅时，要使C ⊆A ∪B ，则错误!未找到引用源。

综上：a ≤3.
17.(1)∵定义在区间(-1,1)上的函数f(x)=错误!未找到引用源。

为奇函数,∴f(0)=0,即b=0, 检验:当b=0时,f(x)=错误!未找到引用源。

为奇函数,∴b=0. (2)函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数, 证明:∵f(x)=错误!未找到引用源。

,
∴f ′(x)=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

. ∵x ∈(-1,1),∴f ′(x)>0,
∴函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数. 18.答案：实数a 的取值范围为（4，6）
19.(1)f ′(x)=3x2-3a,依题意有错误!未找到引用源。

解得错误!未找到引用源。

此时f ′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),∴x ∈(-1,1)时,f ′(x)<0,x ∈(1,+∞),f ′(x)>0, 满足f(x)在x=1处取极小值,∴f(x)=x3-3x+4.
(2)f ′(x)=3x2-3,∴g(x)=错误!未找到引用源。

f ′(x)-2x+3=错误!未找到引用源。

(3x2-3)-2x+3=mx2-2x-m+3,
当m=0时,g(x)=-2x+3,∴g(x)在[0,2]上有一个零点x=错误!未找到引用源。

(符合), 当m ≠0时,
①若方程g(x)=0在[0,2]上有2个相等实根,即函数g(x)在[0,2]上有一个零点.
则错误!未找到引用源。

得m=错误!未找到引用源。

.
②若g(x)有2个零点,1个在[0,2]内,另1个在[0,2]外,则g(0)g(2)≤0,
即(-m+3)(3m-1)≤0,解得m ≤错误!未找到引用源。

或m ≥3,经检验m=3时,有2个零点,不满足题意. 综上:m 的取值范围是m ≤错误!未找到引用源。

或m=错误!未找到引用源。

或m>3. 20.（1）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设
()b ax x v +=，由已知得⎩⎨
⎧=+=+60200
200b a b a ，解得1a ;3200b .3⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031
,200,
60x x x （2）依题意并由（1）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031
,200,60x x x x x
当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为6020 1 200⨯=；
当20020≤≤x 时，
()()()2
x 200x 1110 000f x x 200x 3323+-⎡⎤=-≤=
⎢⎥⎣⎦
，
当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．
所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值
10 000
3． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值10 000
3 333
3≈，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．
21A 题：（1）
x b
ax x f +
+='21)(．
由已知条件得⎩⎨⎧='=.2)1(,0)1(f f 即⎩
⎨⎧=++=+.221,01b a a
解得.3,1=-=b a
（2）)(x f 的定义域为()+∞,0，由（1）知x x x x f ln 3)(2
+-=． 设
x x x x x f x g ln 32)22()()(2
+--=--=，则 x x x x x x g )
32)(1(321)(+--=+
--='．
当10<<x 时，0)(>'x g ；当1>x 时，0)(<'x g ．
所以)(x g 在)1,0(上单调增加，在（1，+∞）上单调减少．
而0)1(=g ，并且当0>x 时，g(1)为最大值，故当0>x 时，0)(≤x g ，即22)(-≤x x f ． B 题：【解析】 (1)1
ln ()e x x k x f x --'=
，
由已知，1(1)0e k
f -'=
=，∴1k =.
(2)由(I)知，1
ln 1()e x x x f x --'=
.
设
1()ln 1k x x x =
--，则211
()0k x x x '=--<，即()k x 在(0,)+∞上是减函数，
由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '
>， 当1x >时()0k x <，从而()0f x '
<.
综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.
(3)由(2)可知，当1x ≥时，()()g x xf x '
=≤0＜1+2e -，故只需证明2
()1e g x -<+在01x <<时成立.
当01x <<时，e x
＞1，且()0g x >，∴
1ln ()1ln e x x x x
g x x x x
--=
<--.
设()1ln F x x x x =--，(0,1)x ∈，则()(ln 2)F x x '
=-+，
当2(0,e )x -∈时，()0F x '>，当2
(e ,1)x -∈时，()0F x '
<， 所以当2e x -=时，()F x 取得最大值22()1e F e --=+. 所以2
()()1e g x F x -<≤+.
综上，对任意0x >，2
()1e g x -<+.。