2021福州1月份质检理数(word版)

福州市2021-2021学年第一学期高三期末质量检测
理科数学试卷
（满分：150分；完卷时间：120分钟）
注意事项：
1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内
填写学校、班级、准考证号、姓名；
2.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间
120分钟。

第I卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只
有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1.已知全集U=R，集合A＝{1,2,3,4,5｝,B＝[3，十 ），则图中阴影部分所表示的集合为
A. {0，1，2}
B. {0，1}，
C. {1，2}
D.｛1｝
2、设a是实数，若复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x+y=0上，则a的值为
A、－1 B.0 C.1 D.2
3.设则a，b，c的大小关系为
A. a＜c＜b
B. b＜a＜c
C. a＜b＜c
D. b＜c＜a
4.阅读右边程序框图，为使输出的数据为30，则判断框中应填
人的条件为
A.i≤4
B. i≤5`
C. i≤6
D. i≤7
量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200
在第
一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数为
A.20，15，15
B.20，16，14
C.12，14，16
D.21，15，14
6. 的展开式中，二次式系数最大的项是
A.20x3
B.15x2
C.15 x4
D. x6
7.已知函数的图像在点A(l,f(1))处的切线l与直线x十3y＋2＝0垂直，若数列的前n项和为Sp，则S2013的值为
8.若实数，则函数f（x）＝2sinx十acosx的图象的一条对称轴方程为
9.如图，△ABC中，∠C =90°，且AC＝BC＝4，点M满足，
则＝
A.2
B.3
C.4
D.6
10.已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为
11.如图，偶函数f(x)的图像形如字母M,奇函数g（x）的图像形如字母N，若方程
的实根
个数分别为a，b，c，d，则a＋b＋c＋d＝
A.27
B.30
C.33
D.36
12.已知函数f（x十1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则不等式f（1－x）<0的解集为
A.（1，＋∞）
B.（一∞，0）
C.（0，＋∞）D（一∞，1）
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置上）
13.在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数
a的值
为＿＿＿＿．
14.在平面直角坐标系xoy中，过坐标原点的一条直线与函数的图像交于P、Q 两点，则线段PQ长的最小值是＿＿＿＿
15、如右图，三角形数阵满足：
（1)第n行首尾两数均为n;
(2）表中的递推关系类似杨辉三角4
则第n行（n≥2 )第2个数是＿＿＿＿．
16.给出下列命题：
①“x＝一1”是“x2一5x一6＝0”的必要不充分条件；
②在△ABC中，已知;
③在边长为1的正方形ABCD内随机取一点M，MA＜1的概率为于
④若命题p是：:对任意的，都有sinx≤1,则为：存在,使得sinx > 1.
其中所有真命题的序号是＿＿＿＿
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．）
17.（本小题满分12分）
已知，函数
（I）求方程g(x)＝0的解集；
（B）求函数f（x）的最小正周期及其单调增区
18.（本小题满分12分）
在数列中，
（I）证明是等比数列，并求的通项公式；
（n）求的前n项和Sn
19.（本小题满分12分）
为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念，某市建立了公共自行车服务系统鼓励市民租用公
共自行车出行，公共自行车按每车每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下：
①租用时间不超过1小时，免费；
②租用时间为1小时以上且不超过2小时，收费1元；
③租用时间为2小时以上且不超过3小时，收费2元；
④租用时间超过3小时的时段，按每小时2元收费（不足1小时的部分按1小时计算）
已知甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设
甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0. 4和0. 5 ;租用时间为1小时以上且不超过2 小时的概率分别是0.5和0.3.
（I）求甲、乙两人所付租车费相同的概率；
（11）设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量，求的分布列和数学期望E
20.（本小题满分12分）
某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该
产品x(百台），其总成本为g(x)万元（总成本＝固定成本＋生产成本），并且销售收人r(x) 满足
假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：
（I）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
（B）工厂生产多少台产品时盈利最大？
21.（本小题满分12分）
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（一3,0)，一条渐近线的方程是
（I）求双曲线C的方程；
（11）若以k（k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M, N,且线段MA 的
垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围。

22.（本小题满分14分） 已知函数
（I ）当a ＝2时，求函数y ＝f(x)的图象在x=0处的切线方程； （II ）判断函数f(x)的单调性； （III) 求证：
福州市2013—2014学年第一学期高三期末质量检测
数学(理科)试卷 参考答案与评分标准
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1. C
2. B
3. B 4．A 5. B 6. A 7. D 8. B 9. C 10．C 11. B 12. B
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置上．）
13．1 14．42 15．222
n n -+ 16.．②③④
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．） 17．（本小题满分12分） 解: (Ⅰ)
x
b x g 2sin 1)(22
=-=→- ··········································· 2分
由0)(=x g 得()Z k k x x ∈=∴=π202sin 即
()Z k k x ∈=2
π
····························· 5分 故方程)(x g ＝0的解集为
{()}
Z k k x x ∈=2
π
························································ 6分
(Ⅱ)
1
2sin 3cos 21)2sin ,1()3,cos 2(1)(22-+=-⋅=-⋅=→
-→-x x x x b a x f ·
······ 7分
)
6
2sin(22sin 32cos π+
=+=x x x ·
··················································· 9分 ∴函数)(x f 的最小周期
π
π
==2
2T ······································································· 10分 由
()
Z k k x k ∈+≤
+
≤+-
ππ
π
ππ
22
6
222
得
()
Z k k x k ∈+≤
≤+-
ππ
ππ
6
3
故函数)(x f 的单调增区间为
()Z k k k ∈⎥⎦
⎤
+⎢⎣⎡
+-ππ
ππ6,3. （ 开区间也可以）
··································································································································· 12分
18. （本小题满分12分） 解:(Ⅰ)
1111
,0
33n n n n a a a a n
++==∴> 1111==n 13n
13
n n a a a +∴+，又 ·
······································································· 2分 n n a ⎧⎫
∴⎨⎬⎩⎭
11为首项为，公比为的等比数列
33
·············································· 4分 n 1
n
11n
==n 333
n n a a -⎛⎫
∴⨯∴ ⎪⎝⎭
， ·
··············································································· 6分 (Ⅱ)
123123
333
3
n n n S =+++
+……① ·
···································································· 7分 231
1121333
33
n n n n n S +-∴=++++……② ·
·················································· 8分 ①-② 得：12312
111
13333
33
n n n n S +=++++- ·
·································· 9分 1
111331313
n n n +⎛⎫
- ⎪⎝⎭=-- ··················································· 10分
3114323n n n
n S ⎛⎫∴=--
⎪⨯⎝⎭
133243n n n
n S +--∴=
⨯ ·
················································································· 12分
19. （本小题满分12分） .解：(Ⅰ)根据题意，
分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件
123,,A A A ，它们彼此互斥，
且123
()0.4,()0.5,()10.40.50.1P A P A P A ==∴=--=
分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事件123
,,B B B ，它们彼此互斥，
且123()0.5,()0.3,()10.50.30.2P B P B P B ==∴=--= ·
··························· 2分 由题知，123,,A A A 与123,,B B B 相互独立， ·
····················································· ３分 记甲、乙两人所扣积分相同为事件M ，则112233M A B A B A B =++
所以112233
()()()()()()()P M P A P B P A P B P A P B =++
0.40.50.50.30.10.20.20.150.020.37=⨯+⨯+⨯=++= ······· ６分 (Ⅱ) 据题意ξ的可能取值为：0,1,2,3,4 ························································ 7分 11(0)()()0.2P P A P B ξ===
1221(1)()()()()0.40.30.50.50.37P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯=
132231(2)()()()()()()0.40.20.50.30.10.50.28P P A P B P A P B P A P B ξ==++=⨯+⨯+⨯=
2332(3)()()()()0.50.20.10.30.13P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯=
33(4)()()0.10.20.02P P A P B ξ===⨯= ··························································· 10分
所以ξ的分布列为：
ξ的数学期望00.210.3720.2830.1340.02 1.4E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ·
···· 11分 答：甲、乙两人所扣积分相同的概率为0.37，ξ的数学期望 1.4E ξ=·
···················· 12分
20．（本小题满分12分）
解：依题意得g(x)3x =+，设利润函数为f(x)，则f(x)(x)g(x)r =-， 所以
20.5613.5
(0x 7)f(x),
10.5(x 7)
x x x
⎧-+-≤≤=⎨
->⎩ ·
································ 2分 （I ）要使工厂有盈利，则有f (x )＞0，因为
f (x )＞0⇔
2
0x 77
0.5613.5010.50
x x x x ≤≤>⎧⎧⎨⎨-+->->⎩⎩或， ·
···························· 4分 ⇒
20x 771227010.50x x x x ≤≤>⎧⎧⎨⎨-+<->⎩⎩或⇒
0x 7
710.5
39x x ≤≤⎧<<⎨
<<⎩
或
⇒3x 7<≤或7x 10.5<， ·
··············································· 6分 即3x
10.5<. ·
···································································· 7分 所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内．····· 8分 （II ）当3x 7<≤时， 2f(x)0.5(6) 4.5x =--+
故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. ···················································· 10分 而当x ＞7时，f(x)10.57 3.5<-=.
所以当工厂生产600台产品时，盈利最大． ········································ 12分
21. （本小题满分12分） 解：（I ）设双曲线C 的方程为2
2
221(00)x y a b a b -=>>，，
································ 1分 由题设得
229a b b a
⎧+=⎪
⎨=⎪⎩，
·················································································· 2分
解得
2
2
45.
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
， ····································································································· 3分
所以双曲线C 的方程为2
2
145
x y -=； ······························································ 4分 （II ）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满
足方程组
2
2
1.4
5y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，
① ②，将①式代入②式，得2
2
()145
x kx m +-=， 整理得222(54)84200k x kmx m ----=， ·················································· 6分 此方程有两个不等实根，于是2540k -≠， 且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>，
整理得22540m k +->.③ ·
·········································································· 7分 由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00
()x y ，满足： 12024254x x km x k +==-，002554m y kx m k =+=
-， ·
······························· 8分 从而线段MN 的垂直平分线的方程为
225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，
···· 9分
此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为
29054km k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，
29054m k ⎛
⎫ ⎪-⎝⎭
，， 由题设可得
2
219981254542km
m k k =--，整理得222(54)k m k
-=
，0k ≠，
································································································································· 10分 将上式代入③式得
22
2(54)540k k k
-+->， ·
··········································· 11分 整理得
22(45)(45)0
k k k --->，0k ≠，解得
或
54k >， 所以k 的取值范围是
5555004224⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫⎛⎫
---+ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∞，，，，∞． ·
······ 12分 22. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）当2a =时，
2()ln(1)1
x f x x x =++
+，
∴22
123()1(1)(1)x f x x x x +'=+=+++， ·
····································································· 1分 ∴ (0)3f '=，所以所求的切线的斜率为3. ·
·························································· 2分 又∵()00f =，所以切点为()0,0. ····································································· 3分
故所求的切线方程为：3y x =. ·
·········································································· 4分 （Ⅱ）∵()ln(1)1
ax f x x x =+++(1)x >-， ∴22
1(1)1()1(1)(1)a x ax x a f x x x x +-++'=+=+++． ·
·························································· ６分 ①当0a ≥时，∵1x >-，∴()0f x '>； ·
····························································· ７分 ②当0a <时，
由()01f x x '<⎧⎨>-⎩，得11x a -<<--；由()01
f x x '>⎧⎨>-⎩，得1x a >--； ····················· ８分 综上，当0a ≥时，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增；
当0a <时，函数()f x 在(1,1)a ---单调递减，在(1,)a --+∞上单调递增． ·
···· ９分 （Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，当1a =-时，
()()ln 11
x f x x x =+-+在()0,+∞上单调递增． ·················································· 10分 ∴ 当0x >时，()()
00f x f >=，即()ln 11x x x +>+． ································· 11分 令1x n =（*n ∈N ），则111ln 111
1n n n n
⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+． ············································· 12分 另一方面，∵()2
111n n n <+，即21111n n n -<+, ∴ 2
1111n n n >-+． ······························································································ 13分 ∴
2111ln 1n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭（*n ∈N ）． ····································································· 14分 方法二：构造函数2()ln(1)F x x x x =+-+，(01)x ≤≤ ·
································ 10分
∴1(21)'()1211
x x F x x x x +=-+=++， ·
····························································· 11分 ∴当01x <≤时,'()0F x >；
∴函数()F x 在(0,1]单调递增． ·
········································································· 12分 ∴函数()(0)F x F > ，即()0F x >
∴(0,1]x ∀∈，
2ln(1)0x x x +-+>，即2ln(1)x x x +>- ····························· 13分 令1x n =（*n ∈N ），则有2111ln 1n n n
⎛⎫+>- ⎪⎝⎭． ··················································· 14分。