基础物理实验研究性实验报告

多光束干涉与法布里—珀罗干涉仪
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摘要
一、引言 1
二、实验目的 1
三、实验原理 1
3.1多光束干涉原理 1
3.23多光束干涉条纹的光强分布 3
3.3 F-P 干涉仪的主要参数 5
四、实验仪器 6
五、实验内容 6
5.1操作内容 6
5.2操作提示 8
5.3操作注意事项 9
六、数据处理 11
6.1测定钠光的波长差 11
6.2验证常数=-+212i i D D 12
七、误差分析 15
八、实验感想 15
九、对本实验的一点讨论 17
参考文献
摘要
法布里-珀罗干涉仪（F-P 干涉仪）是一种具有很高的分辨本领
和测量精度的光学仪器，在光学研究中起着十分重要的作用。

本实验
通过采用由迈克尔逊干涉仪改装而来的F-P 干涉仪，完成测量钠光波
长差和验证常数=-+212i i D D 的实验。

通过本次实验，不仅掌握了F-P
干涉仪的操作技巧，规范了F-P 干涉仪的操作要求；同时通过对比迈
克尔逊干涉实验，提出利用计算机数值计算的方法模拟干涉条纹，以
探究薄膜反射率对于条纹细锐程度（波长分辨率）的影响。

关键词：F-P 干涉仪 计算机数值模拟 薄膜反射率 波长分辨率
一、引言
法布里—珀罗干涉仪（Fabry-Perot interferometer）简称F-P 干涉仪，是利用多光束干涉原理设计的一种干涉仪。

它的特点是能够获取十分细锐的干涉条纹，因此一直是长度计量和研究光谱超精细结构的有效工具；多光束干涉原理还在激光器和光学薄膜理论中有着重要的应用，是制作光学仪器中干涉滤光片和激光共振腔的基本构型。

因此本实验有着广泛的应用背景。

本实验使用的F-P干涉仪是由迈克尔逊干涉仪改装的。

通过实验，不仅可以学习、了解多光束干涉的基础知识和物理内容，熟悉诸如扩展光源的等倾角干涉、自由光谱范围、分辨本领等基本概念，而且可以巩固、深化精密光学仪器的调整和使用等诸多技能。

二、实验目的
1、了解F-P干涉仪的特点和调节；
2、用F-P干涉仪观察多光束等倾干涉并测定钠光双线的波长差和膜厚；
3、巩固一元线性回归方法在数据处理中的应用。

三、实验原理
1、多光束干涉原理
F-P干涉仪由两块平行的平面玻璃板或石英板组成，在其相对的
内表面上镀有平整度很好的高反射率膜层。

为消除两平板相背平面上
反射光的干扰，平行板的外表面有一个很小的楔角（见图1）。

图1. F-P 干涉仪 图2. 表面平行的介质层中 光的反射和折射
多光束干涉的原理如图2所示。

自扩展光源上任一点发出的一束
光，入射到高反射率的平面上后，光就在两者之间多次往返反射，最
后构成多束平行的透射光1、2、3、……和多束平行的反射光1’、2’、
3’、……。

在这两组光中，相邻光的位相差都相同，振幅则不断衰减。

位相
差由
λθ
πθλπ
λπδcos 4cos n 222nd d L
==∆= （1）
给出。

其中θcos 2⋅=∆nd L 是相邻光线的光程差；n 和d 分别为介
质层的折射率和厚度，θ为光在反射面上的入射角，λ为光波波长。

由光的干涉可知
=θcos 2nd λλ
)(21+k k ｛ 亮纹 暗纹
即透射光将在无穷远或透镜的焦平面上产生形状为同心圆的等倾干涉条纹。

2.多光束干涉条纹的光强分布
下面来讨论反射光和透射光的振幅。

设入射光振幅为A ，则反射光'1A 的振幅为'r A ，反射光'2A 的振幅为rt At '
，…；透射光1A 的振幅为t At '，透射光2A 的振幅为rrt At '，…。

式中，'
r 为光在n ’-n 界面上的振幅反射系数，r 为光在n-n ’界面上的振幅反射系数，'
t 为光从n ’进入n 界面的振幅透射系数，t 为光从n 进入n ’界面的振幅透射系数。

由光的干涉可知，透射光将在无穷远或透镜的焦平面上产生形状为同心圆的干涉条纹，属等倾干涉。

透射光在透镜焦平面上所产生的光强分布应为无穷系列光束⋯321A A A 、、的相干叠加。

可以证明透射光强最后可以写成： 2
sin )1(41220t δR R I I -+= （2） 式中，0I 为入射光强，2r R =为光强的反射率。

图3表示对不
同的R 值与位相差的关系。

由图可见，t I 的位置由δ决定，与R 无关；但透射光强度的极大值的锐度却与R 的关系密切，反射面的反射率R 越高，由透射光所得的干涉亮条纹就越细锐。

图3. 多光束干涉强度分布曲线 条纹的细锐程度可以通过所谓的半值宽度来描述。

由上式可知，亮纹中心的极大值满足，即。

令时，强度降为一半，这时应满足：
02sin 0
2=δ
即⋯==2,1,k 20k πδ。

令δπδδδd k d +=+=20时，强度降为一半，这时δ应满足：
22
2)1(sin 4R R -=δ 代入πδk 20=并考虑到δd 是一个约等于0的小量，22)2/(2/sin δδd ≈故有：
R R d R R )1(,)1()42
2
2d -=-=δδ（ δd 是一个用相位差来反映半值位置的量，为了用更直观的角度来反映谱线的宽窄，引入半角宽度θθ
d 2=∆。

由于δd 是一个小量,故可用微分代替,由（1）知θπδλθλθθπδsin 4,sin 4nd d d d nd d -=-=。

故略去负号不写（只考虑大小），并用θ∆代替θd 2，则有：
R R nd nd -⋅==∆1sin 2sin 2d θπλθπδλθ （3）
它表明反射率R 越高，条纹越细锐，间距d 越大，条纹也越细锐。

3、F —P 干涉仪的主要参数
表征多光束干涉装置的主要参数有两个，即代表仪器可以测量的最大波长差和最小波长差，它们分别被称为自由光谱范围和分辨本领。

①自由光谱范围
对一个间隔d 确定的F-P 干涉仪，可以测量的最大波长差是受到一定限制的。

对两组条纹的同一级亮纹而言，如果它们的相对位移大于或等于其中一组的条纹间隔，就会发生不同条纹间的相互交叉（重叠或错序），从而造成判断困难，我们把刚能保证不发生重序现象所对应的波长范围λ∆称为自由光谱范围。

它表示用给定标准具研究波长在附近的光谱结构时所能研究最大光谱范围。

可以证明：
nd 22λλ=
∆ （4）
②分辨本领 表征标准具特性的另一个重要的参量是它所能分辨的最小波长差δλ，就是说，当波长差小于这个值时，两组条纹不再能分辨开。

常称δλ为分辨极限，而把δλλ/称作分辨本领。

且可以证明： R
R -=1k πλδλ 而分辨本领可由下式表示，即：
R
R -=1k πδλλ （5） δλλ/表示在两个相邻干涉条纹之间能够被分辨的条纹的最大数
目。

因此分辨本领有时也称为标准局的精细常数。

它只依赖于反射膜的反射率，R 越大，能够分辨的条纹数越多，分辨率越高。

四、实验仪器
法布里-珀罗干涉仪（带望远镜）、钠灯（带电源）、He-Ne 激光器（带电源）、毛玻璃（画有十字线）、扩束镜、消色差透镜、读数显微镜、支架以及供选做实验用的滤色片（绿色）、低压汞灯等。

五、实验内容
1、操作内容
（1）以钠光灯扩展光源照明，严格调节F-P 两反射面、的平行度，获得并研究光束干涉的纳光等倾条纹；确定钠双线的波长差。

提示：利用多光束干涉可以清楚的把钠双线加以区分，因此可以通过两套条纹的相对关系来测定双线的波长差。

我们用条纹嵌套来作为测量的判据。

设双线的波长为1λ和2λ，且21λλ>.当空气层厚度为d
时，1λ的第1k 级亮条纹落在2λ的2k +1级亮条纹之间，则有（取空气的
相对折射率n=1）
2211)5.0(cos d 2λλθ+==k k （6）
当d d ∆+→d 时，又出现两套条纹嵌套的情况。

如这时
k k ∆+→11k ，由于21λλ>故15.05.0k 22+∆++→+k k ，于是又有
2211)15.0()(cos )(2λλθ+∆++=∆+=⋅∆+k k k k d d （7）
上述两式相减得
λλθ)1(cos d 21+∆=∆=∆k k
由此可得
k
d k ∆=-∆=∆2211,cos 21λλλθλ 故
d d ∆≈∆=-=∆-2cos 22
2
121λθλλλλλ (8)
（2）用读数显微镜测量氦氖激光干涉圆环的直径，验证=-+221i i D D 常数，并且测定P 1、P 2的间距。

第k 级亮纹条件为λθk nd k =⋅cos 2，所以nd k k 2/cos λθ=。

如
考虑1/2/<<f D k ，所以
由此可以得出，即
它说明相邻圆条纹直径的平方差是与 k 无关的常数。

由于条纹的确切序数k 一般无法知道，为此可以令k=i+k 0，i 是为测量方便规 定的条纹序号,于是
这样就可以通过i 与2i D 之间的线性关系，求得d f /42
λ；如果知
道λ、f 和d 三者中的任意两个，就可以求出另一个。

2、操作提示
（1）、F-P 干涉仪的调节
本实验用望远镜观察F-P 干涉仪的干涉条纹。

具体的干涉仪调节分为三步：
①粗调：按图7放置钠光源、毛玻璃（带十字线）；转动粗（细）动轮使P1P2≈1-2mm ；使P1、P2背面的方位螺钉（6个）和微调螺钉（2个）处于半松半紧的状态，保证它们有合适的松紧调节余量。

②细调：仔细调节P1、P2背面的6个方位螺钉，用眼睛观察透射光，使十字像重合，这时可以看到圆形的干涉条纹，这一步必须有足够的细心和耐心。

③微调：徐徐转动P2的拉簧钉进行微调，直到眼睛上下左右移动时，干涉环的中心没有条纹的吞吐，这是可以看到理想的等倾条纹。

图4. 钠双线测量和亮纹直径测量各仪器的位置（2）、测钠黄光的波长差
缓慢地旋转粗调手轮移动P1，记取与相邻的两条谱线（亮纹）中心重合时相应的位置，记下P1位置d1（注意记录精度）。

继续移动P1镜，找到下一个相邻的两条谱线（亮纹）中心重合时相应的位置，记下P1位置d2，继续移动P1，这样周期性的现象出现十次，记下10个表明d位置的数据。

（3）、用读数显微镜测量氦氖激光干涉圆环的直径D，验证，并测定、的间距
将钠灯改换为激光灯，加上扩束镜，望远镜换为显微镜，微调使视野中可以看到干涉圆环，移动显微镜的十字叉丝，分别记下叉丝在左边和右边的6-15级圆环时的刻线读数。

3、操作注意事项
○1F-P干涉仪是精密的光学仪器，必须按光学实验要求进行规范操作。

决不允许用手触摸元件的光学面，也不能对着仪器哈气、说话；不用的元件要安放好，防止碰伤、跌落；调解时动作要平稳缓慢，注意防振。

○2使用读数显微镜进行测量时，注意消空程和消视差。

○3试验完成后，膜片背后的方位螺钉应置于松弛状态。

实验数据经教师检查后，注意规整好仪器。

六、数据处理
（一）测定钠光波长差
1.原始数据列表
2.数据处理 由实验原理知：
02
2d i d
d i +∆=
λ
令λ
λ∆=≡≡2,2
b Y d X i i ，
则
由原始数据可知，
5.5=-
X
m mm 2-
106758717.2758717.26Y -⨯==
所以 m X X XY Y X b 42
21080994606.2--
-⨯=--=
又因为m nm 7
10893.53.589-⨯==λ
所以m b
102
1017938.62-⨯==
∆λλ
相关系数1999992519.0)
)((22
22
≈=---=Y Y X X Y X XY r
显示X 与Y 具有相当强的线性相关性 3.计算不确定度
b 的A 类不确定度：m r k b
b u a 7210842819.3)11
(21)(-⨯=--= b 的B 类不确定度：m m b u b 83
108867.23
1000005.0)(--⨯=⨯=
b 的合成不确定度：m b u b u b u b
a 7
2210853649.3)()()(-⨯=+= 则m b
b u u 13104746.8)
()(-⨯=⋅
∆=∆λλ 所以，最终的结果表述为：
m u 1010)008.0179.6()(-⨯±=∆±∆λλ
（二）验证常数=-+2
21i i D D ，测定P1.P2间距
1.原始数据列表
2.对原始数据初处理列表如下：
3采用一元线性回归法进一步处理实验数据（单位统一化为m ）
由nd
f b y D x i i nd f D i i
22
22
4,,,4λλ-=≡≡∆+-=则令 由2中计算所得的数据求得：
3
8
2
2410178721.210
006.45.1181092759729.15
.10---⨯=⨯==⨯==xy y x y x
则52
2
1087568.1-⨯=--=
x x xy y x b
所以
m b
f d 3210036339.34-⨯==λ
相关系数:1999836073.0)
)((2
22
2≈=---=
y y x x y x xy r
4.不确定度的计算
b 的A 类不确定度：m r
k b
b u a 72102008994.1)11
(21)(-⨯=--= b 的B 类不确定度：m m b u b
7
31088675.23
100005.0)(--⨯=⨯= b 的合成不确定度：m b u b u b u b
a 7
2210126577.3)()()(-⨯=+= 所以
m b
b u d d u 5
1006128.5)()(-⨯=⋅= 所以，最终的结果为：
m d u d 310)05.004.3()(-⨯±=±
由1→r 知i 与2i
D
之间为线性关系，所以常数=-+212i i D D 成立。

七、误差分析
1、实验过程中调出的两套钠光干涉条纹不稳定，使得嵌套的最佳位置难以把握。

常常记完一个嵌套位置后再转动一点微调手轮发现仍然像是最佳嵌套位置。

由此带来一定的误差。

2、F-P 干涉仪两反射面P1，P2的平行度不能实现理想的严格平行，所以产生误差；
3、仪器本身的制造误差，因长时间使用而被腐蚀而产生的误差；
4、实验观察到的条纹很细，尤其是距离较远的时候，很难确定均匀分布的位置，造成误差，所以本实验采用的是将d 缩小测量的方法；
5、由于观察时桌子的晃动而产生误差；
6、操作过程中对十字叉丝与圆环相切的位置判断不准确带来的误差。

八、实验感想
F-P 干涉仪是利用干涉原理测量光程之差从而测定有关物理量的光学仪器。

其用途十分广泛，主要有1、长度的精密测量；2、折射率的测定；3、波长的测量；4、检验光学元件的质量；5、用作高分辨率光谱仪等作用。

正是因为F-P 干涉仪的用途广泛、功能丰富、精度高，所以是科研工作中的一样非常重要的仪器。

在测量钠光的波长差实验中，严格按照老师的讲解进行操作，实验数据的测量比较顺利。

但是在用激光验证常数=-+2
12i i D D 的实验
中，我的实验现象视野比较模糊，分析原因可能在于我的自准直没有调好，重新调整之后，却依然只能在视野中观察到一半的圆环图像。

由此可见，自准直的调节是用激光验证常数=-+2
12
i i D D 实验的关键。

后期的实验数据处理采用电脑利用EXCEL 表格处理，过程明了，同时也让我加固了采用一元线性回归法处理数据的实验方法。

通过这次试验，我们掌握了F-P 干涉仪的使用，因而能够运用该仪器为今后的科学实验打下基础。

并且在此次试验中，我们进一步熟悉了一元线性回归法分析数据的方法，促进了我们处理数据、分析误差的能力。

九、对本实验的一点讨论
1.规范实验操作的重要性
本实验中所采用的法布里—珀罗干涉仪是由迈克尔逊干涉仪改装而来，作为一种精密德尔光学仪器，F-P干涉仪在测定钠黄光波长差的实验中实验现象很不稳定，容易因为受到外界的干扰而发生抖动现象。

所以，如果在实验过程中规范操作，掌握一定的操作技巧，不仅可以减少不必要的误差，也有助于我们快速调整出实验现象。

首先将实验仪器摆放到合适的位置（如上图4所示），目测调整“十”字、F-P干涉仪和望远镜大致在同一条直线上，随后将F-P干涉仪上的两个微调螺钉拧开约2~3螺纹，使其处于半松半紧的状态，如不进行此操作，可能出现钠灯的条纹已经调整清晰，但是圆环的中心过于偏离十字，此时如果在调整微调螺钉，一种情况是螺钉已经旋紧无法在调整，另一种情况是调整圆心出现在十字附近时发现条纹已经变得模糊了。

如此反复调节浪费时间，也不一定可以调出需要的实验现象。

反射面P1，P2平行度的调整是观察等倾干涉条纹的关键。

通过仔细调整P1，P2背面的6个方位螺钉，使十字像重合。

在此步骤中需要实验者距离P1，P2板稍远的距离进行观察，如果忽视这一点，距离P1，P2板较近，则观察调整的十字重合可能并不严格，导致在随后的测量中出现两个相邻较近的十字像，影响实验数据的测量，带来一定的读数误差。

同样在接下来观察条纹吞吐中，也应该远距离观
察，以确保严格的理想的等倾干涉。

调整条纹吞吐时，有一定的规律可循，比如：从左往右看，若条纹外扩，则应逆时针转动水平位置的拉簧，反之则顺时针转动拉簧；从下往上看，若条纹外扩，则应逆时针转动竖直方向的拉簧，反之则顺时针转动拉簧。

没有掌握规律，反复顺逆转动拉簧，会导致长时间调不出实验现象。

由于测量过程中仪器本身存在一定的空程误差，所以在实验开始之间还应当先对照读数调零，调节过程中应避免空程误差。

图5. F-P干涉仪
2.采用计算机数值方法模拟干涉条纹探究薄膜反射率对波长分辨率的影响
与双光束干涉相比，多光束干涉将使干涉条纹细锐化，最典型的例子就是多光束法布里－珀罗干涉实验与双光束等倾干涉实验（如迈
克耳逊等倾干涉）的比较。

但是，由于这两个实验的干涉条纹均较小，若采用计算机数值计算的方法便可分别模拟多光束与双光束等倾干涉实验的光强分布，因而就可以分析在多光束法布里－珀罗干涉实验中，薄膜反射率对波长分辨率的影响。

对于迈克尔逊等倾干涉实验，两束光的光程差为：
i nh L cos 2=∆ （1）
因此，两束光的相位差为：
λπλπ
δi
nh L cos 42=∆= （2）
其中，折射率n=1，h 为空气膜的厚度，λ为光波的波长，i 为光的倾角。

在迈克尔逊干涉仪中，由于两束反射光等强度，因此干涉光强为： )2/(cos 20δI I = （3）
若在透镜后焦面上建立xy 平面坐标，并选取坐标原点在透镜光轴上，透镜焦距为f ，则任意一点对应的光倾角为：
)arctan(2
2f
y x i += （4） 因此可以根据（2）（3）（4）式计算透镜后焦面上任意一点的相对光强值。

对于法布里-珀罗干涉实验，其光强值为：
2
20)1()2/(sin 41R R I I T -+=δ (5) 其中，R 为两玻璃片内表面的光强反射率；δ为相邻两透射光的相位差，其计算公式同（2）。

因此，我们也可以根据（2）（4）（5）
计算出F-P干涉中透镜后焦面上任意一点的相对光强值。

通过将透镜后焦面划分为500 500个小格，采用计算机计算出每一小格上的相对光强，采用对应的灰度作图，则理论上可以模拟出迈克尔逊干涉与法布里-珀罗干涉的实验现象。

图6,7分别为查阅文献了解到的计算机模拟出的实验图像。

图6. 双光束干涉条纹图7. 多光束干涉条纹（R=0.7）由此可见，采用计算机模拟出的实验现象与实际实验过程中观察到的实验现象非常接近，体现出法布里-珀罗干涉条纹比迈克尔逊干涉条纹更加细锐，也因此可以采用法布里-珀罗干涉可以求得钠光的微小波长差。

由于法布里－珀罗多光束干涉形成的条纹非常细锐，因此在光谱学中常应用于测量非常微小的波长差。

查阅文献资料了解到光强的反射率对于实验图像存在一定的影响。

在本次实验中，采用的P1，P2板的反射膜的不是很高，R约为0.8.通过观察R取不同的值时实验中观察到的圆环条纹的粗细，可以为我们提高波长分辨本领提供一个参考的途径。

图8 F-P干涉（R=0.7）图9. F-P干涉（R=0.4）
图8、图9分别为光强反射率Ｒ取0.7、0.4时，入射两波长的光所形成的干涉图样。

可以看出，Ｒ＝0.7时两波长的干涉条纹可以较清晰地分辨开，而Ｒ＝0.4时，由于干涉条纹变粗，使两波长无法分辨。

因此在实际的法布里－珀罗干涉光谱学测量中，光强反射率Ｒ通常取较大值，以提高波长分辨本领。

参考文献：
[1].基础物理实验(修订版).李朝荣,徐平,唐芳,王慕冰编著,北京航空航天大学出版社,2010.9
[2].祁胜文,张春平等.多光束点光源的研究.南开大学学报.2002年12月第35卷第4期
[3].喻力华，刘书龙等.多光束法布里-珀罗干涉实验的计算机模拟.大学物理实验.2014年2月第27卷第1期
[4].刘建朔，贺银根.法布里-珀罗干涉仪实验操作技巧及应用.机械工程师.2015年第11期
[5].李磊，芦立娟.法布里-珀罗干涉仪的调节研究与应用.大学物理实验.2014年2月第27卷第1期
附实验原始数据：。