行列式计算方法小结.精选PPT

xn 1 D a 0 ( 1 ) n 1 ( 1 ) n 1
xn D 1a0
由此得递推公式：
x 1 0 0 x0
D nxn D 1a0
Dn1 0
0x
因此有：
a1 a2 an2
D n x n 1 D a 0 x ( x n 2 D a 1 ) a 0
0 0
1 x an1
于 D n 是 x n x n 1 a n 1 得 x n 2 a n 2 ： x 1 a 0 a
解法2：从最后一列开始每列乘以x加到前一列，再按第一列展开。
例2
2 1 0
1 2 1
0 1 2
Dn 0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 0 0 0
0 2 1 0 0
0 1 2 0 0
1
1
1
1
0
Vn 0
x2x1
x2(x2x1)
x3x1
x3(x3x1)
xnx1
xn(xnx1)
0 x2n2(x2x1) x3n2(x3x1) xnn2(xnx1)
按第1列展开
x2x1
x2(x2x1)
x3x1
x3(x3x1)
xnx1
xn(xnx1)
x2 n2(x2x1) x3 n2(x3x1) xn n2(xnx1)
n(n1) a 2
因为:
对于任何两个数码 i , i jk
,在一排列中要么构
成逆序,要么不构成逆序.
0
a2 0 0
0
0
0
0 an
(a0i n1acii bi)a1an
如:练习册P.2 6(2)题
2. 除对角线以外各行元素对应相同,可化成三角形行 列式或箭形行列式
可化箭形行列式
例 x1b x2 x3
x4 (1)
x1 x2 a x3 x4
x1 x2 x3 a x4
x1 x2
x3 x4 a
x1 x2 x3 x4
1列(行)“1”的巧妙利用 如：P.39 22题, 25(3)题
5 范德蒙(Vandermonde)行列式（重要结果）
1
1 1 x1
x2
11
x n1
11
x1 1 x2x 2
Vn V xT 12 1 x22x
n
x1n1
3 x2n1
1x
n
xx 2 32
xx32 2 3
x3n1
x2 n
xx n1 n2
非零元素很少的行列式，可直接用定义或降阶法。
a 程序化明显，对阶数较低的数字行列式和一些较特殊的
例 为何值时,D=0?
37 13(4) ，P.
000 a b
000 0a
(1)n1b a
0
n-1阶
b 0 0
0a b
n-1阶
an(1)n1bn
4. 各行(列)总和相等的行列式 (赶鸭子法)
例 计算行列式(P.18 a 换为y)
0 [x(n1)y]
x y
0
0
[x (n 1 )y ] 1 (x y )n 1 0 0 0 x y
[x (n 1 )y ]x (y)n 1
*或 －y 乘第1列加到后面各列：
1 1
0 xy
0 0
0 0
[x(n1)y]
1 0 0 xy
例如 (P.37 13(4) ，P.38 17(3), 21, P.39 25(2)题
a b0 00
例 P.41 33题
0 a b 0 0 n阶
将第1行的(-1)倍分别加到第2行，第3行，.
D 化三角形行列式或降成二阶
解法2：从最后一列开始每列乘以x加到前一列，再按第一列展开。 化三角形行列式法
按第一列展开
0 0 0 a b 字母行列式适用。
利用高中有关数列的知识，求出行列式 。
(xi xj)
1jin
综上所述，结论成立 (n2)。
附录3. 加边法（升阶）
要点：将行列式加一行一列，利用所加的一行 （列）元素 ，将行列式化成三角形行列式。
例 用加边法计算
还可用赶鸭子法！
x1 m
Dn
x1
x1
1
x2 xn
0
x2 m xn 0
x2 xn m 0
x1 x1 m
x1
x3n1 xnn1
(xi xj)
1jin
(n2).
( x 2 x 1 ) x 3 ( x 1 ) x 4 ( x 1 ) ( x n 1 x 1 ) x n ( x 1 ) ( x 3 x 2 ) x 4 ( x 2 ) ( x n 1 x 2 ) x n ( x 2 ) ( x 4 x 3 ) ( x n 1 x 3 )x n ( x 3 )
05 04
(1).
7 D
4
8
9
02 0 1
4 16 5 15
a2 ab b2
(2). D 2a a b 2b
111
1 x x2 x3 x3 1 x x2 (3). D x2 x3 1 x x x2 x3 1
3. 计算行列式
设m阶行列式|A|=a, n阶行列式|B|=b,
a11 a1m
C b11
1. “箭形”行列式 化成三角形行列式
例
a0 b1 b2 bn1 bn c1 a1 0 0 0
Dn1c2 0 a2 0 0 (ai 0,i1,2,,n)
c 0 设m阶行列式|A|=a, n阶行列式|B|=b,
各行(列)总和相等的行列式 *5、数学归纳法 (见附录2)
(赶鸭n子法)
0
0 an
方法：按此行（列）展开，可能n会导出递推公式。
按第一行展开好，还是按第一列展开好？
综上所述，结论成立
。
解法二:用赶鸭子法,提公因子
b00 0a
a b 0 0 0 b 0 0 0 *5、数学归纳法 (见附录2)
(1) 若m=0，则 某行（列）至多有两个非零元素的行列式，可用降 阶法或定义或递推公式法或归纳法
0 a b 0 0 化三角形行列式法
又因为
21
D2 1
3 2
故 DnDn11
则 Dnn1.
递推公式法的 步骤：
D1 2 2
1. 降阶，得到递推公式；
2. 利用高中有关数列的知识，求出行列式
D
。
n
附录2、数学归纳法
例 证明范德蒙(Vandermonde)行列式
1
1
11
x1 Vn x12
x1n1
x2 x22
x2n1
x3 xn x32 xn2
b1 n
am1
a mm
0
A ,
则C
B0
bn1 bnn
*4. 计算行列式
x2 x1 x2 x3
设
2x2 f(x)
2x1
2x2
2x3 ,
3x3 3x2 4x5 3x5
4x 4x3 5x7 4x3
求方f程 (x)0的根的个数。
综合练习题解答
1 .已知 i1 i2 in 的 排逆 列 a ,则 in 序 in 1 i1 的 数 逆 为 __
xx 2 n n1 3
xnn1
x n1
(xi xj)
1jin
(n2).
n
( x 2 x 1 ) x 3 ( x 1 ) x 4 ( x 1 ) ( x n 1 x 1 ) x n ( x 1 ) ( x 3 x 2 ) x 4 ( x 2 ) ( x n 1 x 2 ) x n ( x 2 ) ( x 4 x 3 ) ( x n 1 x 3 )x n ( x 3 )
2 3 2
(1)1 8 2 (1)(3)2
021
即 ＝ 1 或 得 ＝ 3 时 D 0 .
*附录1. 递推公式法 特征：某行（列）至多有两个非零元素。 方法：按此行（列）展开，可能会导出递推公式。
形 1 ） 式 D n ： p （ n 1 D q
形 2 ） 式 D n p ： n （ 1 D q n 2 D
n阶 n1阶 2阶
此法灵活多变，易于操作，是最常用的手法。
*4. 递推公式法 (见附录1) *5、数学归纳法 (见附录2)
*6. 加边法（升阶）(见附录3)
二、特征
. 阶数不算高的数字行列式，可化为三角形行 列式或结合展开定理计算.
. 非零元素很少的行列式，可直接用定义或降阶法。
一些特殊行列式的计算（包括一些重要结果）
(2) 若m0，“箭形”行列式
将 D n 中 2 列 第 3 列 、 、 、 n 1 列
都 1后 乘加 以 1 列 到 m
1 n xi
i1 m
x1
x2 xn
0
m 0 0
Dn
0
0 m 0
0
0 0 m
n
(m)n(1
xi )
i1 m
n
(1)nmn1(m xi)
i1
综合练习题
1 .已知 i1 i2 in 的 排逆 列 a ,则 in 序 in 1 i1 的 数 逆 为 __ 2. 用多种方法计算下列行列式
a ac b b b 例 行用因列多为式 种 : 的方a对c为ii计法于何算计任值li方算何时1法下两,D小列个=l01结行数? 列码0式
i
i1
2
i1 i
,在一排列中要么构成逆序,要么不构成逆序.
0 a 0 化三角形行列式或降成二阶
用多种方法计算下列行列式
1
bn1 bn 00
0 “箭形”行列式 化成三角形行列式
1
1 1
( x 2 x 1 )x 3 ( x 1 ) ( x n x 1 )xx
2
2 2
x3 xn
x
2 3
x
2 n
根据归纳假设有：
x
n 2
2
x
n 3
2
x
n n
2
n1阶
V n ( x 2 x 1 )x 3 ( x 1 ) ( x n x 1 ) (xi xj ) 2 jin
(x n 1 x n 2)x (n x n 2)
(xnxn1)
6. 部分对角线上含参数的行列式
将一不含λ的非零元化成零，某行可能会 出现公因子，提公因子，可降次。
例 为何值时,D=0?
2 3 2
2 3 2
D 1 8 2 2r2 r3 1 8 2
2 14 3
0 2 2 1
0 a 0
0
a3x1
0 0 a 0
0 0 0 a
另
1
1 D x
11
x2 x3
x a x
2
3
x x a
2
3
x4 x
4
x 4
xl l 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i1
i
i 2,3,4
1 x
11
0 a
0
0 0 a
0 0 0
1 x x x a
2
3
4
1 0 0 a
如 P.20 例8
3. 某行（列）至多有两个非零元素的行列式，可 用降 阶法或定义或递推公式法或归纳法
阶范德蒙行列式结论也下证对n倍则行的行开始逐行减去上一中从第在倍则行的行开始逐行减去上一中从第在1xnvn111100011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxvnnnnnnnnn???????????????????????????????????按第1列展开1213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn?????????????????????????????????11312xxxxxxn????????2232232111nnxxxxxx???22322??????nnnnxxx?????根据归纳假设有
x2D n 2x1a a 0 x 2 x n 3 D a 2 x 1 a a 0
x 3 D n 3 x 2 a 2 x 1 a a 0
x n 2 D 2 x n 3 a n 3 x 1 a a 0 D2=?
而 D 2a x n 2 x 1 a n 1 x 2 xn 1 a a n 2
x1
x2 x2 x2 m
x2
xn xn xn
xn m
n+1阶
将第1行的(-1)倍分别加到第2行，第3行，...，第n+1行得：
1 x1 x2 xn 1 m 0 0
Dn 1 0
m 0
n+1阶
1 0 0 m
(1) 若m=0，则
Dn x01， ，nn11 从加边前的Dn 得出
(x n 1 x n 2)x (n x n 2)
(xnxn1)
证明(数学归纳法)
1.
11 当n2时 ，x有 1 x 2
x2x1
，结论成立。
2. 假 设 对 n于 1阶 范 德 蒙 行 列立 式。 结 论
下 证 对 n阶 范 德 蒙 行 列 式 结 成论 立也 。
在Vn中从n行 第开始，逐行 行减 的 x1倍 去， 上则 一
2D n1 0 0 0 2 1
0 0 0 1 2
0 0 0 0 1
000
000
000 210
按第一行展开
121
012
0
0
0 按第一列展开
2D n1D n2
0
1
2
由此可得递推公式：
D n2D n 1D n 2
技巧！
因此有 D n D n 1 D n 1 D n 2 D2 D1
行列式计算方法小结
行列式计算方法小结
行列式的计算方法小结
可从计算方法和行列式特征两个角度总结。
一.方法
1. 直接用定义（非零元素很少时可用） 2. 化三角形行列式法
此法特点： (1) 程序化明显，对阶数较低的数字行列式和一些较特殊的
(2) 字母行列式适用。 (2) 灵活性差，死板。
3.降阶法
利用性质，将某行(列)的元尽可能化为0，然后按行(列)展开.
例1
x 1 0 0 0
0 x 1 0 0
Dn
0 0 0 x 1
按第一行展开好，还 是按第一列展开好？
a0 a1 a2 an2 x an1
n-1阶
x 1 0 0
0 x0 0
1 0 0 0
按第一列展开 x 0
0 x
1
a0(1)n1
x
1 0
0
a1 a2 an2 x an1
0 0 x 1
x y y y
y Dn
x
y
y
li l1 (i 2 ,3 , ,n )
y y yx
x (n1) y y y y
x (n1) y x y y
x (n1) y y y x
1 y yy
1 x yy [x(n1)y]
*
1 y yx
1 y y y
r1ri(i2,3,..n.),