清泉州阳光实验学校高三数学高考一本通立体几何第一轮复习教案 棱柱

清泉州阳光实验学校棱柱
[考点注释]
理解多面体的概念，理解凸多面体的概念，理解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图，会解特殊棱柱的计算与证明问题。

1、高考中，棱柱的出现概率较大，考察形式很灵敏，既可在选择，填空中，又可在解答题中，考察内容通常借助其性质解决有关的位置关系及角、间隔、面积、体积等。

2、对于棱柱主要考察〔1〕棱柱性质的讨论：〔2〕面积及体积的计算：〔3〕以棱柱为载体进展有关角与间隔的计算
[知识整合]
1棱柱的概念及性质
〔1〕定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公一一共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

棱柱是多面体中最简单的一种，对棱柱的概念应正确理解，
准确把握，它有两个本质特征：①有两个面〔底面〕互相平行，
②其余各面〔侧面〕每相邻两个面的公一一共边〔侧棱〕都互相平行。

因此，棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形。

但是要
注意“有两个面都是平行四边行，其余各面都是平行四边形的几何体〞不一定是棱柱，如图的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不满足“每相邻两个侧面的公一一共边互相平行〞，所以它不是棱柱。

〔2〕棱柱的分类：①按侧棱是否垂直于底面分为直棱柱和斜棱柱，在直棱柱中，假设底面是正多边形，那么为正棱柱。

例如：正方体是正四棱柱，但正四棱柱不是正方体。

②按底面多边形的边数，棱柱可分为三棱柱，四棱柱，五棱柱，……
〔3〕棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形，②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。

〔4〕特殊的四棱柱：一些特殊的四棱柱是本节研究的一个重点，为便于理解与掌握，我们把四棱柱与平行六面体及特殊的平行六面体之间的关系图示如下：
〔5〕长方体的对角线有下面的性质
①长方体一条对角线的长的平方等于一个项点上三条棱的长的
②长方体一条对角线与过同一个端点的三条棱成角为γβα，、那么γβα222cos cos cos
++＝ ③长方体一条对角线与过同一端点的三个面所成角,,,321θθθ那么322212cos cos cos
θθθ++＝ 16、棱柱的侧面积和体积
①SΔ斜侧＝S1＋S2＋……＋Sn ＝C 直截面l 〔l 为侧棱长〕，S 直侧＝C 底·l 〔C 底指底面多边形的周长〕。

②V 直棱柱＝，V 斜柱＝〔用直截面的有关几何量来表示〕。

[根底再现]
1、设有四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体。

以上四个命题中，真命题的个数是〔〕
A ：1
B ：2
C ：3
D ：4
2、长方体全面积为11，十二条棱长底的和为24，那么长方体的一条对角线长为〔〕
A ：32
B ：14
C ：5
D ：6
3、长方体ABCD －A1B1C1D1中，AB ＝3，BC ＝2，BB1＝1，那么A 到C1在长方体外表上的最短间隔为〔〕
A ：3
B ：5
C ：23
D ：35
4、长方体的一条对角线与两组平行的面所成的角都是30°，那么长方体的这条对角线与另一组平行的面所成的角是〔〕
A ：45°B：60°C：30°D：45°或者者135°
[例题精析]
例1、在下面的四个命题中，正确的个数是〔〕
1、有两个面互相平行，其余的面都是平行四边行的多面体叫棱柱。

2、四个面是全等的等腰三角形的四面体叫正三棱锥。

3、四个侧面都是矩形的四棱柱是长方体
4、各棱都相等、不一一共面的任意两条棱都互相垂直的四棱柱是正方体
A ：1个
B ：2个
C ：3个
D ：4个
例2、如下列图，正四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，A1B 与对
角面A1B1CD 所成角为30°，求证：此四棱柱为正方体。

分析；此题的关键是证明正棱柱的底面边长等于侧棱长，
故只需证ΔB1BC 为等腰直角三角形即可。

例3、〔1〕如图假设A1B1C1－ABC 是正三棱柱，D 是AC 的中点。

①证明：AB1∥平面DBC1
②假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面
的二面角α的度数。

评析；转化是数学的根本思想，此题中，证线面平行转化为
线线平行，求二面角的大小转化为求平面角的大小，故要掌握这种转化思想。

〔2〕正三棱ABC －A1B1C1中，底面边长为10cm ，高为12cm 过底面一边AB 作与底面ABC 成60°角的截面，
求此截面面积。

〔3〕过底面一边AB 作与底面ABC 成30°角的截面，求此截面面积。

例3、〔1〕如图，在三棱柱ABC －A1B1C1中，底面边长AB ＝AC ＝2b ，BC ＝b 22，AA1＝l ，且∠A1AC ＝∠A1AB=60°，求这个三棱柱的侧面积及体积。

[点拨]此题应要求掌握求斜棱柱的侧面积的方法：其一可求各
侧面面积之和；其二可利用公式S 侧＝直截面周长×侧棱长
〔2〕在多面体ABCDEF 中，面ABCD 是边长为3的正方形，EF∥AB，EF ＝
23，EF 与面AC 的间隔为2，那么该多面体的体积为〔〕
A ：29
B ：5
C ：6
D ：2
15 〔3〕如图，直三棱柱ABC －A1B1C1中，AC ＝BC ＝CC1＝1，且AC ⊥BC ，过C1作截面分别交AC 、BC 于E 、F ，且二面角C1－EF －C 这60°，那么三棱锥C1－EFC 体积的最小值为〔〕
A ：91
B ：31
C ：61
D ：18
6 例4、〔2021年高考，16〕如图，在正三棱柱ABC －A1B1C1中，AB ＝3，AA1＝4，M 为AA1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC1到M 的最短道路长为
29，设这条最短道路与CC1的交点为N ，求
①该三棱柱的侧面展开图的对角线长；②PC 和NC 的长； ③平面NMP 与平面ABC 所成二面角〔锐角〕的大小〔用反三角函数表示〕。

[分析]本小题主要考察直线与平面的位置关系、棱柱等根本知识，
考察空间想象才能、逻辑思维才能和运算才能。

例5、〔2021年高考模拟题〕斜三棱柱ABC －A1B1C1中，侧面AA1C1C ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝32，AA1⊥A1C ，AA1＝A1C 。

〔1〕求侧棱AA1与底面ABC 所成角的大小；
〔2〕求侧面AA1B1B 与底面ABC 所成二面角的大小；
〔3〕求点C到侧面AA1B1B的间隔。

[分析]此题是研究斜棱柱中的有关问题，要充分挖掘题设中的隐含条件：面面垂直、线线垂直、线面垂直。

利用垂直问题找出线面角和二面角的平面角；利用等积代换或者者面面垂直求出点面间隔。

[误区警示]求线面角和二面角时，学生不指出这些角的形成过程而是直接解三角形，书写不标准。

[解题回忆]利用直线与平面所成的角的定义，二面角的平面角的定义找出所要求的角，用面的平行线把要求的点到面的间隔转化到平面的垂面上的点到平面的间隔，是求点到面间隔的常用方法，利用三棱锥的体积代换也是求点面间隔的常用方法。

[精采小结]
1、准确判断一个棱柱是某种特殊棱柱的详细要求是：
〔1〕概念要正确掌握和运用：〔2〕要对特殊棱柱的根本特征和性质纯熟掌握；〔3〕要擅长利用反例否认有关的结论。

2、对于直棱柱、正棱柱中的特殊线〔如高、侧棱、对角线等〕的性质应熟悉并掌握，从几何体中的线面平行或者者垂直关系中找出其它平行或者者垂直关系及空间的角和间隔。

3、平行六面体是一类特殊的棱柱，我们要特别注意它的分类以及各自的特征：侧棱垂直于底面的平行六面体是直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方休，底面是正方形的长方体是正四棱柱，高和底边长相等的正四棱柱或者者棱长都相等的长方体是正方体，另外，长方体是研究问题时经常用的几何体，它有许多重要的性质和结论，学习时要引起重视。

[随堂稳固]
1、以下命题中，真命题的个数是〔〕
〔1〕正棱柱的棱长都相等；〔2〕直棱柱的侧棱就是直棱柱的高；〔3〕直棱柱的侧面是矩形；
〔4〕有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；〔5〕有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱。

A：2个B：3个C：4个D：5个
2、长方体的高等于h,底面积等于S ，过相对侧棱的截面面积为S1，那么长方体的侧面积为〔〕 ABCD
3、〔2021，春季高考〕两个完全一样的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长底是〔〕
A ：77cm
B ：72cm
C ：55cm
D ：102cm
4、如图，多面体ABC －DEFG 中，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，
平面ABC//平面DEFG ，平面DEF ⊥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，
AC ＝EF ＝1，那么该多面体的体积为〔〕
A ：2
B ：4
C ：6
D ：8
5、斜三棱柱的一个侧面面积为S ，另一条侧棱到这个侧面的间隔为a ，那么这三个棱柱的体积是〔〕Ａ：31Ｓa Ｂ：41Ｓa Ｃ：21Ｓa Ｄ：3
2Ｓa 6、斜三棱柱A1B1C1－ABC 中，各棱长为a ，A1B ＝A1C ＝a ，那么该棱柱的侧面积和体积分别为〔〕 A ：〔123＋〕a2,42a3B ：(13＋)a2，42a3
C ：(123＋)a2，123a3
D ：(13＋)a2，12
3a3 7、平行六面体ABCD －A1B1C1D1的底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，对角面
BB1D1D 是边长为a 的正方形，且∠B1BC ＝60°，此平行六面体的高为。

8、如右图，在直四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD
满足条件时，有A1C ⊥B1D1〔注：填上你认为正确的一种条件即可〕
9、一个正本棱柱形容器ABC －A1B1C1，以三角形ABC 为底面成程度放置，其高为2a,内盛水假设干，水面高度为x ,假设将此容器放倒，使它的一个侧面为底面成程度放置，这时水面恰为中截面，那么x ＝。

10、在平行六面体ABCD －A1B1C1D1中，对角线A1C ＝4，BD1＝2，假设空间一点P 使PA1＝3，PC ＝5，那么
PB2＋PD12＝。

11、〔1〕斜三棱柱ABC －A1B1C1的侧棱与底面成60°角，底面是边长为a 的正三角形，侧面BB1C1C 是菱形且与底面垂直
①求侧棱AA1与侧面BB1C1C 间的间隔②求证：AB1⊥BC
〔2〕如下列图，在斜平行六面体ABCD －A1B1C1D1中，
AB ＝AD ，∠A1AB ＝∠A1AD ＝∠BAD
①求证：平面B1D1DB ⊥平面A1C1CA
②当A1B1＝2，且直线A1A 到平面B1D1DB 间的间隔为1时，求∠BAD
12、〔1〕如图，将长AD ＝
2a ，宽AB ＝a 的长 方形ABCD 沿痕折成一个正三棱柱的三个侧面，那么原对角
线AC 成了绕在三棱柱面上的折线段，求此折线段相邻两段
所成的角。

〔2〕如下列图，斜三棱柱ABC －A1B1C1的底面为直
角三角形，∠ACB ＝90°，BC ＝2，B1在下底面上的射影为D ，
D ∈BC ，且D 为BC 的中点，侧棱BB1和底面成60°角，侧面
AA1B1B 和侧面CC1B1B 成30°角，求这个三棱柱的侧面积和体积。

13、如图，在正三棱柱ABC －A1B1C1中，AA1＝2a ，AB ＝a,点D 是AC 之中点。

〔1〕求证：平面A1BD ⊥平面AA1C1C ；〔2〕求二面角B －A1C1－D 的平面角的正切值
〔3〕假设AB1⋂A1B ＝E ，求四面体C1BED 的体积。

14、如图，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A1B1C1D1的棱AB 、BC 、DD1上的点
〔1〕假设NC
BN MA MB ＝，求证：无论点P 在D1D 上如何挪动，总有BP ⊥MN 〔2〕假设D1P:PD ＝1:2，且PB ⊥平面B1MN ，求二面角M －B1N －B 的大小
〔3〕在棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面APC1⊥平面ACC1？证明你的结论。

[综合创新]
〔2021年春季高考题〕如图62－3所示，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N
〔1〕求证CC1⊥MN
〔2〕在任意∆DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EFcosDFE，拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明。

棱锥
[考点诠释]
理解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。

1、高考中棱锥与棱柱一样出题概率较大，形式较灵敏，尤其棱锥注意等积法的灵敏运用，对五种正多面体，重点掌握正四面体和正六面体，它们是高考中常考模型。

2、简单的几何体中求锥体的侧面积、体积的体形还会出现，等积变换、割补思想的应用仍将有所表达，关于棱锥可能与代数、三角、空间向量进展综合，出现综合性问题。

以棱锥为载体考察点、线、面的位置关系，或者者求空间角、间隔和面积、体积，也有可能会利用不等式或者者导数研究最值问题。

[知识整合]
1、棱锥的概念及性质
〔1〕棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公一一共顶
点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥，棱锥是多面体中
重要的一种，它有两个本质特征：①有一个面是多边形；②其余
的各面是有一个公一一共顶点的三角形，二者缺一不可，因此棱锥有
一个面是多边形，其余各面都是三角形。

但是要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形〞的几何体未必是棱锥，如图，此多面体底面是四边形，其余各面都是三角形，但它不是棱锥。

一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四面体。

〔2〕正棱锥的概念
假设一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。

判断一棱锥是否是正棱锥必须满足下面两个条件：一是底面是正多边形，二是顶点在底面上的射影必须是底面正多边形的中心，这也是掌握正棱锥定义的两个要点。

〔3〕正棱锥的性质：
①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

由此可知，正棱锥的各侧面都是等腰三角形，但
“各侧面都是全等的等腰三角形〞的棱锥不一定是正棱锥。

如图三棱锥S－ABC中，可令SA＝SB＝BC＝AC，SC＝AB，且SB＞AB，
那么此三棱锥的各侧面为全等三角形，但它不是正三棱锥。

②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

除此两个直角三角形外，正棱锥的底面半径，边心距和半边长也组成一个直角三角形。

这三个直角三角形称为棱锥中的特征三角形，有好多立体问题都是转化到平面中的这三个直角三角形中去处理，如有关侧棱与底面、侧面与底面所成二面角的计算，有关侧棱、斜高、底面边长的计算等，要纯熟掌握。

〔4〕一般棱锥的性质定理：
定理：假设棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和原棱锥的高的平方比。

一般棱锥的重要性质定理应用很广泛，其结论还可加以引申：截面面积与底面面积的比等于截得的小棱锥与原棱锥的侧棱长的平方比；截得的小棱锥的侧面积与原棱锥的侧面积之比，也等于截得的小棱锥的棱长与原来棱锥对应棱长的平方比，也等于截面面积与底面积之比等等。

〔5〕棱锥的侧面积和体积公式
①侧面积：S 侧＝S1＋S2＋…＋Sn(n 棱锥)；正棱锥的侧面积S 侧＝
2
1C 底h1，其中C 底是底面的，h1是②体积；V 锥＝
[根底再现]
1、一个四棱锥是正四棱锥的充分不必要条件是……〔〕
A ：各侧面与底面成相等的二面角
B ：各侧面都是等腰三角形，且底面是正方形
C ；各侧面是正三角形
D ：各侧棱与底面成相等的角 2、正六棱锥底面边长为a ，体积为233a ，那么侧棱与底面所成的角等于……〔〕
A ：6π
B ：4π
C ：3π
D ：12
5π 3、一个正四棱锥的中截面面积是Q ，正四棱锥的底面边长是……〔〕
A ：4Q
B ：2
Q C ：Q D ：2Q 4、正四面体ABCD 中，AB ＝a ，相邻两面所成二面角的大小是_______；AB 与底面BCD 所成的角是；假设顶点A 在底面BCD 内的射影为O ，那么OB ＝，OA ＝，正四面体的体积为。

[例题精析]
例1、〔1〕有四个命题：①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；③棱锥的所有面可能都是直角三角形；④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形，正确的命题有。

〔2〕正四面体P －ABC 的棱长为4，用一平行于底面的平面截此四面体，所得截面面积为39
16，求截面与底面之间的间隔。

分析：因截面平行于底面，可以考虑用棱锥的平行于底面的截面面积与底面面积之比等于截得的棱锥与原棱锥的对应边之比的平方来解。

评注：由棱锥平行平底面的截面性质进一步可得截面面积与底面积之比等于截得棱锥与原棱锥的对应边长的平方比等，只要是边相对应即可。

例2、〔1〕如下列图，在三棱锥D －ABC 中，DA ⊥平面ABC ，
∠ACB ＝90°，∠ABD ＝30°，AC ＝BC ，求异面直线AB 与
CD 所成的角的余弦值。

【思路分析】此题是以棱锥为背景考察异面直线所成的角，求异面直线所成的角抓平移，化为平面内的角，利用正弦、余弦定理求解。

也可以补体、构造成长方体，然后求解。

【解题回忆】〔1〕求异面直线所成角常要作出所成角的平面图形，作法有：①平移法；在异面直线中的一条直线上选择“特殊点〞，作另一条直线的平行线，如解法一，或者者利用中位线，如解法二。

②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解法三。

〔2〕解立体几何计算题要先作出所求的角，并要有严格的推理论证过程，还要合理的计算步骤，例如解法三把等腰三角形转化为直角三角形使得计算简单。

〔2〕正四棱锥P －ABCD 的侧面与底面所成的角为α，相邻侧面所成的角为β
求证：0cos cos 2=+βα
分析：可将α，β用正四棱锥中的某些三角形的内角来表示，再利用解三角形求出βαcos cos 、
评注：解决这类问题的关键是要掌握正棱锥的性质及各无素间的关系，用好正棱锥的有关特征直角三角形。

例3、〔1〕如图，在三棱锥P －ABC 中，PA 、PB 、PC 两两所成
角都为60°，PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，求三棱锥P －ABC 的体积。

【思路分析】由条件∠APB ＝∠APC ＝60°，可以得到顶点A 在底面ABC 上的射影H 应在∠BPC 的平分线上，但这个结论一定要先证明才能使用。

【解题回忆】〔1〕把A 、B 、C 中任一个点作为顶点〔其余三点构成的三角形作为底面〕是解题的关键，这说明改变几何体的放置方式或者者改变对几何体的观察角度在解题中是非常重要的〔2〕当a=b=c 时得到正四面体的体积是3122a 〔3〕假设在PA 、PB 、PC 上各任取一点M 、N 、R ，设PM ＝m ，PN ＝n ，PR ＝r,那么容易证明abc
mnr V V ABC P MNR P ＝－－，这一结论与PA 、PB 、PC 成多大的角度无关。

〔2〕四棱锥P －ABCD 中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是面积为32的
菱形，∠ADC 为菱形的锐角。

①求证：PA ⊥CD ；
②求二面角P －AB －D 的度数；
③求棱锥P －ABCD 的侧面积。

例4、〔2021年高考，19〕如图，在四棱锥P －ABCD 中，
底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底在ABCD ，PD ＝DC ，E
是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F
①证明：PA∥平面EDB
②证明：PB ⊥平面EFD
③求二面角C －PB －D 的大小。

【思路分析】本小题考察直线与平面平行、直线与平面垂直、二面角等根底知识，考察空间相象才能和推理论证才能。

例5、如下列图，在正三棱锥S-ABC 中，过底面顶点B
和侧棱SA 、SC 上的E 、F 点做一截面BEF 和侧面SAC 的垂直
〔1〕假设E 、F 分别为SA 、SC 中点时，求此三棱锥的侧面积与底
面积之比
〔2〕假设AB=8，斜高h1=838，求截面BEF 的面积。

分析：计算面积时，离不开计算对应底边上的高，尤其是斜高，底面三角形的高和截面三角形的高，互相间的关系，这种关系应通过直截面来表达。

评注：在此题的图形条件下，可进一步考虑，假设求BEF 分三棱锥所成的两个多面体的体积比是多少？假设截面BEF 与侧面SAC 所成角为)20
(π
＜Q s <时，这类问题的如何解？ [精彩小结]
1、深化理解棱锥、正棱锥的定义及性质，平行于棱锥底面的截面性质，是解决有关棱锥问题的根底，判断一个棱锥是否为正棱锥的条件是：〔1〕底面是正多边形；〔2〕顶点在底面上的射影为底面多边形的中心，两者缺一不可。

2、充分利用正棱锥中的三个“特征直角三角形〞，把空图形转化为平面图形，是解决正棱锥有关问题的根底，
3、几个重要结论：
〔1〕棱锥的侧棱均相等，那么顶点在底面上的射影是底面多边形的外心；棱锥的各侧面与底面所成的二面角均相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形的内心；假设三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。

〔2〕由正棱锥的定义以及三角形全等，我们不难得到正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等，侧棱与底面所成的角都相等，相邻两侧面所成的二面角也相等。

4、三棱锥的等〔体〕积变换是解决点到面的间隔的常见方法之一，同时也是使计算简化的灵敏手法；“割〞“补〞是解决体积问题常用技巧，正棱锥的四个“特征〞直角三角形，是将“空间问题〞转化为“平面问题〞的桥梁。

[随堂稳固]
一、选择题
1、具有以下性质的三棱锥中，哪一个是正棱锥〔〕
A ：顶点在底面上的射影到底面各顶点的间隔相等
B ：底面是正三角形，且侧面都是等腰三角形
C ：相邻两条侧棱的夹角相等
D ：三条侧棱相等，侧面与底面所成的角也相等
2、两个平行于底面截面将棱锥的侧面积分成三个相等的部分，那么两截面将棱锥的高分成的三段〔自上而下〕之比是〔〕
A 、1:2:3
B 、1:〔12－〕:）－（13
C 、1:〔12－〕:）－（23
D 、1:〔12＋〕:）＋（
23 3、例如某平行六面体各棱长均为4，在由顶点P 出发的三条棱上分别截面取PA=1、PB ＝2、PC ＝3，那么三棱锥P －ABC 的体积是行六面体体积的〔〕
A 、641
B 、321
C 、643
D 、32
3 4、如下列图，三棱柱ABC －A1B1C1的体积为V 、P 、Q 、R 分
别是侧棱AA1、BB1、CC1、上的点且AP+CR=AA ，那么四棱锥Q －ACRP
的体积为〔〕
A 、2V
B 、3V
C 、4V
D 、6
V 5、如下列图，三棱柱A －BCD 中，E 、F 分别是
AB 、BC 的中点，EF DE ，且BC=1，那么正三棱锥A －BCD
的体积是〔〕
A 、122
B 、242
C 、122
D 、24
3 6、如下列图，E 、F 、M 、N 是正方体的四个顶点，记d1为E
到面FMN 有间隔；d2为F 到面EMN 的间隔，d3为M 到面
EFN的间隔，那么d1、d2、d3的大小关系为……〔〕
A、d1＜d2＜d3
B、d2＜d3＜d1
C、d2＜d1＜d3
D、d3＜d2＜d1
二、填空题
7、三棱锥的各个侧面与底面都成60°的二面角，底面三角形的边长是7cm、8cm、和9cm，那么这个三棱锥的体积是cm3。

8、在正四棱锥内有一内接正方体，这正方体的四个顶点在棱锥的侧棱上，另四个顶点在棱锥底面内，假设棱锥底面边长为a，高为h，那么内接正方体的棱长为。

9、〔2021年重点中学联考〕在三锥S－ABC中，下面能使顶点S在底面内的射影是底面三角形外心的条件是：〔把你认为正确的都填上〕。

①侧棱与底面所成的角相等；②侧面与底面所成的角相等；③侧棱两两相垂直；④侧棱满足SA2+SB2+SC2=SA•SB+SB•SC+SC•SA
10、假设三棱锥P－ABC中过点P的三条侧棱两两垂直，长都是a，那么底面上任一点到三侧面的间隔之和为；正四面体ABCD的棱长为a，体内任一点P到四个侧面的间隔分别d1、d2、d3、d4，那么d1＋d2＋d3＋d4＝
三、解答题
11、〔1〕棱锥的底面是正方形，一条侧棱垂直于底面，不通过此棱的一个侧面与底面所成的二面角为45°，且最长的侧棱为15cm，求棱锥的高。

〔
2〕四棱锥V－ABCD的高为h，底面为菱形，侧面VDA和侧面CDV所成的角为120°，且都垂直于底面，另两侧面与底面所成的角为45°，求棱锥的全面积。

12、〔1〕在如下列图的三棱锥P－ABC中，PA 平面ABC，
PA＝AC＝1，PC＝BC，PB和平面ABC所成的角为30°
①求证：平面PBC⊥平面PAC
②求AB的中点M到直线PC的间隔。

〔2〕如下列图，多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝1,F为CE的中点
①求证：BF⊥平面CDE
②求多面体ABCD的体积
③求平面BCE和平面ACD所成的二面角的大小。

13、〔1〕如下列图，在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC=90°,SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，
AD＝
2
1
①求四棱锥S－ABCD的体积
②求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。

〔2〕如图，在正三棱锥S－ABC中，高SO＝3，底面边长为
33
4
，
过棱AB作截面ABD交侧棱SC于D，设截面与底面所成的二面角为α，
问α为何值时，SC⊥平面ABD。

14、〔2021年全国高考Ⅰ，20〕如图，四棱锥P－ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD
所成的二面角为120°
①求点P到平面ABCD的间隔；
②求面APB与面CPB所成二面角的在大小。

[综合创新]
〔1〕〔2021年全国〕〔1〕给出两块面积一样的正三角形纸片〔1〕、〔2〕，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标在图9－8－10〕〔1〕、〔2〕中，并作简要说明；
〔2〕试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
〔3〕假设给出的是一块任意三角形的纸片〔3〕，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在〔3〕中，并作简要说明；
分析：紧扣正三棱锥，正三棱柱的定义，正三棱柱底面是正三角形，侧棱垂直于底面且侧面是全等的矩形，在要求全面积为已给三角外表积的前提下关键是去构造上底面三角形，如何由原三角形去剪拼，如图〔2〕，将下底面三角形分成面积相等的三个四边形，从面设想原三角形在一个角处剪出一样的四边形。

评注：本小题主要考察空间想象才能、动手操作才能、控究才能和灵敏运用所学知识解决实际问题的才能。

〔2〕如下列图，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积〔不计焊接缝的面积〕
①将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明。

②试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论。