2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第五次月考数学(文)试题(解析版)

2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第五次月考数学
（文）试题
一、单选题
1．若i 为虚数单位，复数z 满足()11z i i i +=-+，则z 的虚部为（
） A ．
21
- B ．21
i +-
C ．
12
- D ．21-
【答案】C
根据复数除法的运算法则，即可求解。

解：(
)
()2i 12121212
22
i i
z i i
+-++-=
==
++，
故z 的虚部为12
2
-. 故选：C.
点评：本题考查复数的代数运算，考查计算能力，属于基础题. 2．设非空集合P Q ，满足P Q P ⋂=，则（ ） A ．x Q ∀∈，有x P ∈ B ．x Q ∀∉，有x P ∉ C ．0x Q ∃∉，使得0x P ∈ D ．0x P ∃∈，使得0x P ∉
【答案】B
根据交集运算结果判定集合关系，再结合Venn 图判断元素与集合的关系即可． 解：解：∵P Q P ⋂=，∴P Q ⊆ ∴A 错误；B 正确；C 错误；D 错误．
故选：B ．
点评：本题考查命题真假的判断，考查子集的关系，属于基础题型.
3．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.
详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，
2,2,2,1PD AD CD AB ====，
由勾股定理可知：22,22,3,5PA PC PB BC ====，则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.
点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.
4．若向量a r 与b r 满足()a b a +⊥r r r ，且1a =r ，2b =r ，则向量a r 在b r
方向上的投影为
（） A 3B ．12
-
C ．-1
D ．
33
【答案】B
利用向量垂直的充要条件求得1a b ⋅=-v v ，再由向量a v 在b v 方向上的投影的计算公式，
即可求解，得到答案.
解：利用向量垂直的充要条件有：()
20a b a a a b +⋅=+⋅=v v v v v v ，∴1a b ⋅=-v v ，
则向量a v 在b v 方向上的投影为
12a b b
⋅=-v v v ,故选B. 点评：本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
5．已知数列
是首项为3，公差为d(d ∈N)的等差数列，若2 019是该数列的一
项，则公差d 不可能是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 由题设得到，再根据2019是该数列的一项得到
，由
求
出结果 解：由题设，
，2019是该数列的一项， 即2019＝3＋(n －1)d ， 所以，
因为
，
所以d 是2016的约数， 故d 不可能是5. 故选D .
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，推出不属于的情况，需要熟练运用公式，较为基础。

6．已知tan 3α=，则2212sin cos sin cos αα
αα
+-的值是（ ）
A ．
1
2
B ．12
- C ．2
D ．5
【答案】C
将221sin cos αα=+代入所求代数式，化为sin ,cos αα的齐次式，再转化为tan α，即可求解.
解：原式2222
sin cos 2sin cos sin cos αααα
αα
++=- ()()()
2
sin cos sin c cos os sin αααααα=
+-+ sin cos tan 131
2sin cos tan 131
αααααα+++=
===---.
故选：C .
点评：本题考查三角函数化简求值，化弦为切是解题的关键，属于基础题.
7．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(22)-，
B ．(2)(2)-∞-⋃+∞，
， C ．(22]-，
D ．(2]-∞，
【答案】C
由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意； 当20a -≠时，要使不等式恒成立，需2)2
20
4(44(2)0a a a --<⎧⎨∆=+⨯-<⎩
n ， 解得22a -<<，
综上所述，所以a 的取值范围为(2,2]-，故选C ．
8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 在底面ABCD 中心，在正方体
1111ABCD A B C D -内随机取一点P 则点P 与点O 距离大于1的概率为( )
A ．
12
π
B ．112
π
-
C ．
6
π D ．16
π-
【答案】D
本题考查几何概型，空间几何体的体积，空间想象能力.
到点O 的距离不大于1的点在以点O 为球心，1为半径的半球内；其体积为
31421;233
ππ⨯⨯=正方体体积为328;=则在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为2831.812
ππ-
=-故选B
9．已知实数x ，y 满足1x y +≤，则2z x y =-的最大值为（ ） A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】D
换元，转化为线性规划求最值问题，做出可行域，即可求解.
解：令x a
=，y b =，则100a b a b +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，且2z a b =-.
作可行域如图所示，平移直线l ：2b a z =-， 当直线l 过点(1,0)A 时，直线l 的纵截距最小， 从而z 为最大，且max 2102z =⨯-=. 故选：D .
点评：本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及求线性目标函数的最值，解题的关键是换元转化，属于中档题.
10．若直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于不同的两点A 、B ，则实数k 的取值范围是（ ） A ．22k -<<-B ．22k -<< C ．22k -<<D ．20k -<<
【答案】A
将直线方程与双曲线方程联立，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，直线与双曲线右支有两交点，转化为方程有两个正根，运用根的判别式结合韦达定理，即可求解. 解：将直线1y kx =+代入双曲线方程， 并整理得(
)
2
2
2220k x kx -++=.
依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故
()(
)
22222222028204
220
220
202
k k k k k k k k k k k ⎧-≠⎪⎧≠∆=-->⎪⎪⎪<⎪⎪⇒⇒-<<⎨⎨->>⎪⎪-⎪⎪<⎩⎪>⎪-⎩ 故选：A .
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，用代数方法确定交点的位置，考查计算能力，属于中档题.
11．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，若
cos cos B C b c +=
cos 2B B =，则a c +的取值范围是（ ） A
．2⎛ ⎝
B
．32⎛ ⎝
C
．2⎣ D
．32
⎡⎢⎣
【答案】B
根据已知结合正弦定理以及三角恒等变换，化简
cos cos 3sin B C A
b c C
+=
求出b ，
由cos 2B B +=结合22sin cos 1B B +=，求得sin ,cos B B ，从而求出B 的值，再由正弦定理将,a c 结合,A C 关系，转化为C （或A ）角的三角函数，注意求出角的范围，再用三角恒等变换求出范围.
解：由
cos cos 3sin B C A
b c C
+=
可得： cos cos sin cos sin cos sin c B b C C B B C
bc b C ++=
(
)sin sin 3sin B C A b C C +=
=
，
∴2
b =
. 1cos 2cos 2B B B B ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
2sin 26B π⎛
⎫=+= ⎪⎝⎭
，2663B πππ<+<
∴62B π
π
+
=
，3B π
=
，
1sin b
B
=，
∴23A C π+=，又2032
C A ππ
<=
-<，
02
A π
<<
，∴
6
2
A π
π
<<
，
2sin sin sin sin 3a c A C A A π⎛⎫
+=+=+- ⎪⎝⎭
3
sin cos 226A A A π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭， ∵
6
2
A π
π
<<
，∴
23
6
3
A π
π
π
<+
<
，
∴
326A π⎛
⎫<+≤ ⎪⎝
⎭故选B .
点评：本题考查正弦定理边角互化，考查利用三角恒等变换，以及正弦函数的图像与性质的应用，解题中要注意角的范围，属于中档题.
12． 将函数f(x)＝ln(x ＋1)(x≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都仍然是一个函数的图像，则α的最大值为( ) A ．π B ．
π
2
C ．
π3
D ．
π4
【答案】D
因为0x ≥时，()1
1
f x x '=+在[)0∞，＋是减函数且()0'1f x <≤，当且仅当0x =时等号成立，
故函数()()()10f x ln x x =+≥的图像的切线中，在0x =处切线的倾斜角最大，其值为
4
π
，由此可以求得答案 解：函数()()()10f x ln x x =+≥的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时， 当且仅当其任意切线都不经过y 轴时，其图像都仍然是一个函数的图像. 因为()1
1
f x x '=+在[)0∞，＋是减函数且()0'1f x <≤，当且仅当0x =时等号成立，
故函数()()()10f x ln x x =+≥的图像的切线中， 在0x =处切线的倾斜角最大，其值为π4
. 由此可知π2max α=－ππ44
=. 故选D .
点评：本题主要考查了函数的概念和导数的几何意义，只需按照题意来求解，较为基础。

二、填空题
13．已知直线经过点()2,0A -，()5,3B -，则该直线的倾斜角为______. 【答案】135︒
根据斜率公式，即可求解.
解：由()2,0A -，()5,3B -，可得直线AB 的斜率03
125
k -==--+.
设直线AB 的倾斜角为()0180αα︒≤<︒， 则tan 1α=-，135α=︒. 故答案为：135︒.
点评：本题考查斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系，属于基础题.
14．已知圆锥的母线长为10cm ，侧面积为260cm π，则此圆锥的体积为 3cm . 【答案】96π
设圆锥的底面半径为r ，根据题意计算出r 的值，并计算出圆锥的高，再利用锥体的体积公式可得出所求圆锥的体积.
解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为10l =，侧面积为1060lr r πππ==，得6r =，
圆锥的高为8h =，因此圆锥的体积为
2211
689633
r h πππ=⋅⋅=， 故答案为96π.
点评：本题考查圆锥体积的计算，解题的关键就是求出圆锥的母线长与半径长，考查运算能力，属于基础题.
15．在一次数学测试中，甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学得了满分，他们四位同学对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一位同学说的是真话，据此，判断考满分的同学是__________． 【答案】甲
如果甲说的是真话，则乙、丙、丁都是假话，此时丙与丁是矛盾的，所以不成立； 如果乙说的是真话，则甲、丙、定都是假话，此时甲与丁是矛盾的，所以不成； 如果丙说的是真话，则甲、乙、丁都是假话，此时甲与丙是矛盾的，所以不成立； 所以只有丁说的是真话，此时甲、乙、并都是假话，可推得甲得了满分， 故考满分的同学是甲.
点睛：合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下). 16．已知数列{}n a 与{}n b 满足*1
2()3
n n a b n N =
+∈，若{}n b 的前n 项和为3(21)n n T =-且8(3)2n n a b n λλ-≥-+对一切*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围
是_________. 【答案】[4,)+∞
依题设，当1n =时，113b T ==；
当2n ≥时，11
13(21)3(21)32n n n n n n b T T ---=-=---=⨯， 又∵当1n =时，11
1332b -==⨯， ∴1
32
n n b -=⨯. ∴1
22n n a -=+.
∴8(3)2n n a b n λλ-≥-+等价于11(22)328(3)2n n n λλ--+-⨯≥-+，
即1
(3)2
8(3)n n λ--⋅≥-，∴
3
3
162
n
n λ--≥
对一切*n N ∈恒成立， 令3()2n n f n -=，则123
(1)()22
n n n n f n f n +--+-=-
11(2)2(3)422
n n n n n ++----==，∴当4n ≤时，(1)()f n f n +≥，
当5n >时，(1)()f n f n +<，∴当4n =或5时，()f n 取得最大值， ∴max 1()(4)16f n f ==， ∴
31
1616
λ-≥， ∴4λ≥.
三、解答题
17．某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]
6,8，(]8,10，(]10,12，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的毎周平均体育运动时间与性别有关”.
附：()()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
【答案】（1）90位；（2）0.75；（3）联表见解析，有 （1）按照女生占学生数的比例，即可求解； （2）根据直方图得出频率，即可求解；
（3）算出列联表数据，利用独立性检验求解即可. 解：（1）4500
3009015000
⨯
=，
∴应收集90位女生的样本数据.
（2）由频率分布直方图可得()20.1500.1250.0750.0250.75⨯+++=， ∴该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.
（3）由（2）知，300位学生中有3000.75225⨯=人每周平均体育运动时间超过4小时，75人每周平均体育运动时间不超过4小时，
又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运
动时间与性别列联表如下：
∴()2
2300456016530 4.762 3.8412109075225
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
∴有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 点评：本题考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，属于基础题.
18．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且21n
n S n =+-，其中*n N ∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）1
12n n a -=+；（2）()1
12
2n n T n +=-⋅+
（1）根据数列的前n 项与通项n a 的关系，即可求解；
（2）由（1）结论，求出{}n b 通项，根据通项特征采用错位相减法，求前n 项和.
解：（1）当1n =时，112112S =+-=，故12a =. 当2n ≥时，1
112n n n n a S S --=-=+，且12a =符合上式， 故数列{}n a 的通项公式为1
12n n a -=+.
（2）由题可知，()(
)1
21212
12n n n n b n a n n -=-=+-=⋅，
则212222n
n T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ①，
231212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ②，
①－②得：21
2222n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅，
整理得：()1
12
2n n T n +-=--，
则()1
12
2n n T n +=-⋅+.
点评：本题考查由数列的前n 项和求通项，以及错位相减法求数列的前n 项和，考查计算能力，属于中档题.
19．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥A BCD -.
（1）求证：平面AOC ⊥平面BCD ； （2）若三棱锥A BCD -6
，且AOC ∠是钝角，求AC 的长. 【答案】（1）证明见解析；（26
（1）根据正方形的性质可得BD AO ⊥，BD CO ⊥，根据线面垂直的判定定理，可得
BD ⊥平面AOC ，进而得到结论；
（2）根据（1）中的垂直关系，求出AOC S ∆的面积，进而求出AOC ∠，再由余弦定理，即可求解.
解：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴BD AO ⊥，BD CO ⊥.
折起后仍有BD AO ⊥，BD CO ⊥，
AO CO O =I ，,AO CO ⊂平面AOC ，
∴BD ⊥平面AOC . ∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面AOC ⊥平面BCD .
（2）由（1）知BD ⊥平面AOC ， ∴1
3
A BCD AOC V S BD -∆=⋅， ∴116
sin 323
OA OC AOC BD ⨯
⋅⋅∠⋅=
，
即
11
sin
323
AOC
⨯∠⨯=，
∴sin AOC
∠=.又∵AOC
∠是钝角，
∴120
AOC
∠=︒.
在AOC
∆中，由余弦定理，
得2222cos
AC OA OC OA OC AOC
=+-⋅⋅⋅∠
22
2cos1206
=+-︒=，
∴AC=
点评：本题考查面面垂直的证明，要注意空间垂直之间的转化，考查体积以及解三角形，属于中档题.
20．已知离心率为
1
2
的椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的右焦点与抛物线2
:2(0)
E y px p
=>的焦点F重合，且点F到E的准线的距离为2.
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C交于,
M N两点，与E交于,A B两点，且4
OA OB
⋅=-
u u u r u u u r
（O为坐标原点），求MNF
∆面积的最大值.
【答案】(1)
22
1
43
x y
+=
(2)
max
()
MNF
S=
△
(1)先求P,再列a,b,c的方程组求解即可（2）设l的方程为x my n
=+，与抛物线联立将4
OA OB=-
u u u r u u u r
g坐标化代入韦达定理解得n=2，
利用
3
1
||||
2
MNF
S MF y
=
△
求解；
解：（1）因为点x到E的准线的距离为2，所以2
p=，(1,0)
F，
由
222
1,
1
,
2
,
c
c
a
a b c
=
⎧
⎪⎪
=
⎨
⎪
=+
⎪⎩
解得
2,
a
b
=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
所以C的方程为
22
1
43
x y
+=
（2）解法一.由（1）知抛物线E 的方程为24y x =.
要使直线l 与抛物线E 交于两点，则直线l 的斜率不为0，可设l 的方程为x my n =+， 由2
,4,
x my n y x =+⎧⎨
=⎩得2
440y my n --= 所以2
(4)160m n ∆=-+>，得20m n +>. 设()()1122,,,A x y B x y 则1212
4,
4,y y m y y n +=⎧⎨
=-⎩
所以22
22
2121212()16441616
y y y y n x x n =⋅===，
因为4OA OB =-u u u r u u u r
g ，所以12124x x y y +=-，
所以244n n -=-，所以2n =， 所以直线l 的方程为2x my =+， 所以直线l 过椭圆C 的右顶点(2,0)，
不妨设(2,0)M 33(,)N x y
，3y 3y ≠0，
所以31||||2MNF S MF y =
△
当且仅当3y =
max ()2
MNF S =
△. 点评：本题考查椭圆方程，考查直线过定点问题，考查面积问题，考查基本不等式求最值，注意计算的准确，是中档题
21．已知函数()2
ln f x a x x =+，其中a R ∈.
（1）讨论()f x 的单调性； （2）当1a =时，证明：
()21f x x x ≤+-；
（3）求证：对任意正整数n ，都有222211*********e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫+
+++< ⎪⎪⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
L （其中2.7183e ≈，为自然对数的底数）.
【答案】（1）讨论见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
（1）求出()f x '
，按()0f x '≥在定义域是否恒成立分类讨论，不恒成立，求出
()0f x '>，()0f x '<的解，即可求出结论；
（2）要证
()21f x x x ≤+-，只需证ln 10x x -+≤，令()ln 1h x x x =-+，只要证
max ()0,(0,)h x x ≤∈+∞，求导，求出极值最值，即可得证；
（3）由（2）得ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立），令2
1
1x n =+
，则2211ln 1n n
⎛
⎫+< ⎪⎝⎭，结合*211(2,)(1)n n N n n n <
≥∈-，累加再利用裂项相消法，对数运算，即可得出结论.
解：（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()2
2'2a a x x f x
x x +=+=，
①当0a ≥时，()'0f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；
②当0a <时，令()'0f x =，解得：x =
当0x <<时，()'0f x <，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，
当x >()'0f x >，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增. 综上，当0a ≥时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；
当0a <时，函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增. （2）当1a =时，()2
ln f x x x =+， 要证明
()21f x x x ≤+-，即证ln 1x x ≤-，即ln 10x x -+≤，
设()ln 1g x x x =-+，则()1'x
g x x
-=
，令()'0g x =得，1x =. 当()0,1x ∈时，()'0g x >，当()1,x ∈+∞时，()'0g x <， 所以1x =为极大值点，也为最大值点， 所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤， 故
()21f x x x ≤+-.
（3）由（2）得ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立），
令2
11x n =+
，则2211ln 1n n
⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 所以22221111ln 1ln 1ln 1ln 1234n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+
+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ()
2221111112312231n n n <
++⋅⋅⋅+<+++⨯⨯-L 111111111ln 12231e n n n
=-+-+⋅⋅⋅+-=-<=-， 即22221111ln 1111ln 234e n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫+
+++< ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
L ， 所以222211*********e n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L . 点评：本题考查了函数的单调性，极值最值，恒成立问题，以及不等式的证明，运用了等价转化、分类讨论、化归思想，是导数中的综合题，属于较难题. 22．
在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已
知直线l 的参数方程为33x t y t
=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2
sin 4cos ρθθ=.
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，点()3,0P ，求PA PB +的值.
【答案】（1）24,333y x y x ==
-； （2）
8
103
. （1）由cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
代入曲线C 的极坐标方程，即可求出普通方程，消去直线l 的参
数方程中的未知量t ，即可得到直线的普通方程；（2）因为直线和曲线C 有两个交点，所以根据直线的参数方程，建立一元二次方程根与系数，得出结果． 解：（1）由2
sin 4cos ρθθ=得曲线的直角坐标方程为2
4y x =，
直线的普通方程为333y x =
-.
(2)直线l 的参数方程的标准形式为32()3t x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
为参数 代入2
4y x =，整理得：238480t t --=,
设,A B 所对应的参数为12,t t ，则12128
,163
t t t t +==-,
所以12810
3
PA PB t t +=-=
. 点评：本题考查参数方程和极坐标方程化为普通方程，直线与曲线有两个交点时的距离问题，是常考题型．
23．已知函数f （x ）＝|x+2|﹣2|x ﹣1|． （1）解不等式f （x ）≤1；
（2）若关于x 的不等式f （x ）＞ax 只有一个正整数解，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) 不等式的解集为{3x x ≥或1
3
x ≤
};(2) 13a ≤<. 试题分析：（1）对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求
并集即可得结果；（2）作出函数()()()()42,
321,41.x x f x x x x x ⎧-≤-⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
与y ax =的图象，由图象可
知当13a ≤<时，不等式只有一个正整数解1x =.
试题解析：（1）当2x ≤-时，41x -≤，解得5x ≤，∴2x ≤-； 当21x -<≤时，31x ≤，解得13x ≤
，∴1
23
x -<≤； 当1x >时，41x -+≤，解得3x ≥，∴3x ≥. 综上，不等式的解集为{|3x x ≥或13x ⎫≤⎬⎭
.
（2）作出函数()()()()42,321,41.x x f x x x x x ⎧-≤-⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
与y ax =的图象，由图象可知当13a ≤<时，
不等式只有一个正整数解1x =，∴13a ≤<.。