数学建模《降落伞的选购问题》

数学建模考试作业降落伞的选购模型
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降落伞的选购模型
摘要
本模型研究的是降落伞的选购方案问题，目的是在满足空投要求的条件下，使费用最少。

为了方便对降落伞进行受力分析，我们把降落伞和其负载的物资看做一个整体，忽略了伞和绳子的质量，并假设降落伞只受到竖直方向上空气阻力和重力的作用。

通过对降落伞在空中的受力情况的分析建立起了高度与时间的方程，然后以高度与时间的方程作为拟合曲线与题中给出的时间与高度的数据进行拟合，得出阻力系数k的值。

我们建立了速度与质量的方程，并证明其为严格增函数（证明过程见建模与求解）。

由于题中已限制降落伞的最大落地速度为20m/s，所以当速度为20m/s时，伞的承载量最大。

建立高度与时间，速度与时间的方程组，代入最大速度20m/s，高度500m,伞的半径（题中已给出可能选购的每种伞的半径），分别计算出每种伞的最大承载
量。

最后运用LINGO软件进行线性规划求解得：n
2=1 n
2.5
=2, n
3
=7, n
3.5
=0,n4=0。

即购买半径为2.5m的降落伞7个和半径为3m的降落伞4个时，最大承载量
为:151.0942*1+236.0847*2+339.9620*7=3003(kg),最少总费用为6349.360元。

关键字：最大承载量、线性规划、Matlab、空气阻力系数、数据拟合
一、问题的重述
2008年，汶川大地震，现急需向灾区空投救灾物资共3000kg，因此选购一些降落伞。

已知空投高度为500米，要求降落伞落地时的速度不能超过20米/秒，降落伞面为半径r的半球面，用每根长L共16根绳索连接的载重m仅位于球心正下方球面处，如图：
每个降落伞的价格由三部分组成，伞面费用c1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用c2由绳索总长度及单价3元/米决定；固定费用c3为150元。

降落伞在降落过程中受到的空气阻力可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比，为了确定阻力系数，用半径r=3m，载重m=300kg的降落伞以500m高度作试验，测得各时刻t的高度x，见表2。

试确定降落伞降落的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1 中选择）在满足空投的要求下，使总的费用最低。

m
l
r
1000
670
360
180
70
C1(元）
4
3.5
3
2.5
2
r(m)
1
55
108
160
215
264
317
372
425
470
500 X(m)
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
t(s)
图表一
图表二
二、模型的假设
1、空投物资的总数2000kg可以任意分割；
2、假设空投物资的瞬时伞已打开；
3、降落伞和绳的质量可以忽略不计；
4、降落伞的落地速度不会超过20m/s；
5、空气的阻力系数与除空气外的其它因素无关；
6、假设降落伞只受到竖直方向上的空气阻力作用；
7、每个降落伞载的物重都不会超过降落过程中的最大载重。

三、符号说明
f空气阻力
k阻力系数
)
(r
M半径为r的降落伞的最大载重
r
s半径为r的降落伞的伞面面积
()t H t时刻降落伞的下降高度
()t v t时刻降落伞的下降速度
n购买半径为r的降落伞数目
r
C伞面费
1
C绳索费
2
C固定费用
3
L 降落伞每根绳索的长度
a降落伞的加速度
g重力加速度,2
m
g=
8.9s
/
四、问题的分析
由题意可知每个伞的价格由三部分组成：伞面费用C1、绳索费用C2、固定费用C3。

伞面费用由伞的半径r决定；绳索费用C2由绳索的长度及单价决定，由图一可知绳索的长度又由降落伞的半径决定即r
=；固定费用为定值150。

L2
因为题中已给出每种伞面的半径，所以每种伞的价格为定值。

要想确定选购方案，即共需半径（在题中给出的半径中选择）为多大的伞的数量，在满足空投物资要求的条件下使总费用最少。

因此，我们需要确定每种伞的最大承载量。

然后进行线性规划，确定总费用最少和每种伞的个数。

要确定最大载重量，我们需对降落伞进行受力分析（如图二）。

降落伞在降落过程中除受到竖直向下的重力作用外还受到竖直向上的空气阻力的作用，而由题可知空气阻力又与阻力系数(k)、运动速度(a)、伞的受力面积(s)有关。

运动速度(v)和受力面积(s)是已知的，所以要想确定每种伞的最大承载量，就必须先要确定空气的阻力系数(k)。

图一图二
对图二的分析可知降落伞的运动状态是做加速度趋近于0的加速运动。

因此，我们可以建立一个位移与时间的函数关系式，在根据题中所给的数据拟合出阻力系数k的值。

然后再建立一个速度与时间的函数关系式，两个关系式联立求
解出最大载重量（其中高度和速度由题目已经给出）。

最后用LINGO 软件进行线性规划算出问题要的结果。

五、建模与求解
（1）首先确定阻力系数k
为了方便对物资进行受力分析，我们把降落伞和物资看作一个整体如图二。

由假设5可知物体A 只受到竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力作用。

又由题可知空气阻力与降落速度v 和伞的受力面积S 的乘积成正比。

则物体A 在竖直方向上受到的合外力为：
kSv mg F -=合
由运动学方程：
ma F =合
得
m
kSv
m g m F a -=
=
合 由物体位移H 和时间(t)的二次微分等于加速度建立方程得:
m kSv
m g t
d H d -=2
2 用MATLAB 解微分方程得：(程序见附录1)
2
22222)(S k g m kS mgt e
S
k g
m t H t m
kS
-+=- 则
222222500)(S
k g m kS mgt e
S
k g
m t h t m
kS
+--=- 题目已经给t-h 数据为：
时刻t （s ） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
高度h （m ） 500 470 425 372 317 264 215 160 108 55
1
对给定的数据以)(t h 为拟合函数进行拟合，r=3m,m=300kg,g=9.8,22r S π=,得出 k=2.9377 。

（程序见附录2）
（2）求解最大承载量
用速度对时间的微分等于加速度，且v 0=0建立方程组得：
m
kSv mg dt dv -= 00=v
用MATLAB 解得(程序见附录3)
kS
gm e
kS gm t v m
kSt
--=
)(
由前面的)(t H 和)(t v 函数建立方程组得：
⎪
⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧-==-+=-=--h
H r S s k g m e s k g m ks mgt t H e ks m g ks m g t v m
kst m
kst
5002)()(2222222
π
k=2.9377,g=9.8,r=[2 2.5 3 3.5 4]
因为降落伞在下落过程中其质量是不变的，所以我们把)(t v 关系式中t 看做一个定值，则关于m 的方程为
kS
gm e
kS gm m v m
kSt
--=
)(
从上式我们可以知道)(m v 是关于m 的单调递增函数: 证明过程如下：
由数学知识可知：函数的一阶导数大于零，则原函数是单调递增的。

一阶导数小于零，则原函数是单调递减的。

kS
gm e
kS gm m v m
kSt
--=)(
对)(m v 求一阶导数得：
Sk
g m
gte kS
ge m v m
kSt m
kSt +
-
-=
--)`( 由上式分析可知无法确定其是否大于零，在对其求二阶导数为：
0)(3
2``
<-=-m
kSt e m
kS
gt m v
则一阶导数为单调递减函数，当m 趋近于无穷大时对一阶导数求极限可知
0)(lim =+-=+
-
---∞
→kS
g kS g Sk g m
gte kS
ge m
kSt m
kSt m 由此可得：
0)`(>m v
则原函数是单调递增函数，即速度v 和m 是成正比关系的。

又如果存在平衡状态则必须满足kvs mg =，那么ks
mg
v =
而又通过对m
k st
e
ks
mg ks mg t v --=)( 分析，只有在ks
mg
t v t →
+∞→)(时，才有，这与实际矛盾，故降落伞是一直做加速度减小的加速运动，不存在平衡状态。

因此，求最大载重量取伞在下降到地面的瞬间达到最大速度s m t v /20)(=,此时500)(=t H m ，由方程组调用MATLAB 分别解得半径为r 的降落伞在满足空投条件下的最大载重量
)(r M 如下表：（程序见附录5）
r （m ） 2 2.5 3 3.5 4 最大承载
)(r M （kg ）
151.0942
236.0847
339.9620
462.7260
604.3768
（3）线性规划求解数量和费用 由分析可知每种伞的单价：
321C C C C ++=
由题可知1C 为:
r （m ） 2 2.5 3 3.5 4 C 1（元）
70
180
360
670
1000
2C 为：
42162⨯⨯=r C
3C 为固定值即：
1503=C
由以上数据求得每种伞的单价见下表：
则购买每把不同半径的降落伞的各需总费用C 如下:
()m r
2 2.5
3 3.5
4 ()元2C
135.84 169.44 203.52 237.6
271.68
C
355.84
499.44
713.52
1057.6 1421.68
我们设每种伞分别取n 2,n 2.5,n 3,n 3.5,n 4个,则其目标函数为：
4
5.335.268.1421
6.105752.71344.49984.355min 2n n n n n C ++++=⎩
⎪⎨⎧=∈≥++++4,5.3,3,5.2,2,,,,3000604.3768462.7260339.9620236.0847151.0942..45,3325245.335.22r Z
n n n n n n n n n n t s
对其进行优化求解C 的最小值，就是所需的最小费用。

用LINGO 求解得（程序见附件6）
n 2=1 n 2.5=2, n 3=7, n 3.5=0,n 4=0。

最少总费用为6349.360元。

六、模型的评价与推广
优点：
1、本模型的求解过程大量的运用了电脑软件，使得计算更加精确。

缺点：
1、本模型未考虑降落伞打开的时间，将其假设成在下降时伞就已经打开。

2、由于在实际生活中降落伞还受到风向的影响，本模型假设的是理想的
状态下（无风）
推广：1、当降落伞的半径仍为2m,2.5m,3m,3.5m,4m 五种时,其它条件不变,现在救灾物资很多,超过3000kg要求确定选购方案,则只需将其相应数
据改为其它数据,如5000kg,9000kg等,就可求出相应的选购方案及
总费用.
2、由于本模型假设的是在物资抛落的瞬时伞已打开，而在实际情况中物
资抛落后应有一段自由落体运动。

在模型的改进时应考虑到这一点，以便
让模型更切合实际。

七、参考文献
1、《数学实验》萧树铁主编高等教育出版社 1999 7 1
2. 许波．MA TLAB工程数学应用[M]．北京：清华大学出版社
3．国大学生数学建模竞赛组委会，全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编，北京：中国物价出版社，2002
4．谢金星，薛毅，优化建模与LINDO/LINGO 软件，北京：清华大学出版社，2005
附录1
H=dsolve('m*D2H+k*S*DH=m*g','H(0)=0,DH(0)=0','t')
得：g/k^2/S^2*m^2*exp(-k*S/m*t)+g/k/S*m*t-1/k^2/S^2*m^2*g
附录2拟合k
建立一个名为myfun1的m文件
function F=myfun1(x,xdata)
s=2*pi*3^2;
m=300;
g=9.8;
F=500-m^2*g/(x(1)^2*s^2)*exp(-x(1)*s*xdata/m)-m*g*xdata/(x(1)*s)+m^2* g/(x(1)^2*s^2);
在matlab command window中输入下列命令：
xdata=[0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30];
ydata=[500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 ];
x0=[1];
x=lsqcurvefit(@myfun1,x0,xdata,ydata)
附录3求解V
v=dsolve('m*Dv+k*S*v-m*g=0','v(0)=0','t')
得：
t
m
kS
e
kS
gm
kS
gm
t
v
-
-
=
)(
附录4 syms m t g S k；
f=g*m/(k*S)-g*m/(k*S)*exp(-k*S*t/m);
diff(f,’m’2)
求得：
-g/m^3*t^2*k*s*exp(-k*s/m*t)
附录5 求最大承载量
在matlab中建立一个名为myfun的m文件，如下：
function F=myfun(x)
r=2.5; %依次输入不同半径
g=9.8;k=2.9458;
s=2*pi*r^2;
F=[x(1)^2*g/(k^2*s^2)*exp(-k*s*x(2)/x(1))+x(1)*g*x(2)/(k*s)-x(1)^2*g/ (k^2*s^2)-500;
g*x(1)/(k*s)-g*x(1)/(k*s)*exp(-k*s*x(2)/x(1))-20];
在matlab中command window中输入以下命令：
x0 = [1; 1]; % 初始点
options=optimset('Display','iter'); % 显示输出信息
x = fsolve(@myfun,x0,options)
在m文件中更改r的值，然后在命令窗口重复输入以上命令就可分别求出不同半径的降落伞的最大载重量。

分别求解可得最大载重量如下表：
r（m） 2 2.5 3 3.5 4
最大承载
151.0942 236.0847 339.9620 462.7260 604.3768 (r
)
M（kg）
附录6优化求解
min=355.84*x1+499.44*x2+713.52*x3+1057.6*x4+1421.68*x5;
151.0942*x1+236.0847*x2+339.9620*x3+462.7260*x4+604.3768*x5>=3000;
x1>=0;
x2>=0;
x3>=0;
x4>=0;
x5>=0;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);
求解得：
Global optimal solution found.
Objective value: 6349.360
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost
X1 1.000000 355.8400
X2 2.000000 499.4400
X3 7.000000 713.5200
X4 0.000000 1057.600
X5 0.000000 1421.680
Row Slack or Surplus Dual Price
1 6349.360 -1.000000
2 2.997600 0.000000
3 1.000000 0.000000
4 2.000000 0.000000
5 7.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 0.000000 0.000000
11。