数学苏教必修空间直角坐标系空间两点间的距离张讲课文档

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空间中点的对称问题
已知点 P(2,3，－1)，求： (1)点 P 关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点 P 关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点 P 关于坐标原点 O 对称的点的坐标．
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[解] (1)设点 P 关于 xOy 坐标平面的对称点为 P′， 则点 P′在 x 轴上的坐标及在 y 轴上的坐标与点 P 的相应坐标 相同，而点 P′在 z 轴上的坐标与点 P 在 z 轴上的坐标互为相 反数．所以，点 P 关于 xOy 坐标平面的对称点 P′的坐标为 (2,3,1)． 同理，点 P 关于 yOz，zOx 坐标平面的对称点的坐标分别为(－ 2,3，－1)，(2，－3，－1)．
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22a－ 22a2＋0－ 22a2＋1－ 22a－02＝ a2－ 2a＋1，即 MN 的长度为 a轴的对称点为 Q，则点 Q 在 x 轴上的坐标与 点 P 的坐标相同，而点 Q 在 y 轴上的坐标及在 z 轴上的坐标与 点 P 在 y 轴上的坐标及在 z 轴上的坐标互为相反数．所以，点 P 关于 x 轴的对称点 Q 的坐标为(2，－3，1)． 同理，点 P 关于 y 轴，z 轴的对称点的坐标分别为(－2,3,1)，(－ 2，－3，－1)． (3)设点 P 关于坐标原点 O 的对称点为 R(x，y，z)，则点 O 为 线段 PR 的中点，由中点坐标公式可得 x＝2×0－2＝－2，y ＝2×0－3＝－3，z＝2×0－(－1)＝1，所以 R 为(－2，－3,1)．
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方法归纳 空间直角坐标系中点的对称问题要类比平面直角坐标系中点 的对称问题思考解决． (1)点 P 关于定点 G 对称点 P′的坐标，即可视 G 为线段 PP′ 的中点求解，特别地，点 P(x0，y0，z0)关于原点 O 的对称点 P′(－x0，－y0，－z0)． (2)点 P 关于坐标轴或坐标平面对称点 P′的坐标，一般遵循 “关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标的符号相反”的口 诀．特别地，在空间直角坐标系中，任一点 P(x，y，z)的几种 特殊对称点的坐标如下：
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2．空间直角坐标系中点的坐标 对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的________射__影，即经过
点A作三个平面分别_____________于垂x轴直、y轴和z轴，它们与x轴、y
轴和z轴分别交于P，Q，R.点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x
，y，z，我们把有序实数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记为
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_______x_轴______的正 方向，食指指向____________y_轴_的正方向，若中指指向 ______z轴________的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标 系． (3)空间直角坐标系的画法
在平面上画空间直角坐标系时，x轴与y轴、x轴与z轴均成 _____1_3_5_°________，而z轴垂直于y轴．y轴和z轴的单位长 ____________________，x轴的单位长等于y轴(或z轴)单位长的一 半，如相图所同示．
AB＝ 1－t－22＋1－t－t2＋t－t2
＝
5t－152＋95≥3
5
5 .
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3．已知△ABC 的三个顶点的坐标为 A(－1，－3,4)，B(1，－2， －1)，C(－1,4,3)，则 BC 边上的中线长为___2_6____． 解析：设 BC 边上的中点为 D，则由中点坐标公式得 D(0,1,1)， ∴中线 AD＝ －1－02＋－3－12＋4－12＝ 26.
____坐__标__原__点________，x轴、y轴和z轴叫做________坐__标__轴__，这三
条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为______________、
___x_O_y_平__面______和___y_O_z_平__面______
zOx平面
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(2)右手直角坐标系
通过建立空间直角坐标系，推导出空间两点间的距 离公式，通过对公式的应用，体会其与平面内两点 间距离求法的异同.
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1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系的概念
从空间某一个定点O引三条______互__相__垂__直__且有相同单位长度的数轴
，这样就建立了空间直角坐标系O－xyz，点O叫做
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由于点 E 为 DD1 中点，所以坐标为(0,0，12)；由于点 F 为 BD 中点，所以坐标为(12，12，0)；由于点 G 为 BB1 中点， 所以坐标为(1,1，12)．
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方法归纳 (1)空间中点 P 坐标的确定方法： ①投影法：即找到点 P 在三条坐标轴上的投影点．方法是过点 P 作三个平面分别垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴于 A、B、C 三点( A、 B、C 即为点 P 在三条坐标轴上的投影点)，点 A、B、C 在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别是 a、b、c，则(a，b，c)就是点 P 的坐标． ②路径法：先从原点出发沿 x 轴的正方向(x＞0)或负方向(x＜ 0)移动|x|个单位，再沿 y 轴的正方向(y＞0)或负方向(y＜0)移动 |y|个单位，最后沿 z 轴的正方向(z＞0)或负方向(z＜0)移动|z|个 单位即可得到此点的坐标． (2)空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不 同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的．
______________
A(x，y，z)
3．空间两点间的距离公式与中点坐标公式
(1)空间两点间的距离公式
一般地，空间中的任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离为 P1P2＝_____________x_1_－__x_2_2_＋___y_1_－__y_2_2_＋z1－z22
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①关于 x 轴(横轴)对称的点的坐标是 P′(x，－y，－z)． ②关于 y 轴(纵轴)对称的点的坐标是 P′(－x，y，－z)． ③关于 z 轴(竖轴)对称的点的坐标是 P′(－x，－y，z)． ④关于 xOy 坐标平面对称的点的坐标是 P′(x，y，－z)． ⑤关于 yOz 坐标平面对称的点的坐标是 P′(－x，y，z)． ⑥关于 xOz 坐标平面对称的点的坐标是 P′(x，－y，z)．
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(2)中点坐标公式 平面内两点的中点坐标公式，类似地也可以推广到空间， 即对于点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则线段 P1P2 的 中点 P(x，y，z)的坐标为(x1＋2 x2，y1＋2 y2，z1＋2 z2)．
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1．已知 A(4,0,2)，B(1,0，－1)，M 为 y 轴上一点，且满足 MA ＝2MB，则 M 点的坐标为____(_0_,2_,_0_)_或_(_0_，__－__2_,0_)_______． 解析：设 M(0，y,0)，则由题意有
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确定空间任一点的坐标 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD ，BB1的中点，且正方体棱长为1，请建立适当的直角坐标系 ，写出正方体各顶点及E、F、G的坐标． (链接教材P119例2)
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[解] 如图所示，以 D 为坐标原点，棱 DA、 DC、DD1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立右手直角坐标系 D-xyz.由正方体棱 长为 1，点 D 为坐标原点，即 D(0,0,0)，且 点 A、C、D1 分别在 x 轴、y 轴、z 轴上，所以它们的坐标分别 为 A(1,0,0)、C(0,1,0)、D1(0,0,1)．点 B、C1、A1 分别在 xDy 平 面、yDz 平面、zDx 平面内，所以坐标分别为 B(1,1,0)、C1(0,1,1)、 A1(1,0,1)．因为 B1 在三条轴上的射影分别为 A、C、D1，故点 B1 的坐标为(1,1,1)．
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空间两点间距离公式的应用
正方形 ABCD，ABEF 的边长都是 1，并且平面 ABCD ⊥平面 ABEF，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动．若 CM＝BN＝a(0＜a＜ 2)． (1)求 MN 的长度； (2)当 a 为何值时，MN 的长度最短． (链接教材 P121 例 1)
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1．设有长方体 ABCD－A′B′C′D′，如图所示，长、宽、 高分别为 AB＝4 cm，AD＝3 cm，AA′＝5 cm，N 是线段 CC′ 的中点．分别以 AB、AD、AA′所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴，以 1 cm 为单位长度，建立空间直角坐标系．
(1)求 A，B，C，D，A′，B′，C′，D′的坐标； (2)求 N 的坐标．
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解：(1)A，B，C，D 都在平面 xOy 内，z 的坐标都为 0，它们 在 x 轴、y 轴所组成的直角坐标系中的坐标分别是 A(0,0)， B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)，因此空间坐标分别是 A(0,0,0)，B(4,0,0)， C(4,3,0)，D(0,3,0)． A′，B′，C′，D′同在一个垂直于 z 轴的平面内，这个平 面与 z 轴的交点 A′在 z 轴上的代表数是 5，故这四点的竖坐 标都是 5.这四点在 xOy 平面上的射影分别是 A，B，C，D，故 A′，B′，C′，D′的 x，y 坐标分别与 A，B，C，D 相同， 由此可知，它们的空间坐标分别是 A′(0,0,5)，B′(4,0,5)， C′(4,3,5)，D′(0,3,5)． (2)N 是线段 CC′的中点，CN＝2.5，因此 N 的竖坐标为 2.5， C 在 xOy 平面内的平面坐标为(4,3)，故 N 的空间坐标为 (4,3,2.5)．
0－42＋y－02＋0－22＝ 2 0－12＋y－02＋0＋12， ∴20＋y2＝4(2＋y2)，∴3y2＝12，即 y＝±2.
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2．(2014·沈阳高一检测)已知 A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则 35
AB 的最小值为___5_____．
解析：由两点间的距离公式可得
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2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)． (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标． 解：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴 、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1 (－2，－1，－4)．
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(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变， 在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)． (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点 坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12. 所以P3(6，－3，－12)．
数学苏教必修空间直角坐标系空间两点间的距离课件张
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学习导航
第2章 平面解析几何初步
1.了解空间直角坐标系的有关概念．
学习 目标
2.理解空间任意一点的坐标的意义，空间两点间距 离公式的推导方法．(重点) 3.掌握空间任意一点的坐标表示方法，空间两点间
的距离公式及简单应用．(难点)
学法 指导
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[解] 因为平面 ABCD⊥平面 ABEF，且交线为 AB，BE⊥AB， 所以 BE⊥平面 ABCD，所以 BA，BC，BE 两两垂直．取 B 为坐标原点，BA，BE，BC 所在直线分别为 x 轴、y 轴和 z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．
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因为 BC＝1，CM＝a，点 M 在坐标平面 zBx 上且在正方形 ABCD 的对角线上，所以点 M( 22a,0,1－ 22a)． 因为点 N 在坐标平面 xBy 上且在正方形 ABEF 的对角线上， BN＝a，所以点 N( 22a， 22a,0)． (1)由空间两点间的距离公式，得 MN＝