太原市必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测题(答案解析)

一、选择题
1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A ．21
1
x y x -=-与1y x =+
B ．y x =与log x
a y a =（0a >且1a ≠）
C
．y =
1y x =-
D ．lg y x =与21
lg 2
y x =
2．若关于x 的不等式34log 2x
a x -≤在10,2x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．10,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．30,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
3．已知函数()()
2
log 23a f x x x =--+，若()00f <，则此函数的单调递增区间是
（ ） A ．(],1-∞-
B ．[)1,-+∞
C ．[)1,1-
D ．(]3,1--
4．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(50)
11()t f t e --=
+，当
()0.1f t =时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t 约为（ ）
(参考数据： 1.13e ≈) A ．38
B ．40
C ．45
D ．47 5．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（ ） A ．(1)(1)0a c --> B ．1ac > C ．1ac =
D ．01ac <<
6．已知函数()()3,<1log ,1
a a x a x f x x x ⎧--=⎨
≥⎩的值域．．
是R ，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．()1,+∞
C ．()()0,11,3
D ．3
,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭
7．集合{
}
100
2,x x x x R =∈的真子集的个数为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．7
8．设函数()21x
f x =-，c b a <<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是（ ） A ．222a c +> B ．222a c +≥ C ．222a c +≤
D ．222a c +<
9．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ）
A ．32⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦，
B ．3
,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．31,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
10．已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+，且()g b a =，则
()2f 的值为（ ）
A ．2a
B ．2
C ．
154
D ．
174
11．若1a b >>，lg lg P a b =⋅，1(lg lg )2Q a b =+，lg()2
a b R +=，则（ ） A ．R P Q <<
B ．P Q R <<
C ．Q P R <<
D ．P R Q <<
12．对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数()2
1y a x x =--在同一坐标系内的图象
可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知函数()f x 的定义域是[1,1]-，则函数(21)
()ln(1)
f x
g x x -=
-的定义域是________.
14．定义{},,max ,,x x y x y y x y
≥⎧=⎨
<⎩，设{
}()max ,log x
a f x a a x =--(),1x R a +
∈>.则不
等式()2f x ≥的解集是_____________.
15．已知0x >且1x ≠，0y >且1y ≠，方程组58log log 4log 5log 81x y x y +=⎧⎨
-=⎩
的解为1
1x x y y =⎧⎨=⎩或
2
2x x y y =⎧⎨=⎩
，则()1212lg x x y y =________. 16．已知43==m n k ，且20+=≠m n mn ，则k =______. 17．关于x 的不等式()
()2
22log 1log 2x x ->-的解集为______.
18．若函数1
1x y a
+=+()0,1a a >≠恒过点(,)P m n ，则函数()11142x x
f x ⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在
[],m n 上的最小值是_____.
19．给出下列四个命题：①函数f （x ）＝log a （2x ﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；②已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝x （x +1），则f （x ）的解析式为f （x ）＝x 2﹣|x |；③若log a
12＜1，则a 的取值范围是（0，1
2
）∪（2，+∞）；④若2﹣x ﹣2y ＞ln x ﹣ln （﹣y ）（x ＞0，y ＜0），则x +y ＜0.其中所有正确命题的序号是_____. 20．
7log 31
lg 25lg 272
++=________. 三、解答题
21．已知函数1
()22
x
x f x =-
，()(4ln )ln ().g x x x b b R =-⋅+∈ （1）若()0f x >，求实数x 的取值范围；
（2）当[1,)x ∈+∞时，设函数(),()f x g x 的值域分别为,A B ，若A B ⋂≠∅，求实数b 的取值范围.
22．已知函数3
5()log 5x
f x x
-=+． （1）求函数()f x 的定义域；
（2）判断函数()f x 奇偶性，并证明你的结论. 23．计算下列各式的值： （1）11
00.75
3
270.064
()160.258
---++;
（2
）53log 425
log lg lg 4522
++-.
24．求下列各式的值.
（1
）7log 23
log lg 25lg 473
+++. （2
）
()146
2
3
0.2516248201249-
⎛⎫⨯
+
-⨯+- ⎪
⎝⎭
.
25．已知函数()log [(1)(1)]a f x x x =+-（其中0a >且1a ≠） (1)求函数()f x 的定义域，并判断它的奇偶性；
(2)若2a =
，当122x ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的值域. 26．已知函数()f x ()
()4log 41x
kx k R =++∈的图象关于y 轴对称．
（1）求实数k 的值
（2）设函数()g x 1
2
421f x x
x m +=+⋅-（），[]
20log 3x ∈，，是否存在实数m ， 使得()
g x 的最小值为0？若存在， 求出m 的值，若不存在说明理由．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】
A ．21
1
x y x -=-的定义域为{}
1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；
B ．y x =与log x
a y a =的定义域均为R ，且log x
a y a =即为y x =，所以是同一个函
数；
C ．y =(]
[),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个
函数；
D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21
lg 2
y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数， 故选：B. 【点睛】
思路点睛：同一函数的判断步骤：
（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；
（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.
2．A
解析：A
【分析】
转化为当
1
0,
2 x
⎛⎤
∈ ⎥
⎝⎦
时，函数
3
4
2
x
y=-的图象不在log a
y x
=的图象的上方，根据图象列式可解得结果.
【详解】
由题意知关于x的不等式
3
4log
2
x
a
x
-≤在
1
0,
2
x
⎛⎤
∈ ⎥
⎝⎦
恒成立，
所以当
1
0,
2
x
⎛⎤
∈ ⎥
⎝⎦
时，函数
3
4
2
x
y=-的图象不在log a
y x
=的图象的上方，
由图可知
01
11
log
22
a
a
<<
⎧
⎪
⎨
≥
⎪⎩
，解得
1
1
4
a
≤<.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：利用函数
3
4
2
x
y=-的图象与函数log a
y x
=的图象求解是解题关键. 3．C
解析：C
【分析】
由()00
f<求得01
a
<<，求出函数()
f x的定义域，利用复合函数法可求得函数()
f x 的单调递增区间.
【详解】
由题意可得()0log30log1
a a
f=<=，01
a
∴<<.
对于函数()()
2
log23
a
f x x x
=--+，2230
x x
--+>，可得2230
x x
+-<，解得31
x
-<<.
所以，函数()
f x的定义域为()
3,1
-.
由于内层函数223
u x x
=--+在区间(]
3,1
--单调递增，在区间[)1,1
-单调递减.
外层函数log a
y u
=单调递减，
由复合函数法可知，函数()f x 的单调递增区间为[
)1,1-. 故选：C. 【点睛】
方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：
（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；
（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；
（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间； （4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数
()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定. 4．B
解析：B 【分析】 根据
()0.1f t =列式求解即可得答案.
【详解】 解：因为
()0.1f t =，0.22(50)
11()t f t e --=
+，
所以0.22(50)
()0.111t f t e
--=
=+，即0.22(50)011t e --=+，
所以0.22(50)9t e --=，由于 1.13e ≈，故()
2
1.1
2.29e e =≈，
所以0.222().250t e e --=，所以()0.2250 2.2t --=，解得40t =. 故选：B. 【点睛】
本题解题的关键在于根据题意得0.22(50)9t e --=，再结合已知 1.13e ≈得()
2
1.1
2.29e e =≈，
进而根据0.222().250t e e --=解方程即可得答案，是基础题.
5．D
解析：D 【分析】
作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】
∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有
()()()f a f c f b >>，
∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ）， ∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．
【点睛】
关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.
6．A
解析：A 【分析】
当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须
要包含()0,+∞，
，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，
,从而可得答案. 【详解】
由题意，()f x 的值域为R ，
当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，
所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，
当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 所以不满足()f x 的值域为R .
当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，
， 所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，
, 若3a =时，当1x <时，3y a =-=-，不满足()f x 的值域为R .
若3a >时，当1x <时，()3y a x a =--单调递减，()332y a x a a =-->- 所以不满足()f x 的值域为R .
若13a <<时，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 要使得()f x 的值域为R ，则320a -≥，即3
2
a ≤ 所以满足条件的a 的取值范围是：312
a <≤， 故选：A ．
【点睛】
关键点睛：本题考查根据函数的值域求参数的范围，解答本题的关键是当0＜a ＜1时，当
1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，，属于中档题. 7．D
解析：D 【分析】
分析指数函数2x
y =与幂函数100
y x
=的图像增长趋势，当0x <时，有1个交点；当
0x >时，有2个交点；即集合{}
100
2,x x x x R =∈有3个元素，所以真子集个数为
3217-=
【详解】
分析指数函数2x
y =与幂函数100
y x =的图像增长趋势，
当0x <时，显然有一个交点；
当0x >时，当1x =时，110021>；当2x =时，210022<；故()1,2x ∈时，有一个交点；
分析数据发现，当x 较小时，100
y x
=比2x
y =增长的快；当x 较大时，2x
y =比
100y x =增长的快，即2x y =是爆炸式增长，所以还有一个交点.
即2x
y =与100
y x
=的图像有三个交点，即集合{
}
100
2,x x x
x R =∈有3个元素，所以真
子集个数为3217-= 故选：D. 【点睛】
结论点睛：本题考查集合的子集个数，集合A 中含有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有(
)
21n
-个，非空真子集有(
)
22n
-个.
8．D
解析：D 【分析】
运用分段函数的形式写出()f x 的解析式，作出()21x
f x =-的图象，由数形结合可得
0c <且0a >，21c <且21a >，且()()0f c f a ->，去掉绝对值，化简即可得到结论．
【详解】
()21,02112,0
x x
x
x f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩， 作出()21x
f x =-的图象如图所示，
由图可知，要使c b a <<且()()()f c f a f b >>成立， 则有0c <且0a >， 故必有21c <且21a >，
又()()0f c f a ->，即为()12210c a
--->，
∴222a c +<． 故选：D ． 【点睛】
本题考查指数函数单调性的应用，考查用指数函数单调性确定参数的范围，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧必须掌握，是中档题．
9．B
解析：B 【分析】
先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】
由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，
2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，
ln y t =在定义域内单调递增，
234t x x =-++对称轴为3
2
x =
，开口向下， 所以 234t x x =-++在31,
2⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
单调递减， 所以2
()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
故选：B 【点睛】
本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题
10．C
解析：C 【分析】
根据奇函数()f x 与偶函数()g x ，由()()2x x
f x
g x a a -+=-+得到
()()2﹣﹣﹣=+x
x g x f x a a ，两式相加、相减并结合()g b a =求得()f x 即可.
【详解】
∵奇函数()f x 与偶函数()g x ，
()()()(),-∴=-=f x f x g x g x .
又
()()2﹣+=+-x x f x g x a a ，①
()()2﹣---∴+=+x x f x g x a a ，
()()2﹣∴=--+x x g x f x a a .② +①②，得()24g x =，
()2g x ∴=. (),2g b a a =∴=. ()22﹣-∴=x x f x . 22115
(2)22444
f -∴=-=-
=. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
11．B
解析：B 【分析】
利用对数函数lg y x =，结合基本不等式即可确定P 、Q 、R 的大小关系 【详解】
由于函数lg y x =在(0,)+∞上是增函数
1a b >>，则lg lg 0a b >>
由基本不等式可得
11
(lg lg )lg()lg 222
a b
P a b ab R +=<+==<=
因此，P Q R <<
故选：B 【点睛】
本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，应用函数思想构造对数函数，并利用其单调性和基本不等式比较大小
12．A
解析：A 【分析】
由对数函数，对a 分类，01a <<和1a >，在对数函数图象确定的情况下，研究二次函数
的图象是否相符．方法是排除法．
【详解】
由题意，若01a <<，则log a y x =在()0+∞，
上单调递减， 又由函数()21y a x x =--开口向下，其图象的对称轴()
121x a =-在y 轴左侧，排除C ，D. 若1a >，则log a y x =在()0+∞，
上是增函数， 函数()21y a x x =--图象开口向上，且对称轴()
121x a =-在y 轴右侧， 因此B 项不正确，只有选项A 满足.
故选：A ．
【点睛】
本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可按照其中一个函数的图象分类确定另一个函数图象，排除错误选项即可得．
二、填空题
13．【分析】由函数的定义域是即结合函数的解析式列出不等式组即可求解
【详解】由题意函数的定义域是即则函数有意义则满足解得解得即函数的定义域是故答案为：【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域的求解以及对数函数 解析：(0,1)
【分析】
由函数()f x 的定义域是[1,1]-，即11x -≤≤，结合函数的解析式(21)()ln(1)
f x
g x x -=-，列出不等式组121110
11x x x -≤-≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩
，即可求解. 【详解】
由题意，函数()f x 的定义域是[1,1]-，即11x -≤≤， 则函数(21)()ln(1)f x g x x -=-有意义，则满足12111011x x x -≤-≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩ ，解得0110x x x ≤≤⎧⎪<⎨⎪≠⎩
， 解得01x <<，即函数(21)()ln(1)
f x
g x x -=
-的定义域是(0,1). 故答案为：(0,1).
【点睛】
本题主要考查了抽象函数定义域的求解，以及对数函数的性质的应用，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法，以及对数函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能
力.
14．【分析】利用分段函数列出不等式求解即可【详解】解：在上为单调递增函数又当时当时不等式或解得或故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用函数值的求法考查转化思想以及计算能力 解析：2
1(0,
][log (2),)a a a ++∞ 【分析】
利用分段函数列出不等式求解即可.
【详解】
解：()log log x x
a a a a x a a x ---=-+， 1a >，()log x a g x a a x =-+在()0,∞+上为单调递增函数， 又1
(1)log 10a g a a =-+=，
当()0,1x ∈时，log 0x a a a x -+<， 当()1,x ∈+∞时，log 0x
a a a x -+>， ,1()log ,01x a a a x f x x x ⎧->∴=⎨-<<⎩
不等式()2f x ≥，
21
x a a x ⎧-≥∴⎨>⎩或log 201a x x -≥⎧⎨<<⎩， 解得log (2)a x a ≥+或210x a <≤
， 故答案为：2
1(0,
][log (2),)a a a ++∞. 【点睛】
本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力. 15．【分析】利用换底公式得出分别消去和可得出二次方程利用韦达定理可求出和的值进而可计算出的值【详解】由换底公式得由①得代入②并整理得由韦达定理得即则因此故答案为：【点睛】本题考查了对数的换底公式对数的运 解析：6
【分析】 利用换底公式得出585
8log log 4111log log x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，分别消去5log x 和8log y ，可得出二次方程，利用韦达定理可求出12x x 和12y y 的值，进而可计算出()1212lg x x y y 的值.
【详解】
由换底公式得585
8log log 4111log log x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩①②， 由①得58log 4log x y =-，代入②并整理得()2
88log 2log 40y y --=，
由韦达定理得8182log log 2y y +=，即()812log 2y y =，则261282y y ==， ()51528182log log 8log log 6x x y y ∴+=-+=，6125x x ∴=，
因此，()6
1212lg lg106x x y y ==. 故答案为：6.
【点睛】
本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，韦达定理，考查了计算能力，属于中档题．
16．【分析】根据对数和指数的关系将指数式化成对数式再根据对数的运算计算可得【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查对数和指数的关系对数的运算属于基础题
解析：36
【分析】
根据对数和指数的关系，将指数式化成对数式，再根据对数的运算计算可得.
【详解】
解：43m n k ==
4log m k ∴=，3log =n k
20m n mn +=≠
211n m ∴+=，1log 4k m =，1log 3k n
= 2log 3log 41k k ∴+=
2log 3log 41k k ∴+=
()log 941k ∴⨯=
36k ∴=
故答案为：36
【点睛】
本题考查对数和指数的关系，对数的运算，属于基础题.
17．【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解【详解】由得解得∴不等式的解集为故答案为：【点睛】本题考查对数不等式的解法考查了对数函数的性质是基础题
解析：(,1-∞-.
由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解.
【详解】
由()()2
22log 1log 2x x ->-，得21220x x x ⎧->-⎨->⎩，解得1x <--
∴不等式()()222log 1log 2x x ->-的解集为(,1-∞-.
故答案为：(,1-∞-.
【点睛】
本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的性质，是基础题. 18．【分析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点得到换元令利用二次函数的单调性即可求解【详解】函数恒过点则区间变为由函数令则利用二次函数的单调性当时则函数在上的最小值是故答案为：【点睛】关键点睛：把指数型 解析：34
【分析】
先利用指数型函数恒过定点问题求定点，得到1,2m n =-=，换元，令
11,224
x t t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，利用二次函数的单调性，即可求解. 【详解】
函数11x y a +=+()0,1a a >≠恒过点()1,2-，
则1,2m n =-=，
区间[],x m n ∈变为[]1,2x ∈-，
由函数()11142x x
f x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令11,224
x t t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭， 则()2213124
f t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 利用二次函数的单调性， 当12
t =时，()min 34f t =， 则函数()11142x x f x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在[],m n 上的最小值是34. 故答案为：34
.
关键点睛：把指数型复合函数求最值问题转化为二次函数求最值问题是解决本题的关键. 19．②④【分析】根据对数函数的图像与性质以及函数的单调性和奇偶性逐个分析判断即可得解【详解】对于①由2x﹣1＝1得x＝1∴函数f（x）＝loga （2x﹣1）﹣1的图象过定点（1﹣1）故①错误；对于②函数
解析：②④
【分析】
根据对数函数的图像与性质，以及函数的单调性和奇偶性，逐个分析判断即可得解.
【详解】
对于①，由2x﹣1＝1，得x＝1，∴函数f（x）＝log a（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，﹣1），故①错误；
对于②，函数f（x）是定义在R上的偶函数，
当x≤0时，f（x）＝x（x+1），设x＞0，则﹣x＜0，
∴f（x）＝f（﹣x）＝﹣x（﹣x+1）＝x（x﹣1），
则f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣|x|，故②正确；
对于③，由log a 1
2
＜1，得log a
1
2
＜log a a，当a＞1时，不等式成立，
当0＜a＜1时，解得0
1
2 a
<<.
则a的取值范围是（0，1
2
）∪（1，+∞），故③错误；
对于④，由2﹣x﹣2y＞ln x﹣ln（﹣y）（x＞0，y＜0），
得2﹣x﹣lnx＞2y﹣ln（﹣y），
∵函数f（x）＝2﹣x﹣ln x为定义域内的减函数，
∴x＜﹣y，即x+y＜0，故④正确.
故答案为：②④.
【点睛】
本题考查了对数函数的运算以及对数函数的性质，考查了函数奇偶性和单调性的应用，考查了转化思想，属于中档题.本题涉及的方法有一下几个：
（1）根据奇偶性求解析式，注意范围的设定；
（2）构造函数，利用函数的单调性，确定大小关系.
20．4【分析】结合对数的基本运算化简求值即可【详解】解：故答案为：4【点睛】本题主要考查对数的基本运算性质熟记公式熟练运用对数的化简对数恒等式是最基本的要求属于基础题型
解析：4
【分析】
结合对数的基本运算化简求值即可.
【详解】
解：
7log 3211lg 25lg 27lg5lg 23lg5lg 23lg103422
++=++=++=+=. 故答案为：4.
【点睛】 本题主要考查对数的基本运算性质，熟记公式，熟练运用对数的化简、对数恒等式是最基本的要求，属于基础题型.
三、解答题
21．（1）(0,)+∞（2）52b ≥-
【分析】
（1）化为指数不等式21x >可解得结果；
（2）由()f x 的单调性求出集合A ，换元后，利用二次函数知识求出集合B ，根据A B ⋂≠∅列式可解得结果.
【详解】
（1）()0f x >即1202
x x -
>，所以()221x >，所以21x >，所以0x >， 所以实数x 的取值范围是(0,)+∞. （2）因为()f x 122
x x =-在[1,)+∞上递增，所以当1x =时，()f x 取得最小值32，无最大值，所以3[,)2
A =+∞，
设ln t x =，因为1≥x ，所以0t ≥，所以2()()4h t g x t t b ==-++(0)t ≥， 因为2()(2)4h t t b =--++在[0,2)上递增，在(2,)+∞上递减，
所以2t =是，()h t 取得最大值(2)4h b =+，无最小值，所以(,4]B b =-∞+， 因为A B ⋂≠∅，所以342
b +≥，得52b ≥-. 【点睛】
关键点点睛：利用换元法将函数()g x 化为二次函数求值域是解题关键.
22．（1）(5,5)- （2）奇函数，见解析
【分析】
（1）若()f x 有意义,则需满足505x x ->+,进而求解即可； （2）由（1）,先判断定义域是否关于原点对称,再判断()f x -与()f x 的关系即可.
【详解】
（1）由题,则505x x
->+,解得55x -<<,故定义域为()5,5- （2）奇函数,
证明:由（1）,()f x 的定义域关于原点对称,
因为()()3
3355log log log 1055x x f x f x x x
+--+=+==-+,即()()f x f x -=-, 所以()f x 是奇函数
【点睛】
本题考查具体函数的定义域,考查函数的奇偶性的证明.
23．（1）10 （2）0
【分析】
（1）利用指数幂的运算性质求解即可；
（2）利用对数的运算性质求解即可.
【详解】
解:（1）1
100.753270.064()160.258---++ ()113332
44211254-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 511822
10=
（
2）53log 425log lg lg 452++- 34223log 2log 2lg 5lg 22lg 24
=-+-+-
()331lg5lg 244=-++- 331144=-+- 0=
【点睛】
本题考查指数幂的运算,考查对数的运算.
24．（1）
154
；（2）210 【分析】
（1）根据对数的运算法则运算求值即可（2）根据指数的运算法则化简求值.
【详解】
（1
）7log 23log lg 25lg 47++
1
43log 3lg1002-=++
1224
=-++ 154
= （2
）
()1462030.2516248201249-⎛⎫⨯
+-⨯+- ⎪⎝⎭ 4313233
4447223(2)42214=⨯⨯+-⨯-⨯+ 2162721=+--+
210=
【点睛】
本题主要考查了对数的运算，指数的运算，属于中档题.
25．(1)(1,1)-，()f x 在(1,1)-内为偶函数；(2)[2,0]-.
【分析】
（1）由对数真数大于0可得定义域，由奇偶性定义判断奇偶性；
（2
）确定函数在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦的单调性可得最大值和最小值，从而得值域． 【详解】
(1)由题意知：(1)(1)0x x +->，解得11x -<<，
所以函数()f x 的定义域为(1,1)-
由()log [(1)(1)]()a f x x x f x -=-+=，所以函数()f x 在(1,1)-内为偶函数.
(2)由2a =，有()222()log [(1)(1)]log 1f x x x x =-+=-
又因为12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x
在⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，
所以min 21()log 224f x f ⎛=-==- ⎝⎭
，max 2()(0)log 10f x f ===， 所以函数()f x
在12⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
内值域为[2,0]-. 【点睛】
本题考查对数型复合函数的定义域，奇偶性，单调性，值域．掌握对数函数的性质是解题关键．本题还需掌握复合函数的单调性的判断：同增异减．
26．（1）12
-
；（2）1-． 【分析】
（1）根据()()
()4log 41x f x kx k R =++∈的图象关于y 轴对称．得到()()f x f x -=，再利用待定系数法法求解.
（2）由（1）知()42=+⋅x x g x m ，[]20log 3x ∈，，令2x t =，[]
13t ∈，得到2=+⋅y t m t ，然后利用二次函数的图象和性质求解.
【详解】
（1）()()
()4log 41x f x kx k R =++∈的图象关于y 轴对称． ∴函数()f x 是偶函数．()()f x f x ∴-=，
即()()
44log 41log 41x x kx kx -+-=++， 即()()()
44log 411log 41x x k x kx +-+=++， 即210k +=，
12
k ∴=-； （2）()1242142（）+=+⋅-=+⋅f x x x x x g x m m ，[]20log 3x ∈，，
设2x t =，则[]13
t ∈，， 2∴=+⋅y t m t 在[]13t ∈，上最小值为0， 又22()24
m m y t =+-，[]13t ∈，， 当12
m -≤ 即2m ≥-时，1t =时10min y m =+=， 1m ∴=-，符合，
当132m -<-< 即62m -<<-时，2m t =-时，2
04
min m y =-=， 0m ∴= 不符合，
当32
m -≥ 即6m ≤-时，3t =时，930min y m =+=， 3m ∴=-，不符合，
综上所述m 的值为1-．
【点睛】
本题主要考查偶函数的应用，对数运算以及二次函数的图象和性质的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。