MSDC.初中数学.图形初步B级.第02讲角.学生版

内容
一、角的定义
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.
角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．
定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始
边，终止位置的那条射线叫做角的终边.
(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知：
（1） 角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2） 顶点是这两条边的交点；
（3） 角的两条边是射线，是无限延伸的.
（4） 射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.
角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

二、角的表示方法
① 利用三个大写字母来表示，如图1.1．
∠AOB
图1.1
注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等．
例题精讲
中考要求
角、角平分线
② 利用一个大写字母来表示，如图1.2．
∠A
图1.2
A
注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且
只有一个．
③ 用数字来表示角，如图2.1．
∠1
图2.1
1
③ 用希腊字母来表示角，如图2.2．
∠α
图2.2
α
三、单位换算
1度＝60分(160︒=') 1分=60秒(160'=")
四、角的度量
（1） 度量角的工具常用量角器
用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角
的另一边所在线的度数）
（2） 角的度量单位及其换算
角的度量单位是度、分、秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1︒．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''． 角度之间的关系
1周角=360︒ 1平角＝180︒ 1直角＝90︒ 1周角＝2平角 1平角＝2直角
角的分类：
锐角α（090α<<︒），直角α（90α=︒），钝角α（90180α︒<<︒）．
五、两角的和、差、倍、分
（1）两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.
（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. （3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法
在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR ，折线使射线QR 与射线QP 重合，把纸展开，以Q 为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR 的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR ？
六、用尺规做已知角的平分线方法
作法：（1）以O 点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A B 、两点；
（2）分别以A 、B 两点为圆心，以大于1
2
AB 长为半径画弧，画弧交于C 点； （3）过C 点作射线OC 。

所以，射线OC 就是所求作的。

O
C
B
A
七、余角、补角
（1） 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”. （2） 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”. （3） 补角、余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.
八、 方位角
方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东⨯⨯度”、“北偏西⨯⨯度”、“南偏东⨯⨯度”、“南偏西⨯⨯度”，方位角α的取值范围0
900≤≤α.“北偏东45度”为东北方向、“北偏西45度”西北方向、“南偏东45度”为东南方向、“南偏西45度”为西南方向.
九、 钟表角度问题
时针12小时转动360度，每小时转动30度； 分针60分钟转动360度，每分钟转动6度。

秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度。

一、角的概念及表示
【例1】角是由有 的两条射线组成的图形，两条射线的 是这个角的顶点，角也可以看成是由
一条射线 ．
MSDC 模块化分级讲义体系
初中数学.角、角平分线.第05讲(B 级).学生版
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二、角的分类
【例2】如图，∠AOB 是平角，则图中小于平角的角共有（ ）
A 、4个
B 、7个
C 、9个
D 、10个
【例3】如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（ ）
A 、10个
B 、15个
C 、20个
D 、25个
三、角度的换算及运算
【例4】（1）2020'4______︒⨯=。

（2）4437'3______︒÷=
【例5】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（ ）个
A ．4个
B ．7个
C ．11个
D ．16个
【例6】如右图，AOB 是直线，1:2:31:3:2∠∠∠=，求DOB ∠的度数．
1
23A
B
C D
O
四、余角和补角
【例7】如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF 使COE ∠和BOE ∠互余，
射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠，求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠．
A
B
C D
E
O
图2F E B
五、共定点角的相关计算
【例8】如图，直线AB ，CD 相交于点O ，作D
O E B O D ∠=∠，OF 平分AOE ∠，若28AOC ∠=︒，求E
O F ∠．
A B
C
D
E
F
O
【巩固】 如图所示，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．
（1）DOB ∠与DOA ∠的比是211∶，求BOC ∠的度数．
（2）叠合所成的BOC n ∠=°(090n <<)，则AOD ∠的补角的度数与BOC ∠的度数之比是多少？
O
D
C
B
A
【例9】已知：如图，OC 是AOB ∠外的一条射线，OE 平分AOC ∠．OF 平分BOC ∠．
①若100AOC ∠=︒，40BOC ∠=︒， 问：?EOF ∠= ②若AOB n ∠=︒，求EOF ∠的度数并说明理由．
O
C F
E B
A
【巩固】 如图，AOC ∠是直角，21.5COD ∠=︒，且OB OD ，
分别是AOC ∠、BOE ∠的平分线，求AOE ∠的大小.
O
D
C
E
B
A
【例10】已知：OA 、OB 、OC 是从点O 引出的三条射线85AOB ∠=︒，4136'BOC ∠=︒，求AOC ∠.
【例11】已知一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 与OC ，使60AOB ∠=︒，20BOC ∠=︒，求AOC
∠的度数.
【例12】已知αβ，
都是钝角，计算()1
6
αβ+，正确的结果只可能是（ ） A ．26︒ B ．40︒ C ．72︒ D ．90︒
【巩固】α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算1
()15
αβγ++的值时，有三位同
学分别算出了23︒、24︒、25︒这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求αβγ++的值．
【例13】如下图，AOC COD DOE EOB a ∠=∠=∠=∠=，若以OA ，OC ，OD ， OE 为始边的各角之和
等于380°，求AOB ∠.
E
O
D C
B
A
【例14】如图，已知∠AOB=90°，在∠AOB 的外部画∠BOC ，然后分别画出∠AOC 与∠BOC 的角平分线
OM 和ON ．
（1）下面的两个图形是否都符合题意？若符合，选择其中的一个图形，求∠MON 的度数； （2）若∠AOB=α，且当∠AOB+∠BOC ＜180°时，∠MON 的度数是多少？当∠AOB+∠BOC ＞180°时，∠MON 的度数又是多少？
【例15】在同一平面内有射线OA OB OC OD ，
，，平分BOC ∠，AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5︒，10AOD ∠=︒，求AOC ∠的度数.
【例16】以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC ，使得:5:4AOC BOC ∠∠=，且A
O C ∠，BOC ∠均小于180︒，若30AOB ∠=︒，求AOC ∠的度数.
【巩固】 已知40AOB ∠=︒，从O 点引射线OC ，若:2:3A O C C O B ∠∠
=，且A O C ∠，COB ∠均小于180︒，求OC 与AOB ∠的平分线所成的角的度数.
六、钟表角度问题
【例17】钟表上的时针、分针和秒针我们把钟表看成一个圆周，其上共有12个大格，故每个大格度数为
3603012︒=︒，每个大格中又有5个小格，故每个小格度数为3065
︒
=︒ （1）12时时，钟表上的时针与分针重合，问每多长时间两针再重合？
【例18】钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成60︒的角？分别是几点几分？
【例19】钟表在12点钟时三针重合，经过x 分钟后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则x 的值
是多少?
【例20】小王下午6点多外出买东西时，看到时钟上时针和分针互相垂直，近7点回到家时，发现时钟上
时针和分针仍然互相垂直，试估计小王外出用了多长时间（精确到1分）？
【巩固】某人天天六点多钟外出买东西时，看手表上的时针和分针的夹角是110度，下午近七点回家时，发现时针和分针的夹角还是110度，试算出此人外出用了多少时间？
1.一天当中，有 个满足时针和分针的夹角为90︒且为整点的时刻．
2.如图，ACB ∠是一个平角DCE ACD ∠-∠ECF DCE =∠-∠FCG ECF =∠-∠
GCB FCG =∠-∠10=︒，求GCB ∠的度数．
G
A
B C D E 图2
F
课后作业。