关于行列式的一般定义和计算方法之欧阳文创编

关于行列式的一般定
义和计算方法
时间：2021.03.12
创作：欧阳文
n 阶行列式的定义
n 阶行列式nn n n n n a a a a a a a a a
212222111211=∑-n
n
n j
j j nj j j j j j a a a 2
1212121)
()1(τ
2
N 阶行列式是N !项的代数和;
3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;
特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;
(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:
(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312.
它们都是偶排列;
三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.
32
2311332112312213a a a a a a a a a ---32
21133123123322113332
31
232221
13
1211
a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1
§行列式的性质
性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。

即nn n n n n a a a a a a a a a
212222111211=nn n n n n a a a a a a a a a
212221212111； 行列式对行满足的性质对列也同样满足。

性质2互换行列式的两行（列），行列式的值变号.
如: D=d c b a =ad-bc , b a d
c =bc-ad= -D
以r i 表第i 行，C j 表第j 列。

交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。

性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那
么这个行列式的值等于零。

性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素
同乘以某一个常数k 的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。

（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）
推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的
公因式可以提到行列式符号的前面。

推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元
素都为零，那么行列式值等于零。

推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素
成比例，那么行列式值等于零。

性质5：如果行列式D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D 等于两个行列式D 1和D 2的和。

nn
n nj n n n j n
j a b a a a a b a a a a b a a a
+++21222222111112
11=
nn
nj n n n
j n
j a a a a a a a a a a a a 212222211112
11+nn
n n n n
n a b a a a b a a a b a a
21222221111211
性质6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数
后，加到另一行（或另一列）的对应元素上，行列式值不变。

推论如果行列式的某一行（列）的每个元素都是m 个数之和
(m>2)，则此行列式等于m 个行列式之和。

一个n 阶行列式，如果它的元素满足：
n
j i a a i j j i 2,1,=-=；试证：当n 为奇数时，此行列式为
零。

每一行（或列）提出一个（-1），再转置得D=（-1）
n
D
性质7 行列式的某一行（列）的各元素与另一行
（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。

按行：()j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++02211 按列：()j i A a A a A a nj
ni j i j i ≠=+++0
2211
将性质7 与Laplace 定理合并为下列结论：
⎩⎨⎧≠==∑=j
i j i D
A a n
k jk k i 0
1 （1）
和⎩⎨⎧≠==∑=j
i j i D
A a n
k kj
ki 01
（2）
行列式的计算
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式
解 D n 中不为零的项用一般形式表示为
1122
11!
n n n nn a a a a n ---=.
该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于
(1)(2)
2n n --，故
2．利用行列式的性质计算
例2 一个n 阶行列式
n ij
D a =的元素满足
则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即
故行列式D n 可表示为 由行列式的性质A A '=
当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

例3 计算n 阶行列式
解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，
根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得
4．降阶法
降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

例4 计算n 阶行列式 解 将D n 按第1行展开
2n n a a -=-.
5．逆推公式法
逆推公式法：对n 阶行列式D n 找出D n 与D n －1或D n 与Dn －1,
D n －2之间的一种关系——称为逆推公式（其中D n , D n －1, D n －2
等结构相同），再由递推公式求出D n 的方法称为递推公式法。

例5 证明
证明：将D n 按第1列展开得
由此得递推公式：1n n n D a xD -=+，利用此递推公式可得
6．利用范德蒙行列式 例6 计算行列式
解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n －1行的－1倍加到
第n行，便得范德蒙行列式
7．加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。

例7 计算n阶行列式
解：
1
1
n
n
n
a a
D
D
=
12
1
100
2,,
1100
100
n
i
a a a
x
i n x
x
-
=+-
-
第行减第1行
（箭形行列式）
8．数学归纳法
例8 计算n阶行列式
解：用数学归纳法. 当n = 2时
假设n = k时，有
则当n = k+1时，把D k+1按第一列展开，得
由此，对任意的正整数n，有
9．拆开法
把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。

例9 计算行列式 n D =
11212212
n
n n n
a a a a a a a a a λλλ+++
解：n D =12122
1
2
n n n n
a a a a a a a a a λλ++1
222
00
n n n n
a a a a a λλλ+++
……
上面介绍了计算n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。

学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。

(1)y x z x
z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++; 证明
y x z x
z y z
y x b a )(33+=.
关于行列式的消项（其中C 代表列··R 代表行）
(2)
1
112222b b a a b ab a +=(a -b )3
;
证明
a b a b a b a ab 22)1(2
221
3-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3
(3)
44
4422221111d c b a d c b a d c b a
=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明
)()()(0)
()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------=（c 2
,c 3
,c
4减数字去第一列的
）
=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).
(4)122
1 1
000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n
+⋅
⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+×××+a n -1x +a n
.
证明 用数学归纳法证明
当n =2时,
2
121
221a x a x a x a x D ++=+-=,命题成立.
假设对于(n -1)阶行列式命题成立,即
D n -1=x n -1+a 1x n -2+×××+a n -2x +a n -1,
则D n 按第一列展开 有
=xD n -1+a n =x n
+a 1x n -1
+×××+a n -1x +a n .
因此,对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式
D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对
角线翻转,依次得
n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11
113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,
证明D D D n n 2
)
1(21)
1(--==,D 3=D .
证明 因为D =det(a ij ),所以
D
D n n n n 2
)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=
同理可证 nn n n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )
1(11112
)1(2D
D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=. 7.计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):
(1)a
a D n 1
1⋅
⋅⋅=
, 其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都
是0; 解 a
a a a a D n 0 001
0 000 00 00
00 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) n
n n n
n a a a
+⋅
⋅⋅-⋅-=--+)
2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2
-1).
(2)
x a a a x a a a x D n ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得 a
x x a a
x x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=00
0 0 00 0
再将各列都加到第一列上,得
a x a
x a x a
a
a a n x D n -⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=00
00 0 000 0
0 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.
(3)1 11 1 )( )1()( )1(11
11⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n
n n n ;
解 根据第6题结果 有 此行列式为范德蒙德行列式
例3
练习3：证明:0
2cos 2cos 2cos cos cos cos sin sin sin 222222==γ
βαγβαγ
β
αD .
证明：
左边
γ
βαγβαγ
βα2cos 2cos 2cos cos cos cos sin sin sin 222222=1
cos 21cos 21cos 2cos cos cos 111222222---=
γβαγ
β
α
从最后一行开始，每行减去上一行，得到： 1 2 3 ... n-1 n 1 1 1 ... 1 1-n ... ... ... ... 1 1-n 1 ... 1 1
然后做列变换，从各列中减去第一列，得到： 1 1 2 ... n-2 n-1 1 0 0 ... 0 -n ... ... ... ... 1 -n 0 ... 0 0
再把各列乘以(1/n)，加回到第一列，得到：
欧阳文创编
(n+1)/2 1 2 ... n-2 n-1
0 0 0 ... 0 -n
... ... ... ...
0 -n 0 ... 0 0
最后沿第一列展开得到结果是(1/2)*(n+1)*n^{n-1}*(-1)^{(n-1)(n-2)/2}
欧阳文创编。