湖北省黄冈市蕲一中高二数学下学期期中试题 理 新人教A版

湖北省黄冈市蕲春一中2013-2014学年高二数学下学期期中试题 理
新人教A 版
试卷满分：150分
一、选择题：(每题5分，共50分)
1. 已知命题p ：x y ＞0，q ：x ＞0且y ＞0，则p 是q 的( )条件
A . 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
2. 已知中心在原点的双曲线C 的渐近线方程为y= ±4
3
x ，其中一个焦点坐标为(0，5)，则
双曲线方程为( )
A . x 29
－y 2
16
=1
B. x 216－y 2
9
=1
C. y 29－x 2
16
=1
D. y 216－x 2
9
=1 3. 命题P ：彐x ＞2，x 2
－4＞0，那么┑P 是( )
A . ∀x ≤2，x 2－4≤0 B. 彐x ≤2，x 2
－4≤0
C. ∀x ＞2，x 2－4≤0
D. 彐x ＞2，x 2
－4≤0
4. 有下列三个命题：①“若x +y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题. ②“若x ＞y ，则x
2
＞y 2”的逆否命题. ③“若x ≤－3，则x 2
+x －6＞0”. 其中假命题．．．的个数为( ) A . 0
B. 1
C. 2
D. 3
5. 正三棱柱A BC －A ′B′C′的底面边长和侧棱长均为2，D 、E 分别为AA ′与BC 的中点，
则A ′E 与BD 所成角的余弦值为( ) A . 0 B.
357 C. 147 D. 105
6. 已知定义在R 上的函数y=f (x )在x =3处的切线方程为y=－x +2，则2f (3)+f ′(3)的值
是( )
A . 0
B. －1
C. －2
D. －3
7. 定义域为R 的奇函数f (x )，当x ∈(－∞，0)时，f (x )+xf ′(x )＜0恒成立，若a =3f (3)，b=f (1)，
c=－2f (－2)，则( )
A . a ＞c ＞b B. c ＞b ＞a C. c ＞a ＞b D. a ＞b ＞c
8. 正三棱柱A BC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，则A C 1与侧面A BB 1A 1所成角为( )
A . 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
9. M 是抛物线y 2
=6x 上一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边，F M 为终边的角∠xF M=60°，
则|F M|=( ) A . 3 B. 4 C. 6 D. 8
10. 若函数f (x )=x 3+ax 2
+b x +c 有极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，且f (x 1)= x 1，则关于x 的方程
3(f (x ))2
+2af (x )+b=0的不同实根的个数是( )
A . 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题：(每题5分，共25分)
11. 如果椭圆x 225+y 2
16
=1上一点p 到焦点F 1的距离等于3，那么点p 到另一个焦点F 2的距离是
_____________.
12. 函数y= sin 2x x 在点(π
2
，0)处切线的斜率为_____________.
13. 若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2
+y 2
m =1的离心率为_____________.
14. 已知命题“彐x ∈R，2
x 2+ax
≤1
2
”是假命题，则a 的取值范围是_____________. 15. 若函数y=f (x )，x ∈D 同时满足：①在D 内为单调函数。

②存在实数m 、n ，当x ∈[m ，
n]时，f (x )的值域为[2m ，2n]，则称此函数为D 内的倍射函数，设f (x )= a x +a －2
ln a
(a
＞0且a ≠1)，若f (x )为R 内的倍射函数，则a 的取值范围为________________. 三、计算题。

(16~19每题12分，20题13分，21题14分，共75分)
16. 命题p ：关于x 的不等式x 2
+2ax +4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )=(4－3a )x
是
增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围.
17. 如图，平行六面体A BCD －A ′B′C′D′中，底面A BCD 是边长为1的正方形，侧棱AA ′
的长为2，且∠A ′A B=∠A ′A D=120°.
(1)设A B →=a →，A D →=b →，AA ′→=c →
，M 、N 分别为A B 、CC′中点，且MN →=λa →+μb →+m c →
，求λ+μ+m 的值.
(2)求线段A C′的长.
18. 设平面上A 、B 两点的坐标分别为(－5，0)、(5，0)，直线A M 、BM 相交于M 点，且它们的斜率之积为k . (k ≠0)
(1)求点M 的轨迹方程. (用k 表示)
(2)若点M 在以(－5，0)、(5，0)为焦点的椭圆上，求k 的值.
C
A′
19. 如图，正方形A DE F 与梯形A BCD 所在的平面互相垂直，A D ⊥CD ，A B ∥CD ，A B=A D= 1
2CD=2，
点M 在线段EC 上且不与E 、C 重合.
(I)当点M 是EC 中点时，求证：BM ∥平面A DE F ； (II)当平面BDM 与平面A B F 所成锐二面角的余弦值为2
6
，求DM 的长.
20. 设椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点P(32，1)，且离心率e =1
2
.
(1)求椭圆C 的方程.
(2)若F 1、F 2为椭圆的两个焦点，A 、B 为椭圆的两点，且A F 1→=12BF 2→
，求直线A F 1的斜率.
21. 设函数f (x )=(2－a )ln x +2ax +1
x
，(a ∈R).
(1)当a =－1时，求f (x )的单调区间；
(2)若对任意a ∈(－4，－3)及x ∈[1，2]，恒有ma －f (x )＞0成立，求实数m 的取值范围.
(3)当a =0时，设函数h (x )=px －
p +2e －1
x
，若在区间[1，e]至少存在一个x 0，使得h (x 0)＞f (x 0)成立，试求实数p 的取值范围.
蕲春一中2014年春季期中考试 高二数学试卷(理科)参考答案
一、选择题
1—10 BDCCB DAACB 二、填空题
11. 7 12. －4π 13. 3
2
或 5 14. (－2，2)
15. (0，1)∪(1，ln4)
提示：a x +a －2lna =2x ∴a x +a －2=2x·ln a
令a x =t ∴t+a－2=2·log
t a ·log a
e
=2 lnt
∴t 2+a
2
－1=lnt (lnt)′=1t 令1t =1
2 ∴t=2 ∴切点(2，
ln2)
切线方程y －ln2=1
2(x －2) 即y=12
x+ln2－1 ∴ln2－1＞a 2
－1 ∴a＜ln4
又∵a＞0且a ≠1 ∴a∈(0，1)∪(1，ln4)
三、解答题
16. 若p 为真命题，则△=(2a)2
－16＜0 ∴－2＜a ＜2
若q 为真命题，则4－3a ＞1 ∴a＜1……………………………..(5分) 依题意，p 真q 假时 －2＜a ＜
2
a≥1 ∴1≤a＜2 p 假q 真时 a≤－2或a≥2
a ＜1 ∴a≤－2……………………………..(10
分)
综上，a 的取值范围是a≤－2或1≤a＜2……………………………………..……..(12分)
17. (1) MN →=MB →+BC →+CN →=12a →+b →+12
c →
∴λ+μ+m =2……………………..……..(5分)
(2) AC ′→=AB →+BC →+CC ′→=a →+b →+c →
∴|AC ′→|2=AC ′→2=(a →+b →+c →)2=a →2+b →2+c →2+2a →·b →+2b →·c →+2c →·a →=2 ∴|
AC ′
→|=
2
∴AC ′=2…………………………………..………………..…..(12分)
18. (1)设M(x ，y)，则k AM = y x+5 k BM = y x －5 ∴y x+5·y
x －5
=k
∴y 2=k(x 2－25) ∴点M 的轨迹方程为kx 2－y 2=25k (x ≠±5)扣1分
…………………………..………..…..(6分)
(2)由(1)知，M 的轨迹方程x 225－y 2
25k =1
∴ 25＞25k ＞0
x
25=25k+(5)2 ∴k= 4
5
…………………………..………..…..(12分)
19. (1)取CD 中点N ，连MN 、BN ，M 、N 分别为CE 、CD 中点
∴MN∥DE
∵MN 面
ADEF ，DE ⊂面ADEF ∴MN∥面ADEF 易证BN∥面ADEF MN∩BN=N ∴面BMN∥面ADEF
BM ⊂面BMN ∴BM∥面ADEF ………………………..…….………..…..(5分) (2)面ADEF⊥面ABCD ，ED⊥AD，AD=面ADEF∩面ABCD ∴ED⊥面ABCD
∴分别以DA 、DC 、DE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴
D(0，0，0) A(2，0，0) B(2，2，0) C(0，4，0) E(0，0，2) F(2，0，2)
设CM →=λCE →
(λ＞0)
∴(x M ，y M －4，z M )=λ(0，－4，2) ∴x M =0，y M =4－4λ，z M =2λ
∴M(0，4－4λ，2λ) 设平面BDM 的法向量n 1→
=(x ，y ，z) ∴n 1→·DB →
=(x ，y ，z)·(2，2，0)=2x+2y=0
n 1→·DM →
=(x ，y ，z)·(0，4－4λ，2λ)=(4－4λ)y+2λz=0
取y=1，则x=－1，z=
2λ－2λ=2－2
λ
∴n 1→
= (－1，1，2－2λ
)
易得面ABF 的一个法向量n 2→
= (1，0，0)
∵|co s <n 1→，n 2→
>|= |n 1→·n 2→||n 1→|·|n 2→| ∴26=
12+(2－2λ
)2
· 1
∴λ=
1
3
………………………..………..…………..…………………..………..…..(10分) ∴M(0，83，23) ∴DM=2
317………………………..………..…..(12分)
20. (1)由题意知c a =12，1a 2+9
4b
2=1，又a 2=b 2+c 2
，∴a=2，b=3，c=1
故所求的椭圆方程为y 24+x 2
3
=1…………………………………. …...………..…..(6分)
(2)延长AF 1交椭圆B′ 由对称性可知 BF 2→=F 1B′→
⊂
设A(x 1，y 1)，B ′(x 2，y 2) AF 1→=1
2
F 1B′→
∴x 2=－2x 1①
当直线AB′斜率不存在时，不符合
当直线AB′斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，又F 1(0，1) ∴直线AF 1:y=kx+1 联立 y=kx+1
y 24+x 2
3=1 消去y ，得(3k 2+4)x 2+6kx －9=0
∴x 1+x 2= －6k 3k 2+4② x 1x 2= －9
3k 2+4
③
由①②③得k=±25 5 故直线AB 的斜率为±2
5
5……………………..…..(13分)
21. (1)f(x)=3lnx －2x+1
x ∴f′(x)=3x －2－1x 2=－
(2x －1)(x －1)
x 2
(x ＞0)
令f′(x)＞0 ∴12
＜x ＜1 令f′(x)＜0 ∴0＜x ＜12
或x ＞1
因此，f(x)的单调增区间为(12，1)，单调减区间为(0，1
2)，(1，+∞) ………..…..(4
分)
(2)当a∈(－4，－3)时，函数f(x )在区间[1，2]上单调递减， F (x )max = F (1) = 1+2a ，由于ma －f(x)＞0，即ma ＞f(x)恒成立，
∴ma＞1+2a ，即ma ＞1+2a 对a ∈(－4，－3)恒成立，∴(m －2)·a －1＞0恒成立 所以 (m －2)×(－3)－1≥0 (m －2)×(－4)－1≥0
解得m≤53，故实数m 的取值范围是(－∞，5
3]………………………..…………..…..(9
分)
(3)当a=0时，f(x)=2 lnx+1
x
，
令F(x)=h(x)－f(x)=px －
p+2e －1x －2 lnx －1x =px －p x －2e
x
－2 lnx ①当p≤0时，由x∈[1，e]，得px －p
x
＜0，－2e x
－2＜0 从而F(x)＜0所以，在x∈[1，e ]上不存在x 0使得h(x 0)＞f(x 0)
②当p ＞0时，F′(x)=px 2－2x+p+2e
x 2
∵x∈[1，e ] ∴2e －x≥0，px 2+p ＞0 F′(x)＞0在[1，e ]上恒成立， 故F(x)在[1，e ]上单调递增
∴F(x)max =F(e)=pe －p
e
－4
故只要pe －p e －4＞0，解得p ＞4e
e 2
－1
综上所述，p 的取值范围是(4e
e 2
－1
，+∞) ………………………..…………..…..(14分)。