浙江省瑞安市上海新纪元高级中学2019_2020学年高一数学下学期期初考试试题(1_6班)

浙江省瑞安市上海新纪元高级中学2019-2020学年高一数学下学期期初考
试试题（1-6班）
一、选择题：（每题4分，共40分）
1.若一个幂函数的图像经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则它的单调增区间是（ ）
().,1A -∞ ().0,B +∞ ().,0C -∞ .D R
2.函数()22ln x
f x x -=-的零点所在区间为（ ）
A. ()0,1
B. ()1,2
C. ()2,3
D. ()3,4
3．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b
；
④ln a 2
＞ln b 2
.其中正确的不等式是( ) A.①④
B. ①③
C. ②③
D.②④
4.将函数sin 24y x π⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭的图象向左平移2
π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数()y f x =图象，则下列关系正确的是（ ） A. ()()()240f f f << B. ()()()402f f f << C. ()()()024f f f <<
D. ()()()420f f f <<
5．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182y
x
⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
的取值范围是（ ）
A ．82,2⎡⎤⎣⎦
B ．81,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ． 7
2,2⎡⎤⎣⎦
6．若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为
A ．−7
B ．5
C ．1
D ．7
7.已知等边ABC ∆的边长为2，M
为BC 的中点，若2AB t AM -≥u u u r u u u u r
，则实数t 的取值范围为（ ）
A. []1,2
B. []0,2
C. (][),02,-∞+∞U
D. (][),12,-∞-⋃+∞ 8.函数()sin x
f x x
=
的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
9.已知函数()2sin f x x ω=（其中0ω>），若对任意13,04x π⎡⎫∈-
⎪⎢⎣⎭，存在20,3x π⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，使得()()12f x f x =，则ω的取值范围为（ ▲ ）
.A 3ω≥ .B 03ω<≤ .C 902ω<≤ .D 9
2
ω≥
10.已知函数()2
21f x x ax ax =--+，若()1
2
f x ≥-
恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. []1,1- B. 2,2⎡-⎣ C. 2,12⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦U D. (])
,02,⎡-∞+∞⎣U
二、填空题：（多空每题6分，单空每题4分） 11.计算或化简：①()20
log 31lg 22lg 5-+-+=___22
111
x x x --=-_______． 12.已知数列{}n a 满足：11
23
,1n n a a n N a ++=-⎧∈⎨
=⎩；则4a =_______，通项n a =_________．
13.在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则
BD =___________，cos ABD ∠=___________．
14．已知x ＞0，y ＞0，x ＋4y ＋xy ＝5，则xy 的最大值为 ；x ＋4y 的最小值为_____ ___．
15.在Rt ABC ∆，2AC BC ==，已知点P 是ABC ∆内一点，则(PB +⋅的 最小值是 .
16．两个单位向量,OA OB u u u r u u u r 且0
120AOB ∠=，C 点在弧AB 上动，若 ,(,)OC xOA yOB x y R =+∈u u u r u u u r u u u r
，则x y +的取值范围是
17．已知函数()f x =[)0,+∞，则实数a 的取值范围_________. 三、解答题：
18.已知函数()22cos sin cos f x x x x x =⋅+- （1）求函数的最小正周期及对称中心；
（2）若[]0,x π∈，求函数()f x 最小值以及取最小值时x 的值；
（3）若1
22
f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，求cos α.
19．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin
A ＋C
2
＝b sin A 。

(1)求B ；
(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围。

20.（本题满分15分）设公差不为0的等差数列{}n a 中，25,a =且1311,,a a a 构成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 的前n 项和n S 满足：11123n n S ⎛⎫
=
-
⎪⎝⎭
，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .
21. （本题满分15分）
已知a 为正数，函数()()222
22
131,log log 244
f x ax x
g x x x =--=-+. （Ⅰ）解不等式()12
g x ≤-
； （Ⅱ）若对任意的实数,t 总存在[]12,1,1x x t t ∈-+，使得()()()12f x f x g x -≥对任意[]2,4x ∈恒成立，求实数a 的最小值.
22.已知函数()f x t ，t ∈R ． （1）判断()y f x =的单调性，并证明之；
（2）若存在实数a ，b ()a b <，使得函数()f x 在区间[],a b 上的值域为22
,a b ⎡⎤⎣⎦，求实数t 的取值
范围．
瑞安上海新纪元高级中学
高一数学返校考试试卷
一、选择题：（每题4分，共40分）
1.若一个幂函数的图像经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则它的单调增区间是（ ）
().,1A -∞ ().0,B +∞ ().,0C -∞ .D R
【答案】C
2.函数()22ln x
f x x -=-的零点所在区间为（ ）
A. ()0,1
B. ()1,2
C. ()2,3
D. ()3,4
【答案】C
3．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b
；
④ln a 2
＞ln b 2
.其中正确的不等式是( ) A.①④ B. ①③ C. ②③ D.②④
【答案】B 4.将函数sin 24y x π⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭的图象向左平移2
π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数()y f x =图象，则下列关系正确的是（ ） A. ()()()240f f f << B. ()()()402f f f << C. ()()()024f f f << D. ()()()420f f f <<
【答案】A
5．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182y
x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
的取值范围是（ ）
A ．82,2⎡⎤⎣⎦
B ．8
1,22
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
C ．7
1,22
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
D ． 72,2⎡⎤⎣⎦
【答案】D
6．若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为
A ．−7
B ．5
C ．1
D ．7
【答案】B
7.已知等边ABC ∆的边长为2，M
为BC 的中点，若2AB t AM -≥u u u r u u u u r
，则实数t 的取值范围为（ ）
A. []1,2
B. []0,2
C. (][),02,-∞+∞U
D. (][),12,-∞-⋃+∞ 【答案】C 8.函数()sin x
f x x
=
的大致图象为（ ） A. B.
C. D.
【答案】A
9.已知函数()2sin f x x ω=（其中0ω>），若对任意13,04x π⎡⎫∈-
⎪⎢⎣⎭，存在20,3x π⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，使得()()12f x f x =，则ω的取值范围为（ ▲ ）
.A 3ω≥ .B 03ω<≤ .C 902ω<≤ .D 9
2
ω≥
【答案】D
10.已知函数()2
21f x x ax ax =--+，若()1
2
f x ≥-
恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. []1,1- B. 2,2⎡-⎣ C. 2,12⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦U D. (])
,02,⎡-∞+∞⎣U
【答案】B
二、填空题：（多空每题6分，单空每题4分）
11.计算或化简：①()20
log 3
1lg 22lg 5-+-+=___22
111
x x x --=-_______． 【答案】 (1). 1- (2). 1- 12.已知数列{}n a 满足：11
23
,1n n a a n N a ++=-⎧∈⎨
=⎩；则4a =_______，通项n a =_________．
【答案】—13，32n -
13.在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则
BD =___________，cos ABD ∠=___________．
【答案】5
，10
14．已知x ＞0，y ＞0，x ＋4y ＋xy ＝5，则xy 的最大值为 ；x ＋4y 的最小值为_____ ___．
【答案】1，4
15.在Rt ABC ∆，2AC BC ==，已知点P 是ABC ∆内一点，则(PB +⋅的 最小值是 . 【答案】1-
16．两个单位向量,OA OB u u u r u u u r 且0
120AOB ∠=，C 点在弧AB 上动，若 ,(,)OC xOA yOB x y R =+∈u u u r u u u r u u u r
，则x y +的取值范围是
【答案】[1，2] 17．已知函数(
)f x =[)0,+∞，则实数a 的取值范围_________. 【答案】
814
a ≤
三、解答题：
18.已知函数(
)22
cos sin cos f x x x x x =⋅+-
（1）求函数的最小正周期及对称中心；
（2）若[]0,x π∈，求函数()f x 最小值以及取最小值时x 的值；
（3）若1
22
f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，求cos α.
【详解】（1）因为(
)2cos 22sin(2)6
f x x x x π
=-=-，。

（4分）
所以22T π
π=
=，当()0f x =得：2,6212
k x k x k Z ππππ-=⇒=+∈， 所以函数的对称中心为：(
,0),212
k k Z ππ
+∈.。

（6分）
（2）当[]110,26
6
6
x x π
π
π
π∈⇒-≤-
≤
， 所以22sin(2)26
x π
-≤-≤，
当26
23x x π
π
π
-
=
⇒=
，函数取得最大值为2；
当352626
x x πππ
-=⇒=，函数取得最小值为2-；。

（9分）
（3）因为1
22f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以112sin()sin()26264f αππαα⎛⎫=-=⇒-= ⎪⎝⎭
，
所以06
6
π
π
α<-
<
，所以cos()6
4
π
α-
=
因为cos cos()cos()cos sin()sin 666666
π
πππππ
αααα=-
+=---
1142⋅=
=。

（14分）
19．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin
A ＋C
2
＝b sin A 。

(1)求B ；
(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围。

【解析】(1)由题设及正弦定理得 sin A sin
A ＋C
2
＝sin B sin A .
因为sin A ≠0，所以sin
A ＋C
2
＝sin B .
由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin
A ＋C 2＝cos
B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B
2
.
因为cos B 2≠0，故sin B 2＝1
2
，因此B ＝60°.。

6分
(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝3
4
a .。

8分 由正弦定理得a ＝
c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋1
2
.。

11分 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，
所以30°<C <90°，。

13分
故12<a <2，从而38<S △ABC <32. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3
8
，32。

15分
20.（本题满分15分）设公差不为0的等差数列{}n a 中，25,a =且1311,,a a a 构成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 的前n 项和n S 满足：11
123n n S ⎛⎫
=
-
⎪⎝⎭
，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 解：（Ⅰ）2
(5)(59)(5)3d d d d -+=+⇒=………………3分
2(2)31n a a n d n =+-=-…………………………5分
（Ⅱ）首先求出13n n b =
31
3
n n n
n a b -∴=…………………………………10分 错位相减，求得767
443
n n n T +=-⋅…………………………………15分 21. （本题满分15分）
已知a 为正数，函数()()222
22
131,log log 244
f x ax x
g x x x =--=-+. （Ⅰ）解不等式()12
g x ≤-
； （Ⅱ）若对任意的实数,t 总存在[]12,1,1x x t t ∈-+，使得()()()12f x f x g x -≥对任意[]2,4x ∈恒成立，求实数a 的最小值.
解：（1）：x ∈。

4分
（2）条件转化为()()max min 1
4f x f x -≥。

（7分），
由对称性知，只需考虑当
1
4t a
≥的情形， ①当114t t a ≤<+即11144t a a -<≤
时，则11
21144t a a -<-≤-，那么 ()()()()2
max min 13311
11244164
f x f x a t t a ⎛⎫-=--
-----≥ ⎪⎝⎭，
解得1
4a ≥。

（10分）。

②当
114t a ≥+时即114t a
≤- ，()()()()()()2
2
max min 13131111124244
f x f x a t t a t t ⎡⎤-=--
---+-+-≥⎢⎥⎣⎦ 解得1
16a ≥。

（13分），
综上1
4a ≥。

（15分）
22.已知函数(
)f x t ，t ∈R ． （1）判断()y f x =的单调性，并证明之；
（2）若存在实数a ，b ()a b <，使得函数()f x 在区间[],a b 上的值域为22
,a b ⎡⎤⎣⎦，求实数t 的取值
范围．
【详解】（1）由210x -≥，得11x -≤≤，所以()f x 的定义域为[]1,1-，
()f x 在区间[]1,0-上为增函数，在区间[]0,1上为减函数，。

3分
证明如下：
任取1201x x ≤<≤，则()(
)
))
12f x f x t t -=
-
)
)
22
t t =
-
==
=
∵1201x x ≤<≤，
∴22210x x ->>>，即()()120f x f x ->
故()()12f x f x >，所以()f x 在区间[]
0,1上为减函数，。

（6分）
同理可证，()f x 在区间[]1,0-上为增函数. 。

（7分）
综上所述：()f x 在区间[]1,0-上为增函数，在区间[]
0,1上为减函数.
（2）由（1）知()f x 为偶函数，且在区间[]1,0-上为增函数， 若存在10a b -≤<≤，使得函数()f x 在区间[],a b 上的值域为22
,a b ⎡⎤⎣⎦，即()()22f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
2t x =，即210x x t ++-=在区间[]1,0-上有两个不同的根，
设()2
215124g x x x t x t ⎛⎫=++-=++- ⎪⎝⎭，必有()()102100g g g ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-=≥⎩，解得514t ≤<， 因()f x 为偶函数，则在区间[]0,1上存在实数a ，b ()a b <，使得函数()f x 在区间[],a b 上的值
域为22,a b ⎡⎤⎣⎦，则有514
t ≤<，。

（11分） 若存在101a b -≤<<≤，使得函数()f x 在区间[]
,a b 上的值域为22,a b ⎡⎤⎣⎦， 则有()20f b =，()2f a a =或()2f b a =，
所以21t b +=，则0t <，
若()2f a a =或()2f b a =
2t a =
2t a =，
即方程210x x t ++-=有两个根a ，b ，其中101a b -≤<<≤， 因2
215124x x t x t ⎛⎫++-=++- ⎪⎝⎭，其对称轴为12x =-， 故不存在实数a ，b 满足题意，。

（14分）
综上所述：实数t 的取值范围为51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.。

（15分）。