2020年11月福建省平和一中上学期期中考数学试题及参考答案

平和一中2020-2021学年上学期期中考
高二数学
考试时间120分钟；第I 卷（选择题)
一、单项选择题 ：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题p ：2,10x x x ∀∈++>R ，则p ⌝为 A ．2,10x x x ∀∈++<R B ．2,10x x x ∀∈++R ≤ C ．2,10x x x ∃∈++<R
D ．2,10x x x ∃∈++R ≤
2．已知直线()1:250l m x y +-+=与()2:34120l x m y ++-=垂直，则实数m 的值为
A ．32
-
B ．1-
C ．1
D ．32
-
3．宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入， 而钱不湿”，由此诠释出了“熟能生巧”的道理.已知铜钱是直径为4cm 的圆，正中间有一边长为1cm 的正方形小 孔，现随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴落入孔中的概率 A ．
2
1
16π
B ．
116π
C ．
214π
D ．
14π
4．“1k <”是“方程
22
131
x y k k +=--表示双曲线”的 A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是
A ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”
6．已知()2
21:11O x y +-=与()()2
2
2:29O x a y -+-=有且仅有3条公切线，则a 的取值集合为
A ．((
)
,15
15,-∞-+∞
B ．((
)
15,3
315--，
C ．{}15,15-
D ．{}
3,3-
7．若从集合{}2,1,2A =-中随机取一个数a ，从集合{}1,1,3B =-中随机取一个数b ，则直线0ax y b -+=一定
经过第四象限的概率为 A ．
29
B ．
13
C ．
49
D ．
59
8．已知F 是椭圆22
143
y C x +
=：的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点()4,4Q ，则PQ PF +的最大值为 A ．213+1
B ．9
C ．41
D ．5
二、 多项选择题 ：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。

9．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中真命题是
A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件
B ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件
C ．“a b >”是“22a b >”的充分条件
D ．“5a <”是“3a <”的必要条件 10．某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽 取了100名学生，他们的身高都处在A ，B ，C ，D ，
E 五个 层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是 A ．样本中女生人数多于男生人数 B ．样本中B 层人数最多
C ．样本中E 层次男生人数为6人
D ．样本中D 层次男生人数多于女生人数
11．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上存在点P ，使得123PF PF =，其中1F 、2F 分别
为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为
A ．
1
4
B ．
12
C ．356-
D ．
34
12．若P 是椭圆
22
14x y k k
+=+上一点，1F ，2F 为其左右焦点，且12F PF ∠不可能为钝角，则实数k 的值可 以是
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
第II 卷（非选择题)
三、 填空题 ：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13．若直线220x y ++=与直线()()23210m x m y ++-+=平行，则a =_______. 14．若命题“x ∃∈R ，2
0x x a -+<”是真命题，则实数a 的取值范围是_______. 15．已知直线32y kx k =+-被圆()()2
2
124x y -+-=截得的弦长等于4，则k =________．
16．椭圆22
221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点（P 在x 轴上
方），1PF PQ =.若1PQ PF
⊥，则椭圆的离心率e =______. 四、 解答题 ：本题共 6 小题，共 70 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(10分)已知命题p ：点()1,3M 在圆()()
2
2
16x m y m ++-=的内部；命题q ：“曲线1:C 22
21129
x y m m +=+-+表
示焦点在y 轴上的椭圆”．若“p 且q ”是真命题，求m 的取值范围．
18．( 12 分)
已知双曲线经过两点(7,A --
，)
3B -.求该双曲线的标准方程及其焦距.
19．(12分)已知直线l 经过两条直线230x y --=和4350x y --=的交点，且与直线20x y +-=垂直. （1）求直线l 的方程；
（2）若圆C 的圆心为点(3,0)，直线l
被该圆所截得的弦长为，求圆C 的标准方程．
20．(12分)在某市创建全国文明城市的过程中，创文专家组对该市的中小学进行了抽检，其中抽检的一个环节是
对学校的教师和学生分别进行问卷测评.如表是被抽检到的5所学校A 、B 、C 、D 、E 的教师和学生的测评成绩（单位：分）：
（1）建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆy
bx a =+；
（2）现从A 、B 、C 、D 、E 这5所学校中随机选2所派代表参加座谈，求A 、B 两所学校至少有1所被 选到的概率P .
附：1
2
1
()()
ˆ()
n
i
i
i n
i
i x x y
y b
x x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-.
21．(12分)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润30元，
未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x （单位：盒，100200x ≤≤）表示这个开学季内的市场需求量，y （单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．
（1）根据频率分布直方图估计这个开学季内市场需求量x 的平均数； （2）求y 关于x 的函数关系式；
（3）并结合频率分布直方图估计利润y 不少于4000元的概率．
22．( 12 分)已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>经过点()
2,2P ，一个焦点F 的坐标为()2,0.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若1
3
OA OB k k ⋅=，求OA OB ⋅的取值范围.
平和一中2020-2021学年上学期期中考参考答案
一．单选题1．D 2．B 3．D 4．A 5．A 6．C 7．D 8．B 二．多选题9．BD 10．ABC 11．BCD 12．CD
三．填空题13．14- 14．14a < 15．1 16
四．解答题
17．解：（1）若p 为真：()()2
2
1316m m ++-<，解得13m -<< ．.......................3分 若q 为真：则2129m m +<-+ ，解得42m -<<，.......................6分 若“p 且q ”是真命题，则12m -<<．.......................10分
18. 解：设双曲线方程为()2210mx ny mn +=<．...........................................1分
依题意得(
)(
()2222
71,31,m n m n ⎧-+-=⎪⎨⎪+-=⎩
.............................................................5分 解得2
1,3m n ==-， ..................................................................................7分
所以所求双曲线的标准方程为2
2
132
y x -=．.............................................8分 因为2231,2a b ==
，所以22235
122
c a b =+=+=，...............................10分
...........................................................................................12分
19. 解：（1）由已知得230{4350x y x y --=--=，
，
解得
两直线交点为(2,1)，............2分
设直线l 的斜率为1k ．
∵l 与20x y +-=垂直，∴11k = ，.........................................................4分 ∵l 过点(2,1)，
∴l 的方程为12y x -=-，即10x y --=．..............................................6分 （2）设圆的半径为r
=......8分
则由垂径定理得2224r =+=，∴2r
，......................11分
∴圆的标准方程为2
2
(3)4x y -+=. ..................................................12分
20．解：（1）依据题意计算得：
9092939496
935
x ++++=
=，................................................................1分
8789899293905
y ++++==，................................................................2分
()
()()5
2
22
22213101320i i x x =-=-+-+++=∑，
()()()()()()()5
1
3311011233i
i
i x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯∑21=，
()121()ˆ2120()
n
i i i n i i x x y y b x x ==--==-∑∑，..................................................................6分 2115390932ˆ00
ˆ2a
y bx =-=-⨯=-.................................................................7分 ∴所求回归方程为2115320ˆ20
y x =-....................................................................8分
（2）从A 、B 、C 、D 、E 这5所学校中随机选2所，具体情况为：
{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},C D ，{},C E ，{},D E ，一共有10
种........................................................................................................10分
A 、
B 两所学校至少有1所被选到的为：
{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，
一共有7种............................................................................................................11分 它们都是等可能发生的，所以A 、B 两所学校至少有1所被选到的概率
7
10
P =
....................................................................................................................12分 21．解：（1）需求量为[
)100,120的频率0.005200.1=⨯=， 需求量为[)120,140的频率0.01200.2=⨯=， 需求量为[)140,160的频率0.015200.3=⨯=， 需求量为[)160,180的频率0.0125200.25=⨯=， 需求量为[
)180,200的频率0.0075200.15=⨯=.
则平均数1100.11300.21500.31700.251900.15153x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ...............................................................................................................................4分 （2）因为每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，
所以当100160x ≤≤时，()3010160401600y x x x =-⨯-=-， 当160200x <≤时，160304800y =⨯=，
所以401600,1001604800,160200x x y x -≤≤⎧=⎨
<≤⎩，
，
...................................................................8分
（3）因为利润不少于4000元，所以4016004000x -≥，
解得140x ≥................................................................................................................10分 所以由（1）知利润不少于4000元的概率10.30.7p =-=....................................12分 22．解：（1
）2a a =
=⇒=22c b =⇒=，
∴椭圆C 的方程为22184
x y +=. ........................................................................4分
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 由22
28
y kx m x y =+⎧⎨
+=⎩，得：()222124280k x kmx m +++-=，.........................6分 ()()2222221641228648320k m k m k m ∆=-+-=-+>，
即2284m k <+...............................................................................................7分 122412km x x k +=-+，212228
12m x x k
-=+，()2
2
121212y y k x x mk x x m =+++22222222222
2848121212k m k k m m k m k k k
--=-+=+++， 22122
123
81
28OA OB
y y m k k k x x m -⋅===-， ∴22824m k =-，...............................................................................9分 故2223
248404
8k k k +⇒-<<
≤，......................................................10分 2221212222881212m m k x x O y O k A y k B --=+=⋅+++222388
12m k k --=
+
222
643264
321221
k k k -==-++. ...................................................................11分 故OA OB ⋅的取值范围为3232,
5⎡
⎫
-⎪⎢⎣⎭
. ........................................................12分。