九年级数学弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积人教实验版知识精讲

初三数学弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积人教实验版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积
教学目的
1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。

2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。

3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。

4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。

教学重点和难点：
教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算
难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系 教学过程
1. 圆周长：r 2C π= 圆面积：2r S π=
2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系R 2C π=，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°
的圆心角所对的弧长就是
360
R
2π。

n °的圆心角所对的弧长是180
R
n π
180
R
n π=∴l P 120 *这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。

3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。

发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。

4. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=，所以圆心角为n °的扇形面积是：
R 2
1360R n S 2l =π=扇形
（n 也是1°的倍数，无单位）
5. 圆锥的概念
观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。

其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。

如图，从点S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心O ，垂线段SO 的长叫做圆锥的高，点S 叫做圆锥的顶点。

锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。

也就是说，把直角三角形SOA 绕直线SO 旋转一周得到的图形就是圆锥。

其中旋转轴SO 叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。

另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA 、SA 1、SA 2、……都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。

母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。

P 122 6. 圆锥的性质 由图可得
（1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心； （2）圆锥的母线长都相等
7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。

圆锥侧面积是扇形面积。

如果设扇形的半径为l ，弧长为c ，圆心角为n （如图），则它们之间有如下关系：
180
n c l π=
同时，如果设圆锥底面半径为r ，周长为c ，侧面母线长为l ，那么它的侧面积是：
l l r c 2
1
S π==
圆侧面 圆锥的全面积为：2r r π+πl
圆柱侧面积：rh 2π。

例：在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为cm 80π，那么⊙O 的半径为___________cm 。

答案：120
解：由弧长公式：180
R
n π=
l 得： cm 12012080180n 180R =π
π
⨯=π=
l 例：若扇形的圆心角为120°，弧长为cm 10π，则扇形半径为_____________，扇形面积为____________________。

答案：15；25π
例：如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为____________。

答案：90°
例：已知扇形的周长为28cm ，面积为49cm 2
，则它的半径为____________cm 。

答案：7 例：两个同心圆被两条半径截得的π=⋂10AB ，π=⋂
6CD ，又AC=12，求阴影部分面积。

解：设OC=r ，则OA=r+12，∠O=n °
π=+π=
∴⋂10180)
12r (n AB l
π=π=⋂6180
r n CD l ⎩
⎨⎧==∴18r 60n
∴OC=18，OA=OC+AC=30
COD AOB S S S 扇扇阴-=∴
OC 21
OA 21CD AB ⋅-⋅=⋂⋂l l 18621
301021⨯π⨯-⨯π⨯= π=96
例：如图，已知正方形的边长为a ，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。

解：∵正方形边长为a ∴2a S =正，222a 8
1
)2a (21R 21S π=π=π=
半圆 两个空白处半圆正方形S S 2S =-
2222a 4
1
a a 812a S π-=π⨯-=∴两个空白处
222a 2
1
a 2S 2S π-==∴个空白四个空白处
22222a a 2
1
)a 21a 2(a S S S -π=π--=-=∴四个空白处正阴
∴叶的总面积为22a a 2
1
-π
*也可看作四个半圆面积减去正方形面积
2222a a 2
1
a )2a (214S S 4S -π=-π⨯=-=正半阴
例：已知AB 、CD 为⊙O 的两条弦，如果AB=8，CD=6，⋂
AB 的度数与⋂CD 的度数的和为
180°，那么圆中的阴影部分的总面积为？ 解：将弓形CD 旋转至B ，使D 、B 重合 如图，C 点处于E 点
⋂
∴ABE 的度数为180°
∴AE 是⊙O 的直径 ∴∠ABE=90°
又∵AB=8，BE=CD=6
由勾股定理1068AE 22=+= ∴半径5102
1
OA =⨯=
242
256821521S S S 2ABE -π=⨯⋅-⨯π=
-=∴∆半圆阴 例：在△AOB 中，∠O=90°，OA=OB=4cm ，以O 为圆心，OA 为半径画⋂
AB ，以AB 为直径
作半圆，求阴影部分的面积。

解：∵OA=4cm ，∠O=90°
∴cm 4360490S 2
AOB π=⨯π⨯=扇形
cm 24AB = )cm (8S 2
AOB =∆，)cm (42
)22(S 22π=π=半圆
)cm )(84(S S S 2AOB AOB AmB -π=-=∴∆扇形弓形
则阴影部分的面积为：
)cm (8)84(4S S S 2AmB =-π-π=-=弓形半圆阴影
例：①、②……○
m 是边长均大于2的三角形，四边形、……、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，…… （1）图①中3条弧的弧长的和为_________________ 图②中4条弧的弧长的和为_________________ （2）求图○
m 中n 条弧的弧长的和（用n 表示）
解：（1）π，2π （2）解法1： ∵n 边形内角和为：（n －2）180° 前n 条弧的弧长的和为：)2n (2
1
360180)2n (-=-个以某定点为圆心，以1为半径的圆周
长
∴n 条弧的弧长的和为：π-=-⨯
⨯π)2n ()2n (2
1
12 解法2：设各个扇形的圆心角依次为
n 21,,,ααα 则
180)2n (n 21-=α+α+α ∴n 条弧长的和为：
118011801180n 21⨯π
α+⨯πα+⨯πα π
-=⨯-π
=α+α+απ=)2n (180
)2n (180)(180n 21 例：如图，在Rt △ABC 中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AC=6m ，把△ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C'处，那么AC 边扫过的图形（阴影部分）的面积为？
分析：在Rt △ACB 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=6
60CBA ,3AB 2
1
BC =∠==
∴ 33BC AB AC 22=-=∴
法一：2
3
933321'C 'A 'BC 21S B 'C 'A =
⨯⨯=⋅=
∆ π=⨯π=π=∴123606120360r n S 2
2BA 'A 扇
π=⨯π=33603120S 2
BC 'C 扇形
π=--+=∴∆∆9S S S S S ACB BC 'C B 'C 'A BA 'A 扇扇阴影
法二：以B 为圆心，BC 为半径画弧
交A'B 于D ，AB 于D'
有ACB B 'C 'A S S ∆∆=，'CBD BD 'C S S 扇扇=
π=π-π=⨯π-⨯π=-=∴9312360
31203606120S S S 22BD
'D 'ABA 扇扇阴
例：如图，已知Rt △ABC 的斜边AB=13cm ，一条直角边AC=5cm ，以直线AC 为轴旋转一周得一个圆锥。

求这个圆锥的表面积。

如果以直线AB 为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？
解：)cm (12513BC 22=-=
以直线AC 为轴旋转一周所得的圆锥如图所示，它的表面积为：
)cm (300131212S S S 22π=⨯⨯π+⨯π=+=侧底表
以直线AB 为轴旋转一周，所得到的图形如图所示。

1252
1
13CD 21⨯⨯=⨯ 13
60CD = AC CD BC CD S S S ⨯⨯π+⨯⨯π=+=下上
π=⨯⨯π=⨯⨯π+⨯⨯
π=13102017136051360121360
例：一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm ，圆心角为240°的扇形铁皮制作，再用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为______________。

答案：6
例：若圆锥的轴截面是一个边长为2cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是_______。

答案：2π
例：已知圆锥的底面半径为40cm ，母线长为90cm ，则它的侧面展开图的圆心角为______。

答案：160°
例：若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面展开图的圆心角是__________。

答案：180°
例：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm ，母线长50cm 。

（1）画出它的展开图；
（2）计算这个展开图的圆心角及面积。

解：（1）烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面周长（如图）
（2）设扇形的半径为l ，弧长为c ，圆心角为α，则l =50cm ，cm 80c π=
l
π=
α∴c
180 180c l απ= π
π
⨯=
5080180=288（度） )cm (62805040r S 2≈⨯⨯π=π=l 扇形
例：一个圆锥的高是10cm ，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。

解：设圆锥底面半径为r ，圆锥母线长为l ，扇形弧长（即半圆）为c ，则由题意得
r 2c ,22c π=π=
l
即r 2,r 222=∴π=πl l
在Rt △SOA 中，22210r +=l 由此求得)cm (3
3
20),cm (3310r ==
l 故所求圆锥的侧面积为l r S π=圆侧面)cm (3
200332033102π
=⨯⨯π=
例：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为2m 9π，高为，外围高4m 的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？
解：3r ,r 9,r S 22=∴π=π∴π= ∵h 1=4，∴5r h l 22
1=+=
柱锥S S S +=∴
π
=π+π=⨯⨯π+⨯⨯π=π+π=3621155.33253rh
2r l
π=π⨯=7203620S 总
答：至少要π720平方米的毛毡。

【模拟试题】
［基础演练］
1. 已知扇形的弧长为6πcm ，圆心角为60°，则扇形的面积为____________。

2. 已知弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形弦长为a ，则这个弓形的面积是__________。

3. 如图，在平行四边形ABCD 中，34AB =，32AD =，BD ⊥AD ，以BD 为直径的⊙O 交AB 于E ，交CD 于F ，则图中阴影部分的面积为___________。

4. 如图，AB 是⊙O 1的直径，AO 1是⊙O 2的直径，弦MN//AB ，且MN 与⊙O 2相切于C 点，若
⊙O 1的半径为2，则O 1B 、⋂
BN 、、⋂C O 1所围成的阴影部分的面积是_____________。

5. 如图，△ABC 为某一住宅区的平面示意图，其周长为800m ，为了美化环境，计划在住宅区周围5m 内，（虚线以内，△ABC 之外）作绿化带，则此绿化带的面积为___________。

6. 如图，两个同心圆被两条半径截得的cm 6AB π=⋂，cm 10CD π=⋂，⊙O'与⋂
AB ，⋂CD 都
相切，则图中阴影部分的面积为____________。

［综合测试］
7. 如图，OA 是⊙O 的半径，AB 是以OA 为直径的⊙O ’的弦，O ’B 的延长线交⊙O 于点C ，
且OA=4，∠OAB=45°，则由⋂
AB ，⋂AC 和线段BC 所围成的图形面积是______。

8. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 的夹角为120°，AB 长为30cm ，贴纸部分BD 长为20cm ，贴纸部分的面积为（ ）
A.
2cm 3
800
π B.
2cm 3
500
π C. 2cm 800π
D. 2cm 500π
9. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、4，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为（ ）
A. π4
B. π2
C. π3
4
D. π
10. 一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平翻滚（如图），那么，B 点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）
A.
2
3π
B. 34π
C. 4
D. 232π+
11. （2004·某某黄冈）如图，要在直径为50cm 的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面，问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？
［探究升级］
12. （2004·某某）在相距40km 的两个城镇A 、B 之间，有一个近似圆形的湖泊，其半径为10km ，圆心恰好位于A 、B 连线的中点处，现要绕过湖泊从A 城到B 城，假设除湖泊外，所有的地方均可行走，有如图所示两种行走路线，请你通过推理计算，说明哪条路线较短。

（1）的路线：线段→⋂
→CD AC 线段DB
（2）的路线：线段→⋂
→EF AE 线段FB （其中E 、F 为切点）
试题答案
1. 2cm 27π
2. 2
a )436(-π
3.
π-332
15
4. 12
312++π
5. 2m )40025(+π
6. 2cm 60π
7. )323
5
(-π
8. A 9. B 10. B
11. 截法如图所示
B O 4 O 3
O
O 1 O 2
A
根据圆的对称性可知：
O 1，O 3都在⊙O 的直径AB 上，设所截出的凳面的直径为r 则O 1O 2=r ，O 2O 3=r ，r 2O O 31= 又r 50)B O A O (AB O O 3131-=+-=
50r )12(,r 50r 2=+∴-=∴ )cm (7.20)12(50r ≈-=∴
12. 由题意可知图答（1）路径：)km (42.51101010DB CD AB S 1≈+π+=+⋂
+=
图答（2）路径：如图连接OE 、OF ，连结CD 由题意可知A 、C 、D 、B 共线，且经过O 点 ∵E 为切点，∴OE ⊥AE
在Rt △OAE 中，AO=2EO ∴∠A=30°，∠AOE=60° 同理∠BOF=60°
3102
3
2030cos OA AE =⨯
=⋅= 同理310BF =
π=⨯π=⋂=∠3
10
1801060EF ,60EOF
)km (11.453103
10
310FB EF AE S 2≈+π+=+⋂+=∴
由计算可知图（2）路线较短。