人教版勾股定理单元 易错题难题综合模拟测评学能测试试题

人教版勾股定理单元 易错题难题综合模拟测评学能测试试题
一、选择题
1．如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 离点C5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）cm ．
A ．25
B ．20
C ．24
D ．105 2．如图，已知ABC 中，10,86,AB AC BC AB ===,的垂直平分线分别交,AC AB 于,,D
E 连接BD ，则CD 的长为（ ）
A ．1
B ．54
C ．74
D ．254
3．如图，已知45∠=MON ，点A B 、在边ON 上，3OA =，点C 是边OM 上一个动点，若ABC ∆周长的最小值是6，则AB 的长是（ ）
A ．12
B ．34
C ．56
D ．1
4．若△ABC 中，AB=AC=25BC=4，则△ABC 的面积为（ ）
A ．4
B ．8
C ．16
D 5 5．已知,,a b c 是ABC ∆的三边，且满足222()()0a b a b c ---=，则ABC ∆是（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
6．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB 1700=米，800BC =米，AC 1500=米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ）
A ．A
B 的中点
B ．B
C 的中点 C ．AC 的中点
D ．C ∠的平分线与AB 的交点
7．如图，在△ABC 中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC 边上的高AD 为（ ）
A ．8
B ．9
C ．245
D ．10
8．下列说法不能得到直角三角形的（ ）
A ．三个角度之比为 1：2：3 的三角形
B ．三个边长之比为 3：4：5 的三角形
C ．三个边长之比为 8：16：17 的三角形
D ．三个角度之比为 1：1：2 的三角形
9．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C 到AB 的距离是（ ）
A ．34
B ．35
C ．45
D ．125
10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值是（ ）
A ．245
B ．5
C ．6
D ．8
二、填空题
11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S 1+S 2+S 3=10，则S2的值是_________．
12．若ABC ∆为直角三角形，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，点D 在斜边AC 上，且2AC BD =，则AD 的长为__________．
13．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC 边上的高AD ＝4，则△ABC 的周长为__________.
14．以直角三角形的三边为边向外作正方形P ，Q ，K ，若S P =4，S Q =9，则K S =___
15．如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ，已知12310S S S ++=,则2S 的值是____.
16．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BCA ＝30°，点D 在BC 上，点E 在△ABC 外，且AD ＝AE ＝CE ，AD ⊥AE ，则AB BD
的值为____________．
17．如图，BAC 90∠=度，AB AC =，AE AD ⊥，且AE AD =，AF 平分DAE ∠交BC 于F ，若BD 6=，CF 8=，则线段AD 的长为______．
18．如图所示，圆柱体底面圆的半径是2π
，高为1，若一只小虫从A 点出发沿着圆柱体的外侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是______
19．已知,在△ABC 中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC 翻折使得点B 与点A 重合,折痕与边AC 交于点P ,如果AP=4,那么AC 的长为_______
20．已知：如图，等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1，以AB 边上的高1OA 为直角边，按逆时针方向作等腰11Rt OA B ∆，11A B 与OB 相交于点2A ，若再以2OA 为直角边按逆时针方向作等腰22Rt OA B ∆，22A B 与1OB 相交于点3A ，按此作法进行下去，得到33OA B ∆，44OA B ∆，…，则66OA B ∆的周长是______.
三、解答题
21．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，其中AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ． （1）如图①，连接BE 、CD ，求证：BE ＝CD ；
（2）如图②，连接BE 、CD ，若∠BAC ＝∠DAE ＝60°，CD ⊥AE ，AD ＝3，CD ＝4，求BD 的长；
（3）如图③，若∠BAC ＝∠DAE ＝90°，且C 点恰好落在DE 上，试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系，并加以说明．
22．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．
（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC
（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）
23．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-
（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．
（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．
（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．
24．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .
25．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在
ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==E 、P 、D 三点共线时，7BP =
下列结论：
①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 5
②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+=
=532ABD S ∆+③； ④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为5+232-；
⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．
其中正确结论的序号是___．
26．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.
(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =ABD ∆的面积.
(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.
27．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E .
（1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；
（2）设,BC m AC n ==
①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由.
②若线段2AD EC =，求m n
的值.
28．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.
(1)求证: AD=BE.
(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.
(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).
29．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .
（1）求点A 的坐标；
（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；
（3）直接写出ADG ∆的周长.
30．2ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .
（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .
①求证：BE EF =;
②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB ；把右侧面展开到正面上，连结AB ，；把向上的面展开到正面上，连结AB ；然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB ，再进行大小比较．
【详解】
把左侧面展开到水平面上，连结AB ，如图1
()2210205925537AB =++==
把右侧面展开到正面上，连结AB ，如图2
()()22
2010562525AB =++== 把向上的面展开到正面上，连结AB ，如图3
()()22
10205725529AB =++==925725625>>∴53752925>>
∴需要爬行的最短距离为25cm
故选：A ．
【点睛】
本题考查了平面展开及其最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
2．C
解析：C
【分析】
先根据勾股定理的逆定理证明△ABC 是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD ，由此根据勾股定理求出CD.
【详解】
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴2222228610AC BC AB +=+==,
∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，
∵DE 垂直平分AB ，
∴AD=BD ，
在Rt △BCD 中，222BD BC CD =+ ,
∴222(8)6CD CD -=+,
解得CD=74
， 故选：C. 【点睛】
此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC 是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解.
3．D
解析：D
【分析】
作点A 关于OM 的对称点E ，AE 交OM 于点D ，连接BE 、OE ，BE 交OM 于点C ，此时△ABC 周长最小，根据题意及作图可得出△OAD 是等腰直角三角形，OA=OE=3，，所以∠OAE=∠OEA=45°，从而证明△BOE 是直角三角形，然后设AB=x ，则OB=3+x ，根据周长最小值可表示出BE=6－x ，最后在Rt △OBE 中，利用勾股定理建立方程求解即可.
【详解】
解：作点A 关于OM 的对称点E ，AE 交OM 于点D ，连接BE 、OE ，BE 交OM 于点C ， 此时△ABC 周长最小，最小值=AB+AC+BC=AB+EC+BC=AB+BE ，
∵△ABC 周长的最小值是6，
∴AB+BE=6，
∵∠MON=45°，AD ⊥OM ，
∴△OAD 是等腰直角三角形，∠OAD=45°，
由作图可知OM 垂直平分AE ，
∴OA=OE=3，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴∠AOE=90°，
∴△BOE 是直角三角形，
设AB=x ，则OB=3+x ，BE=6－x ，
在Rt △OBE 中，()()22
23+3+6x x =-，
解得：x=1，
∴AB=1.
故选D.
【点睛】
本题考查了利用轴对称求最值，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握作图技巧，正确利用勾股定理建立出方程是解题的关键.
4．B
解析：B
【分析】
作AD⊥BC，则D为BC的中点，即BD=DC=2，根据勾股定理可以求得AD，则根据
S=1
2
×BC×AD可以求得△ABC的面积．
【详解】
解：作AD⊥BC，则D为BC的中点，
则BD=DC=2，
∵AB=2522
AB BD
，
∴△ABC的面积为S=1
2
×BC×AD=
1
2
×4×4=8，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，三角形面积的计算，本题中正确的运用勾股定理求AD是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
由（a-b）（a2-b2-c2）=0，可得：a-b=0，或a2-b2-c2=0，进而可得a=b或a2=b2+c2，进而判断△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
【详解】
解：∵（a-b）（a2-b2-c2）=0，
∴a-b=0，或a2-b2-c2=0，
即a=b或a2=b2+c2，
∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理以及等腰三角形的判定，解题时注意：有两边相等的三角形是等腰三角形，满足a2+b2=c2的三角形是直角三角形．
6．A
解析：A
【分析】
先计算AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P点的位置．
【详解】
解：如图
∵AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴活动中心P应在斜边AB的中点．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC是直角三角形．
7．C
解析：C
【分析】
本题根据所给的条件得知，△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可求出BC边上的高.
【详解】
∵AB＝8，BC＝10，AC＝6，
∴62＋82＝102，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
则由面积公式可知，S△ABC＝1
2
AB⋅AC＝
1
2
BC⋅AD，
∴AD＝24
5
.故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，需要先证得三角形为直角三角形，再利用三角形的面积公式求得AD的值.
8．C
解析：C
【分析】
三角形内角和180°，根据比例判断A、D选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B、C选项中边长是否符合直角三角形的关系.
【详解】
A 中，三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形； D 中，三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；
B 中，三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x 、4x 、5x ，满足：()()()222
345x x x +=，是直角三角形；
C 中，三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x 、16x 、17x ，()()()22281617x x x +≠，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形
故选：C
【点睛】
本题考查直角三角形的判定，常见方法有2种；
（1）有一个角是直角的三角形；
（2）三边长满足勾股定理逆定理. 9．D
解析：D
【解析】
在Rt △ABC 中 ∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB=5，设点C 到AB 的距离为h ，即可得12h×AB=12AC×BC ，即12h×5=12×3×4，解得h=125
，故选D. 10．A
解析：A
【分析】
过C 作CM ⊥AB 于M ，交AD 于P ，过P 作PQ ⊥AC 于Q ，由角平分线的性质得出PQ=PM ，这时PC+PQ 有最小值，为CM 的长，然后利用勾股定理和等面积法求得CM 的长即可解答．
【详解】
过C 作CM ⊥AB 于M ，交AD 于P ，过P 作PQ ⊥AC 于Q ，
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴PQ=PM ，则PC+PQ=PC+PM=CM ，即PC+PQ 有最小值，为CM 的长，
∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴由勾股定理得：AB=10， 又1122ABC S AB CM AC BC =
=△， ∴6824105
CM ⨯==， ∴PC+PQ 的最小值为
245， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、最短路径问题、勾股定理、三角形等面积法求高，解答的关键是掌握线段和最短类问题的解决方法：一般是运用轴对称变换将直线同侧的点转化为异侧的点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短或垂线段最短，使两条线段之和转化为一条直线来解决．
二、填空题
11．103． 【解析】 试题解析：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， ∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=10， ∴得出S 1=8y+x ，S 2=4y+x ，S 3=x ，
∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=10，故3x+12y=10，
x+4y=103
， 所以S 2=x+4y=
103． 考点：勾股定理的证明．
12．5
【分析】
在直角ABC 中，依据勾股定理求出AC 的长度，再算出BD ，过点B 作BE AC ⊥于点E ，通过等面积法求出BE ，得到两个直角三角形，分别运用勾股定理算出AE ED 、，两者相加即为AD 的长.
【详解】
解：如图，过点B 作BE AC ⊥于点E ，则90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒,
∵直角ABC 中，90B ∠=︒，6AB =，8BC =， ∴22=10AC AB BC +=, 又∵2ABC S AB BC AC BE =⋅=⋅，2AC BD =
∴6810BE ⨯=，5BD =,
∴=4.8BE ,
∵90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒
∴22= 3.6AE AB BE -=,22= 1.4ED BD BE -=,
∴5AD AE ED =+=.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查了勾股定理，通过作直角三角形斜边上的高，既构造了两个直角三角形求位置线段，又通过等面积法求出了一条直角边的长度，为运用勾股定理求线段创造了条件；故在求线段长时，可以考虑构造直角三角形.
13．1425+或825+
【分析】
分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出BD 与DC 的长，由BD+DC 求出BC 的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，同理由BD -CD 求出BC 的长，即可求出周长．
【详解】
解：分两种情况考虑：
如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，
在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=
22226425AB AD -=-=， 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：CD=
2222543AC AD -=-=，
∴BC=253+， ∴△ABC 的周长为：652531425+++=+；
如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，
在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=22226425AB AD -=-=， 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：CD=
2222543AC AD -=-=，
∴BC=253-， ∴△ABC 的周长为：65253825++-=+；
综合上述，△ABC 的周长为：1425+或825+；
故答案为：1425+或825+.
【点睛】
此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 14．5或13
【分析】
根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得S P +S Q =S K 为从而易求S K ．
【详解】
解：如下图所示，
若A=S P =4．B=S Q =9，C=S K ，
根据勾股定理，可得
A+B=C ，
∴C=13．
若A=S P =4．C=S Q =9，B=S K ，
根据勾股定理，可得
A+B=C ，
∴B=9-4=5．
∴S K 为5或13．
故答案为：5或13．
【点睛】
本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．
15．
103
. 【分析】 根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG=NG ，
CF=DG=NF ，再根据()21S CG DG =+，22S GF =，()2
3S NG NF =-，12310S S S ++=，即可得出答案.
【详解】
∵八个直三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形
∴CG=NG ，CF=DG=NF
∴()2
222122S CG DG CG DG CG DG GF CG DG =+=++=+ 22S GF =
()2
2232S NG NF NG NF NG NF =-=+-
∴2222212322310S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ++=+⋅+++-⋅== ∴2103GF =
故2103
S = 故答案为
103
. 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质.
16【解析】
【分析】
过A 点作BC 的垂线，E 点作AC 的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出∠DAM=15°，在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30°，设DM=a,通过勾股定理可得到
DG=AG=2a ，2)a ，1)a ，1)a ,代入计算即可.
【详解】
过A 点作AM ⊥BC 于M 点，过E 点EN ⊥AC 于N 点.
∵∠BCA ＝30°，AE=EC
∴AM=
12AC ，AN=12
AC ∴AM=AN
又∵AD=AE
∴R t∆ADM ≅ R t∆AEN (HL)
∴∠DAM=∠EAN 又∵∠MAC=60°，AD ⊥AE
∴∠DAM=∠EAN=15°
在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30°
设DM=a,则 DG=AG=2a ，
根据勾股定理得：
∵∠ABC ＝45°
∴
AM=BM=(32)a + ∴BD=(3
1)a +，AB=2(32)a +, ∴()()62262231a AB BD a
++==+ 故答案为：
622+
【点睛】
本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角，本题有较大难度.
17．65
【分析】
由“SAS”可证ABD ≌ACE ，DAF ≌EAF 可得BD CE =，4B ∠∠=，DF EF =，由勾股定理可求EF 的长，即可求BC 的长，由勾股定理可求AD 的长．
【详解】
解：如图，连接EF ，过点A 作AG BC ⊥于点G ，
AE AD ⊥，
DAE DAC 290∠∠∠∴=+=，
又
BAC DAC 190∠∠∠=+=，
12∠∠∴=，
在ABD 和ACE 中 12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
ABD ∴≌()ACE SAS ．
BD CE ∴=，4B ∠∠=
BAC 90∠=，AB AC =，
∴B 345∠∠==
4B 45∠∠∴==，
ECF 3490∠∠∠∴=+=，
222CE CF EF ∴+=，
222BD FC EF ∴+=， AF 平分DAE ∠，
DAF EAF ∠∠∴=，
在DAF 和EAF 中
AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DAF ∴≌()EAF SAS ．
DF EF ∴=．
222BD FC DF ∴+=．
22222DF BD FC 68100∴=+=+=，
∴DF 10=
BC BD DF FC 610824∴=++=++=，
AB AC =，AG BC ⊥， 1BG AG BC 122
∴===， DG BG BD 1266∴=-=-=，
∴22AD AG DG 65=+=
故答案为65
【点睛】
考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
18．5
【分析】
先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．
【详解】
圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C 是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．
∵AB=π•2π=2，CB=1． ∴AC= 22AB ＋BC = 222=5＋1， 故答案为：5.
【点睛】
圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 19．522,322++
【分析】
过B 作BF ⊥CA 于F ，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到AC 的长．
【详解】
分两种情况：
①当∠C 为锐角时，如图所示，过B 作BF ⊥AC 于F ，
由折叠可得，折痕PE 垂直平分AB ，
∴AP=BP=4，
∴∠BPC=2∠A=45°，
∴△BFP 是等腰直角三角形，
∴BF=DF=22，
又∵BC=3，
∴Rt △BFC 中，CF=221BC BF -=，
∴AC=AP+PF+CF=5+22；
②当∠ACB 为钝角时，如图所示，过B 作BF ⊥AC 于F ，
同理可得，△BFP 是等腰直角三角形，
∴BF=FP=22
又∵BC=3，
∴Rt △BCF 中，221BC BF -=，
∴AC=AF-CF=3+22
故答案为：5+3+
【点睛】
本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
20．28
+ 【分析】
依次求出在Rt △OAB 中，OA 1＝2；在Rt △OA 1B 1中，OA 2＝2OA 1＝（2
）2；依此
类推：在Rt △OA 5B 5中，OA 6＝（
2）6，由此可求出△OA 6B 6的周长． 【详解】
∵等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1，
∴在Rt △OA 1B 1中OA 1OA ，
在22Rt OA B ∆中OA 2OA 1）2， …
故在Rt △OA 6B 6中OA 6＝2OA 5＝（2
）6= OB 6
66A B OB 6
故△OA 6B 6的周长是＝
8+2×（2）6=8+2×18=28+．
故答案为：
28
+ 【点睛】 本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）5；（3）CD 2+CE 2＝BC 2，证明见解析．
【分析】
（1）先判断出∠BAE=∠CAD ，进而得出△ACD ≌△ABE ，即可得出结论．
（2）先求出∠CDA=12
∠ADE=30°，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论． （3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD 2+CE 2=2（AP 2+CP 2），再
判断出CD2+CE2=2AC2．即可得出结论．
【详解】
解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE．
（2）如图2，连结BE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵CD⊥AE，
∴∠CDA＝1
2
∠ADE＝
1
2
×60°＝30°，
∵由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，
∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，
∴BD5．
（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：解法一：
如图3，连结BE．
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠D＝∠AED＝45°，
∵由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，
∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，
在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．
∴BC2＝CD2+CE2．
解法二：
如图4，过点A作AP⊥DE于点P．
∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，
∴AP＝EP＝DP．
∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，
CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，
∴CD2+CE2＝2AP2+2CP2＝2（AP2+CP2），
∵在Rt△APC中，由勾股定理可知：AC2＝AP2+CP2，
∴CD2+CE2＝2AC2．
∵△ABC为等腰直角三角形，由勾股定理可知：
∴AB2+AC2＝BC2，即2AC2＝BC2，
∴CD2+CE2＝BC2．
【点睛】
本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD，解（2）（3）的关键是判断出BE⊥DE，是一道中等难度的中考常考题．
22．（1）见解析；（2）CD2AD+BD，理由见解析；（3）CD3+BD
【分析】
（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；
（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE2AD，可得结论；
（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH＝
3
2
AD，由AD＝AE，
AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD3AD+BD，即可解决问题；【详解】
证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
（2）CD2AD+BD，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，
∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE＝2AD，
∵CD＝DE+CE，
∴CD＝2AD+BD；
（3）作AH⊥CD于H．
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，
∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，
∴AH＝1
2 AD，
∴DH22
AD AH
-3
，
∵AD＝AE，AH⊥DE，
∴DH＝HE，
∴CD＝DE+EC＝2DH+BD3+BD，
故答案为：CD3+BD．
【点睛】
本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.
23．(1)AC=9;(2)AB∇AC=-72,BA∇BC=73
【分析】
(1)在Rt AOC
∆中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;
(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2,OB=23再用新定义即可得出结论;
②先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定义即可得出结论;
(3)作BD⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD是直角三角形,根据中线性质得出OA的长度,根据勾股定理求出OC,从
而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.
【详解】
(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,
在Rt AOC ∆中,
AO 2-OC 2=AC 2
因为81AB AC ∇=
所以AO 2-OC 2=81
所以AC 2=81
所以AC=9.
(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,
在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,
在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB =2222126AB AO -=-=63,
∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =
12
AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE =
222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,
在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =()2222631267BE DE +=
+=
∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;
(3)作BD ⊥CD,
因为24ABC S ∆=,8AC =,
所以BD=26ABC S AC ∆÷=,
因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,
所以AO 2-OC 2=-64,
所以OC 2-AO 2=64,
由因为AC 2=82=64,
所以OC 2-AO 2= AC 2
所以∠OAC=90°
所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯
÷=⨯÷= 所以OC=22228373AC OA +=+=
所以BC=2OC=273,
在Rt △BCD 中,
CD=()2222276163BC BD -=-=
所以AD=CD-AC=16-8=8
所以AB=22228610AD BD +=+=
【点睛】
考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.
24．作图见解析，
325
【分析】
作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，连接AN ，首先用等积法求出AH 的长，易证△ACH ≌△A'NH ，可得A'N=AC=4，然后设NM=x ，利用勾股定理建立方程求出NM 的长，A'M 的长即为AN+MN 的最小值．
【详解】
如图，作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，最小值为A'M 的长．
连接AN ，
在Rt △ABC 中，AC=4，AB=8，
∴2222AB AC =84=45++ ∵11AB AC=BC AH 22
⋅⋅ ∴8545
∵CA ⊥AB ，A 'M ⊥AB ，
∴CA ∥A 'M
∴∠C=∠A 'NH ，
由对称的性质可得AH=A 'H ，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N
在△ACH 和△A'NH 中，
∵∠C=∠A 'NH ，∠AHC=∠A'HN ，AH=A 'H ，
∴△ACH ≌△A'NH （AAS ）
∴A'N=AC=4=AN ，
设NM=x ，
在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x
在Rt △AA'M 中，165，A 'M=A 'N+NM=4+x ∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()221654-+⎝⎭
x ∴()2
221654=16-+-⎝⎭x x 解得125
x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+
125=325 【点睛】
本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
25．②③⑤
【分析】
①先证得ABE ADP ≅，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒，利
用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；
②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB S
S S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论； ③在Rt AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆； ④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；
⑤先证得
ABP ADE ≅，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利
用互余的关系即可证得结论．
【详解】
①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，
∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=︒， ∴EAB PAD ∠=∠， ∴()ABE ADP SAS ≅，
∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，
∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
∴222PE BE PB +=， ∵2AE AP ==
，90EAP ∠=︒， ∴22PE AE ==，
∴()22227BE +=， 解得：3BE =，
作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，
∵45AEP ∠=︒，90PEB ∠=︒，
∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∴26sin 453
2HB BE =︒==， ∴点B 到直线AE 的距离为
62，故①错误； ②由①知：ABE ADP ≅，2EP =，3BE =
∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+
AEP BEP S S ∆∆=+
1122AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯
11222322
=⨯⨯+⨯⨯ 13=+，故②正确； ③在Rt AHB 中，由①知：6EH HB ==
， ∴62AH AE EH =+=+， 22
22225662322AB AH BH ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 21153222
ABD S AB AD AB ∆=
⋅==+，故③正确； ④因为AC 是定值，所以当A P C 、、共线时，PC 最小，如图，连接BC ，
∵A C 、关于 BD 的对称，
∴523AB BC ==+
∴225231043AC BC ==+=+
∴ min PC AC AP =-，
10432=+
⑤∵
ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，
∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =， 在ABP 和ADE 中，AB AD BAP DAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABP ADE SAS ≅，
∴ABP ADE ∠=∠，
∵AN BN =，
∴ABP NAB ∠=∠，
∴EAN ADE ∠=∠，
∵90EAN DAN ∠+∠=︒，
∴90ADE DAN ∠+∠=︒，
∴AN DE ⊥，故⑤正确；
综上，②③⑤正确，
故答案为：②③⑤．
【点睛】
本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．
26．（1）3；（2）见解析．
【分析】
（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．
【详解】
解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =
∴222AC AD CD =-=，
∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322
ABD S BD AC ∆=
⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°， ∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，
∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，
∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，
∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，
在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ， ∴222GH BG BH BG =+=， ∴2EG GH EH BG CG =+=+．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
27．（1）详见解析；（2）①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根，理由详见解析；②512
m n = 【分析】
（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；
（2）①根据勾股定理求出AD ，然后把AD 的值代入方程，即可得到答案；
②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.
【详解】
（1）解：作图，如图所示：
（2）解：①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根.
理由如下：依题意得， BD BC m ==，
在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒
222BC AC AB ∴=+
22AB m n =+22AD AB BD m n m ∴=-=+
222AD m AD n ∴+-
)()
2222222m n m m m n m n =+++- 222222222222m n m m n m m m n m n =+-+++-
0=；
∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根
②依题意得：,,AD AE BD BC AB AD BD ====
22
33
AD AE AC n
∴===
在RT ABC中，90
ACB
∠=
222
BC AC AB
∴+=
2
22
2
3
m n n m
⎛⎫
+=+
⎪
⎝⎭
2222
44
93
m n n mn m
+=++
2
54
93
n mn
=
5
12
m
n
∴=
【点睛】
本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
28．（1）见解析；（2）26；（3
+
【分析】
（1）由∠ACB=∠DCE可得出∠ACD=∠BCE，再利用SAS判定△ACD≌△BCE，即可得到AD=BE；
（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=
1
2
DE，同（1）可证△ACD≌△BCE，得到
AD=BE，然后可求AE的长，再判断∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB的长；
（3）由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出
，然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°，在Rt△BEN 中即可求出BE，由于BE=AD，所以利用AE=AD+DE即可得出答案.
【详解】
证明：（1）∵∠ACB=∠DCE
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中，
AC=BC
ACD=BCE
CD=CE
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD=BE
（2）∵∠DCE=90°，CD=CE，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴CM 平分DE ，即M 为DE 的中点
∴
CM=12
DE ， ∴DE=2CM=14，
∵∠ACB=∠DCE
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE
在△ACD 和△BCE 中，
AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ACD ≌△BCE （SAS ）
∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE
∴AE=AD+DE=24
如图，设AE ，BC 交于点H ，
在△ACH 和△BEH 中，
∠CAH+∠ACH=∠EBH+∠BEH ，而∠CAH=∠EBH ，
∴∠BEH=∠ACH=90°，
∴△ABE 为直角三角形 由勾股定理得2222AB=AE BE =2410=26++
（3）由（1）（2）可得△ACD ≌△BCE ，
∴∠DAC=∠EBC ，
∵△ACB ，△DCE 都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=120°
∴∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，
∵CM ⊥DE ，
∴∠CMD=90°，DM=EM ，
∴CD=CE=2CM ，3CM
∴33
∵∠BEN=∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠EBC+∠CBA=∠BAE+∠DAC+∠CBA=30°+30°=60°， ∴∠NBE=30°，
∴BE=2EN ，3EN
∵BN=a
∴
BE=2EN=3
a =AD ∴
+ 【点睛】 本题考查全等三角形的旋转模型，掌握此模型的特点得到全等三角形是关键，其中还需要用到等腰三角形三线合一与30度所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本知识点是关键.
29．（1）(0
，；（2）DF OE =；（3
）9+
【分析】
（1）由等边三角形的性质得出6OB =，12AB AC BC ===
，由勾股定理得出OA ==A 的坐标；
（2）由等边三角形的性质得出AD AE =，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，证出FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆，即可得出DF OE =；
（3）证出90AGO ∠=︒，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证
出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒
，由等边三角形的性质得12
DG OF ==即可得出答案．
【详解】
解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，
6OB ∴=，12AB AC BC ===
，OA === ∴点A 的坐标为(0
，；
（2）DF OE =；理由如下：
ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，
AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，
FAD OAE ∴∠=∠，
在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，
DF OE ∴=；
（3）60AOF ∠=︒，
30FOB ∴∠=︒，
60ABO ∠=︒，
90AGO ∴∠=︒，
AFO ∆
是等边三角形，AO =。