微分几何第四版习题答案解析梅向明

§1曲面的概念
1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.
解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．
２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;
v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr
=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr =}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -
任意点的切平面方程为00
cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕ
ϑϕ
ϑϑϕϑϕ
ϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x
即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为
ϑ
ϑ
ϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

4．求椭圆柱面22
221x y a b
+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此
曲面只有一个切平面 。

解 椭圆柱面22
221x y a b +=的参数方程为x = cos ϑ, y = asin ϑ, z = t ,
}0,cos ,sin {ϑϑθb a r -= , }1,0,0{=t r。

所以切平面方程为：
01
0cos sin sin cos =----ϑϑϑϑb a t
z b y a x ，即x bcos ϑ + y asin ϑ － a b = 0 此方程与t 无关，对于ϑ的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而ϑ的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。

5．证明曲面},,{3
uv
a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常
数。

证 },0,1{23v u a r u -= ，},1,0{23uv
a r v -= 。

切平面方程为：33=++z a uv
v y u x 。

与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,uv
a 2
3)。

于是，四面体的体积为：
3
32
9||3||3||361a uv a v u V ==是常数。

§２ 曲面的第一基本形式
1. 求双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的第一基本形式.
解 ,4},2,,{},2,,{2222v b a r E u b a r v b a r u v u ++==-==
2222224,4u b a r G uv b a r r F v v u ++==+-=⋅=
,
∴ 错误!未找到引用源。

=
+++2222)4(du v b a 2222222)4()4(dv u b a dudv uv b a ++++-。

２．求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。

解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，12==u r E ，0=⋅=v u r r F
，222b u r G v +==
，∴ 错误!未找到引用源。

=2222)(dv b u du ++，∵Ｆ＝０，∴
坐标曲线互相垂直。

３．在第一基本形式为错误!未找到引用源。

=222sinh udv du +的曲面上，求方程为u = v 的曲线的弧长。

解 由条件=2ds 222sinh udv du +,沿曲线u = v 有du=dv ，将其代入2ds 得
=2ds 222sinh udv du +=22cosh vdv ，ds = coshvdv , 在曲线u = v 上，从1v 到2v 的
弧长为|sinh sinh ||cosh |122
1
v v vdv v v -=⎰。

4．设曲面的第一基本形式为错误!未找到引用源。

= 2222)(dv a u du ++，求
它上面两条曲线u + v = 0 ,u –v = 0的交角。

分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。

解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1=E ，0=v F ，22a u G +=，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为1=E ，
0=v F ，2a G =。

曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=
δv , 设两曲线的夹角为ϕ，则有
cos ϕ=
22
222211a a v
G u E Gdv Edu u Gdv u Edu +-=+++δδδδ 。

5．求曲面z = axy 上坐标曲线x = x 0 ,y =0y 的交角.
解 曲面的向量表示为r ={x,y,axy}, 坐标曲线x = x 0的向量表示为
r ={
x 0,y,ax 0y } ，其切向量y r
={0，1，ax 0}；坐标曲线y =0y 的向量表示为r ={x , 0y ,ax 0y }，其切向量x r
={1，0，a 0y }，设两曲线x = x 0与y =0y 的夹角为ϕ，则
有cos ϕ = 20
22020
0211||||y a x a y x a r r r r y x y x ++=⋅
6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.
解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有
Edu δu + F(du δv + dv δu)+ G d v δv = 0,将dv =0代入并消去du 得u-曲线的正交轨线的微分方程为E δu + F δv = 0 .
同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为F δu + G δv = 0 .
7. 在曲面上一点,含du ,dv 的二次方程P 2du + 2Q dudv + R 2dv ＝０，确定两个切方向（du ：dv ）和（δu ：δv ），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.
证明 因为du,dv 不同时为零，假定dv ≠0，则所给二次方程可写成为P 2
)(dv
du + 2Q
dv du + R=0 ,设其二根dv du ,v u δδ, 则dv du v u δδ=P R ，dv du +v u
δδ=P
Q 2-……错误!未找到引用源。

又根据二方向垂直的条件知E dv du v u δδ + F(dv du +v
u
δδ)+ G = 0 ……错误!未找
到引用源。

将错误!未找到引用源。

代入错误!未找到引用源。

则得 ER - 2FQ + GP = 0 .
8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2du =G 2dv .
证 用分别用δ、*δ、d 表示沿u －曲线，v －曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u －曲线δu ≠０，δv ＝０，沿v －曲线*δu ＝０，*δv ≠０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得
2
22222)()(ds v G v Gdv v Fdu ds u E u Fdv v Edu ***+=+δδδδδδ，即G Gdv Fdu E Fdv Edu 2
2)()(+=+。

展开并化简得E(EG-2F )2du =G(EG-2F )2dv ,而EG-2F >0，消去EG-2F 得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2du =G 2dv .
9．设曲面的第一基本形式为错误!未找到引用源。

= 2
2
2
2
)(dv a u du ++，求曲面上三条曲线u = a ±v, v =1相交所成的三角形的面积。

解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。

曲
线围城的三角形的面积是
S=⎰⎰⎰⎰+++--1
220
1
22a
u a
a
a
u dv du a u dv du a u
=2⎰⎰+102
2
a
u a dv du a u =2du a u a u
a
⎰+-0
22)1(
=a
a u u a a u u a u a
02222223
22|)]ln()(32[++++++-
=)]21ln(3
2
2[
2++-a 。

10．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 的面积。

解 ϑr
=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr =}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -
E =2ϑr
=2a ,F=ϑr ϕr = 0 , G = 2ϕr =ϑ22cos a .球面的面积为：
S = 222
2
2
2
2
20
2
4
22
4|sin 2cos 2cos a a d a
d a d πϑπϑϑπϕϑϑπ
πππ
π
π
π===--
-
⎰
⎰⎰.
11.证明螺面r ={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r ={tcos ϑ,tsin ϑ,12-t } (t>1, 0<ϑ<2π)之间可建立等距映射 ϑ=arctgu + v , t=12+u .
分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射ϑ = arctgu + v , t=12+u ,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.
证明 螺面的第一基本形式为错误!未找到引用源。

=22du +2 dudv+(2u +1)2dv ,
旋转曲面的第一基本形式为错误!未找到引用源。

=ϑd t dt t t 222
2
)1
1(+-+ ,在旋转曲面上作一参数变换ϑ =arctgu + v , t =12+u , 则其第一基本形式为:
2
222
222)11)(1(1)11(2dv du u
u du u u u u +++++++ =2222
222)1(211)11(dv u dudv du u
du u u +++++++=22du +2 dudv+(2u +1)2
dv = 错误!未找到引用源。

.
所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 ϑ =arctgu + v , t =12+u .
§3曲面的第二基本形式
1. 计算悬链面r ={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.
解 u r ={sinhucosv,sinhusinv,1},v r
={-coshusinv,coshucosv,0} uu r ={coshucosv,coshusinv,0},uv r
={-sinhusinv,sinhucosv,0},
vv r ={-coshucosv,-coshusinv,0},2u r E == cosh 2u,v u r r F
⋅==0,2v r G ==cosh 2u.
所以错误!未找到引用源。

= cosh 2u 2du + cosh 2u 2dv .
n =
2
F E
G r r v u -⨯ =
}sin sinh ,sin cosh ,cos cosh {cosh 1
2
v u v u v u u
--, L=11
sinh cosh 2
-=+-
u , M=0, N=
1
sinh cosh 2
+u =1 .
所以错误!未找到引用源。

= -2du +2dv 。

2. 计算抛物面在原点的2
2212132452x x x x x ++=第一基本形式,第二基本形式.
解 曲面的向量表示为}22
5,,{22212121x x x x x x r ++= ,
}0,0,1{}25,0,1{)0,0(211=+=x x r x ,}0,1,0{}22,1,0{)0,0(212=+=x x r x ,}5,0,0{11=x x r
, }2,0,0{21=x x r ,}2,0,0{22=x x r
, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,
错误!未找到引用源。

=2221dx dx +, 错误!未找到引用源。

=2
22121245dx dx dx dx ++.
3. 证明对于正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv},-∞<u,v<∞处处有EN-2FM+GL=0。

解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==
，uu r ={0,0,0},
uv r ={-uucosv,cosv,0},vv r ={-ucosv,-usinv,0},12==u r E ，0=⋅=v u r r F
，222b u r G v +==
， L= 0, M =
2
2
b
u b +- , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 .
4. 求出抛物面)(2
1
22by ax z +=
在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率. 解 }0,0,1{},0,1{)0,0(==ax r x ,}0,1,0{},1,0{)0,0(==by r y ,},0,0{a r xx =
,}0,0,0{=xy r },0,0{b r yy = ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy 的法曲率2
222dy
dx bdy adx k n ++=. 5. 已知平面π到单位球面(S)的中心距离为d(0<d<1),求π与(S)交线的曲率与法曲率.
解 设平面π与(S) 的交线为(C), 则(C)的半径为21d -,即(C)的曲率为
2
11d k -=
,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于±21d -,所以
(C)的法曲率为n k k =±21d -=±1 .
6. 利用法曲率公式I
II
k n =,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。

证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R 的倒数1/R 。

即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dv
R Gdv
Fdudv Edu Ndv Mdudv Ldu I II k n 1222
222=++++==或-R 1，所以)1(R G N F M E L ===，即第一、第二类基本量成比例。

7．求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。

证明对于正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv}，
},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，uu r ={0,0,0}，vv r ={-ucosv,-usinv,0}，
L=
2
),,(F
EG r r r uu v u -
=0, N=
2
),,(F
EG r r r vv v u - =0 .所以u 族曲线和v 族曲线都是渐近线。

而u
族曲线是直线，v 族曲线是螺旋线。

8. 求曲面2xy z =的渐近线.
解 曲面的向量表示为},,{2xy y x r =
,},,0,1{2y r x + }0,0,0{},2,1,0{==xx y r xy r ,
22224241,2,41},2,0,0{},2,0,0{y x r G xy r r F y r E x r y r y y x x yy xy +===⋅=++===
. 4
2
2
4
2
2
412,412,0y
y x x N y
y x y M L ++=
++=
=.
渐近线的微分方程为222Ndy Mdxdy Ldx ++,即,0242=+xdy ydxdy 一族为dy=0, 即
1c y =,1c 为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即.,,ln 222为常数或c c y x c y x ==.
9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.
证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线.
方法二：任取曲线:()r r s Γ=，它的主法线曲面为:(,)()()S s t r s t s ρρβ==+，
()()()(1)s s t s t t t ραβακατγκατγ=+=+-+=-+，t ρβ=，(1)s t t t ρρκακγ⨯=-+-
在曲线Γ上，t = 0 , s t ρργ⨯=,曲面的单位法向量s n EG ρργ⨯==-，即n γ=，
所以曲线Γ在它的主法线曲面上是渐近线.
10.证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数, y=常数构成共轭网.
证 曲面的向量表示为 r ={x,y, f(x)+g(y)},x=常数,y=常数是两族坐标曲线。

},0,1{'f r x = ,},1,0{'g r y
.''''{0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g ===
因为0x xy r r M r EG ⨯=⋅
=-,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数, y=常数
构成共轭网。

11.确定螺旋面r ={u v cos ,u v sin ,bv}上的曲率线. 解
}
,cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==
，
uu
r ={0,0,0}，
vv r ={-ucosv,-usinv,0}，uv r ={-sinv,cosv,0},12==u r E ，0=⋅=v u r r F
，
222b u r G v +==
， L=0, M=
2
2
b
u b +- , N=0,曲率线的微分方程为:
00
012
2222
2=+-+-b u b b u du dudv dv ,即du b
u dv 2
2
1+±=,积分得两族曲率线方程:
222122)ln()ln(c u b u v c b u u v +-+=+++=和. 12.求双曲面z=axy 上的曲率线.
解 ,1,0,1,,12
2
2
2
2222222y
a x a a M L x a G y x a F y a E ++=
=+==+=N=0 .
由0
10
112
2
2
222
222
22
2
2
y
a x a a x a y x a x a dx dxdy dy ++++-=0得222222)1()1(dy x a dx y a +=+,积分
得两族曲率线为c y a ay x a ax +++±=++)1ln()1ln(2222.
13.求曲面}2
),(2),(2{uv
v u b v u a r +-= 上的曲率线的方程.
解 ,0,4,4,42
2222222=++=++-=++=
L u b a G uv b a F v b a E M=
2
2F EG ab
-,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是:
积分得,)()(22222222du v b a dv u b a ++=++:
c v b a v u b a u ++++±=+++)ln()ln(222222 .
14.给出曲面上一曲率线L,设 L 上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L 是一平面曲线.
证法一：因 L 是曲率线,所以沿L 有r d n d n
κ-=,又沿L 有γ •n =常数,求微商 得正交与而γγγ r d n d n n n ////,0=⋅+⋅,所以0=⋅n γ,即-τβ ·n =0,则有τ=0,或β ·n
=0 .
若τ=0, 则L 是平面曲线；若β ·n
=0 ，L 又是曲面的渐近线，则沿L ，n κ=0 ，
这时d n =0 ，n 为常向量，而当L 是渐近线时，γ =±n
，所以γ 为常向量，L 是一
平面曲线.
证法二：若γ
⊥n ，则因n ⊥dr ‖α ，所以n ‖β ，所以d n
‖β，由伏雷
内公式知d n ‖（κατβ-+）而L 是曲率线，所以沿L 有d n
‖α，所以有τ=0,从而曲线为平面曲线；
若γ 不垂直于n
， 则有γ •n =常数,求微商得0,n n γγ⋅+⋅=因为L 是曲率线，
所
以沿L 有dn ‖dr ⊥γ
，所以0n γ⋅=，所以0=⋅n γ，即-τβ ·n =0 ，若τ=0，则问
题得证；否则β ·n =0 ，则因0n α⋅=，有n ‖γ
，dn ‖d γ‖（-τβ ）‖α ，矛
盾。

15．如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。

证 曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。

16．求正螺面的主曲率。

解 设正螺面的向量表示为r ={u v cos ,u v sin ,bv}.
解},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==
，uu r ={0,0,0}，
vv r ={-ucosv,-usinv,0}，uv r ={-sinv,cosv,0},12==u r E ，0=⋅=v u r r F
，222b u r G v +==
， L= 0, M =
2
2
b
u b +- , N = 0,代入主曲率公式
（EG-2
F ）2N
κ-（LG-2FM+EN ）N κ+ LN-2
M = 0 得2N
κ=2
222
)(a u a +。

所以主曲率为 2
22
221,a u a
a u a +-=+=
κκ 。

17．确定抛物面z=a(22y x +)在（0，0）点的主曲率.
解 曲面方程即{0,0,2}yy r a =，
22{,,()}r x y a x y =+，{1,0,2}x r ax ={0,1,2}y r ay =，{0,0,2}xx r a =，{0,0,0},xy r ={0,0,2}yy r a = 。

在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,
N=2a .所以2
N κ-4a N κ+42a =0 ，两主曲率分别为 1κ = 2 a , 2κ= 2 a .
18. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证 曲面上的给定点处两主曲率分别为1κ 、2κ，任给一方向ϑ及与其正交的方向ϑ+2
π
，则这两方向的法曲率分别为ϑκϑκϑκ2221sin cos )(+=n ，
ϑκϑκπϑκπϑκπϑκ22212221cos sin )2(sin )2(cos )2(+=+++=+n ，即
+)(ϑκn 21)2
(κκπϑκ+=+n 为常数。

19.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数.
证 由ϑκϑκκ2221sin cos +=n 得 2
1
2κκϑ-
=tg ,即渐进方向为 211κκϑ-
=arctg ,2ϑ=-2
1κκ
-arctg .又-2ϑ+1ϑ=21ϑ 为常数,所以为1ϑ为常数,即2
1
κκ为常数. 20. 求证 正螺面的平均曲率为零. 证 由第3题或第16题可知.
21. 求双曲面z=axy 在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率.
证 在点x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=
0)
(222
=-+-F EG NE
FM LG , K =2
2
F
EG M LN --=-2a . 22.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点.
证法一： 由H=
2
2
1κκ+=0有1κ=2κ=0或1κ=-2
κ≠
0 .
若1κ=2κ=0,则沿任意方向ϑ,ϑκϑκϑκ2221sin cos )(+=n =0 ,即对于任意的
du:dv , 0222
22
2=++++=
=Gdv Fdudv Edu Ndv Mdudv Ldu I II k n ,所以有L=M=N=0,对应的点为平点. 若1κ=-2
κ≠
0,则K=1κ2κ<0 ,即LN-M 2<0,对应的点为双曲点.
证法二：取曲率网为坐标网，则F = M = 0 ,因为极小曲面有H = 0 ， 所以LG + EN = 0 ,因E > 0 ,G > 0 ,所以LN < 0 。

若2LN M -=0，则L = M = N = 0 ，曲面上的点是平点，若2LN M -< 0,则曲面上的点是双曲点。

23. 证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网.
证法一： 如果曲面的平均曲率为零, 由上题曲面上的点都是双曲点或平点. 若为平点,则任意方向为渐近方向,任一曲线为渐近曲线,必存在正交的渐近曲线网.
若为双曲点, 则曲面上存在渐近曲线网.由19题, 渐近方向ϑ满足2
1
2κκϑ-=tg =1, 即1ϑ=π/4,2ϑ=- π/4, 两渐近线的夹角为2
π
,即渐近曲线网构成正交网.
证法二：020H LG FM NE =∴-+=渐近线方程为2220Ldu Mdudv Ndv ++= 所以2(
)20du du L M N dv dv ++=，所以2,du u N du u M
dv v L dv v L
δδδδ=+=-
，所以()[()]du u du u
Edu u F du v dv u Gdv v dv v E F G dv v dv v
δδδδδδδδδ+++=+++
=2[()]0N M
dv v E
F G L L
δ+-+= ，所以渐近网为正交网。

证法三：0
M ≠121
()02
H κκ=+= ，所以高斯曲率
120K κκ=≤ ，所以
2LN M -≤0 ，所以曲面上的点是平点或双曲点。

所以曲面上存在两族渐近线。

取
曲面上的两族渐近线为坐标网，则L = N = 0 ，若M = 0 ，曲面上的点是平点，若
0M ≠ ，则020H LG FM NE =∴-+= ，所以M F = 0 ，所以F = 0 ，所以渐近网为正交网。

24. 在xoz 平面上去圆周y = 0,)()(2
2
2
a b a z b x =+-,并令其绕轴旋转的圆
环面,参数方程为 r
={(b+acos ϕ)cos ϑ , (b+acos ϕ)sin ϑ , asin ϕ},求圆环面上的椭圆点、双曲点、抛物点。

解 E =2a , F= 0 , G=2)cos (ϕa b +, L = a, M = 0, N = cos ϕ(b+acos ϕ), LN -2M =a cos ϕ(b+acos ϕ) , 由于b > a > 0 , b+acos ϕ > 0,所以LN -2M 的
符号与cos ϕ的符号一致,当0≤ϕ<2π
和
2
3π
<ϕ<2π时, LN -2M >0 ,曲面上的点
为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当-2π<ϕ<23π
，曲面上的点为双曲点, 即
圆环面内侧的点为双曲点；当ϕ=2π或 2
3π
时，LN -2M =0，为抛物点，即圆环面
上、下两纬圆上的点为抛物点。

25．若曲面的第一基本形式表示为))(,(222dv du v u I +=λ的形式，则称这个曲
面的坐标曲线为等温网。

试证：旋转曲面)}(,sin )(,cos )({t f t g t g r ϑϑ=
上存在等温
网。

证 旋转曲面)}(,sin )(,cos )({t f t g t g r ϑϑ=
的第一基本形式为
))((222
2
'2'2ϑd dt g
f
g t g I ++= ，做参数变换dt g f g u ⎰+=2'2'，v=ϑ,则在新参数下，),)](([222dv du u t g I +=为等温网。

26．两个曲面1S 、2S 交于一条曲线（C ），而且（C ）是1S 的一条曲率线，则（C ）也是2S 的一条曲率线的充要条件为1S 、2S 沿着（C ）相交成固定角。

证 两个曲面1S 、2S 交于曲线（C ），1n 、2n
分别为1S 、2S 的法向量，则沿交线（C ），1n 与2n 成固定角的充要条件为1n ·2n =常数，这等价于d(1n ·2n )=0,即
d 1n ·2n +1n ·d 2n =0 ,而（C ）是1S 的一条曲率线，因此d 1n 与（C ）的切向量d r 共线，则与2n 正交，即d 1n ·2n =0，于是1n ·d 2n =0，又d 2n ⊥2n ，所以1n · d 2n = d 1n ·2n =0的充要条件为d 2n
// d r ，即（C ）是2S 的曲率线。

27．证明在曲面(S)上的一个双曲点P 处，若两条渐近线都不是直线，则它们之中，一条在点P 的挠率是K -,另一条在点P 的挠率是-K -，其中K 是(S)在P 点的高斯曲率。

证 曲面在双曲点P 处，有两条渐近线过点P ，沿渐近线有n
=±γ ，且II=0，于是有d n
=±d γ .则KI KI HII III d n d -=-===222γ ，即,22Kds d -=γ 或
K ds
d -=2
)(γ ，所以有K K -±=-==-ττβτ,)(22 。

28．证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是一一对应的。

证 设给出的曲面(S): r =r (u,v)上的点r (u,v)与(u,v)∈D 内的点一一对应，
其球面像上的点为n =n
(u,v),由于)(v u v u r r k n n ⨯=⨯,所以||||v u v u r r k n n ⨯=⨯=
2
2||F EG M LN -- ，当曲面(S)上没有抛物点时，LN-M 2
≠
0,则v
u n n ⨯≠。

说明球面像上的点n
(u,v)与区域D 内的点一一对应，因此曲面(S) 上的点与球面像上的点一一对应。