2020届高考数学大二轮刷题首选卷理数文档：第一部分 考点八 导数及其应用 Word版含解析

考点八 导数及其应用
一、选择题
1．求曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d x
B ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x
C ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y
D ．S ＝⎠⎛0
1(y －y )d y
答案 B
解析 依题意，在同一坐标系下画出曲线y ＝x 2与直线y ＝x 的图象(图略)，注意到它们的交点坐标分别为(0,0)与(1,1)，结合图形及定积分的几何意义可知，相应的图形的面积可用定积分表示为⎠⎛0
1(x －x 2)d x ，选B.
2．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x ) 的图象如图所示，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内的极小值点的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案 A
解析 如图，在区间(a ，b )内，f ′(c )＝0，且在点x ＝c 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，所以函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内只有1个极小值点，故选A.
3．(2019·天津南开区模拟)过函数f (x )＝1
3x 3－x 2图象上一个动点作图象的切线，则切线倾斜角的范围是( )
A ．⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，3π4
B ．⎣⎢⎡
⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π
C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π
D ．⎝ ⎛⎦
⎥⎤π2，3π4
答案 B
解析 因为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以斜率k ＝tan α≥－1，解得倾斜角α∈
⎣⎢⎡
⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π. 4．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4
答案 C
解析 f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2(舍去)．因为f (－1)＝－2，f (0)＝2，f (1)＝0，所以f (x )max ＝f (0)＝2.故选C.
5．已知偶函数f (x )的定义域为R ，且当x <0时，f (x )＝ln (－3x ＋1)＋e －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )
A ．14＋e
B ．1
2＋e C ．34＋e D ．32＋e 答案 C
解析 由题意得，偶函数f (x )的图象关于y 轴对称，∴f ′(1)＝－f ′(－1)，当x <0时，f ′(x )＝－31－3x
－e －x ，∴f ′(－1)＝－34－e ，则f ′(1)＝3
4＋e ，故选C.
6．(2019·辽宁丹东质量测试二)若x ＝1是函数f (x )＝1
3x 3＋(a ＋1)x 2－(a 2＋a －3)x 的极值点，则a 的值为( )
A ．－2
B ．3
C ．－2或3
D ．－3或2 答案 B
解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2(a ＋1)x －(a 2＋a －3)，又f ′(1)＝0，∴1＋2(a ＋1)－(a 2＋a －3)＝0，即a ＝3或a ＝－2，当a ＝3时，f ′(x )＝x 2＋8x －9＝(x ＋9)(x －1)，显然x ＝1是函数f (x )的极值点；当a ＝－2时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，∴函
数是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选B.
7．已知函数f (x )＝x 3－ax 在(－1,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(－∞，1] D ．(－∞，3]
答案 B
解析 ∵f (x )＝x 3－ax ，∴f ′(x )＝3x 2－a .又f (x )在(－1,1)上单调递减，∴3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，∴a ≥3，故选B.
8．(2019·黑龙江哈尔滨六中二模)牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义x k (k ∈N )是函数零点近似解的初始值，过点P k (x k ，f (x k ))的切线为y ＝f ′(x k )(x －x k )＋f (x k )，切线与x 轴交点的横坐标x k ＋1，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数f (x )＝x 2－2，满足x 0＝2应用上述方法，则x 3＝( )
A ．32
B ．17
12 C ．141100 D ．577408
答案 D
解析 因为f ′(x )＝2x ，x 0＝2，y 0＝2，切线斜率k 0＝4，切线方程y －2＝4(x －2)，令y ＝0，得x 1＝32；x 1＝32，y 1＝14，切线斜率k 1＝3，切线方程为y －14＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －32，
令y ＝0，得x 2＝
1712；x 2＝1712，y 2＝1144，切线斜率k 2＝176，切线方程为y －1144＝17
6
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －1712，令y ＝0，得x 3＝
577408，故选D. 二、填空题
9．函数f (x )＝ln x －12x 2
－x ＋5的单调递增区间为________． 答案 ⎝
⎛⎭⎪⎫
0，
5－12
解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，再由f ′(x )＝1
x －x －1>0可解得0<x <
5－12.
10．已知函数f (x )＝e x ＋ax 的图象在点(0，f (0))处的切线与曲线y ＝－ln x 相切，则a ＝________.
答案 －2
解析 因为f ′(x )＝e x ＋a ，所以f ′(0)＝1＋a ，又f (0)＝1，所以切线方程为y ＝(1＋a )x ＋1，又y ＝－ln x 的导函数y ′＝－1x ，令切点坐标为(t ，－ln t )，则－1t ＝1＋a ＝
－ln t －1
t
，解得t ＝1，a ＝－2. 11．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若⎠⎛03f (x )d x ＝3f (x 0)，x 0>0，则x 0＝________.
答案
3
解析 依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋bx | 30＝3(ax 20＋b )，即3ax 2
0＝9a (a ≠0)，x 20＝3(x 0>0)，由此解得x 0＝ 3.
12．若函数f (x )＝x 3＋mx 2＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫m ＋43x ＋6在R 上有极值，则实数m 的取值范围
是________．
答案 m >4或m <－1
解析 由题意可知，f ′(x )＝0有不等根，即方程3x 2＋2mx ＋m ＋4
3＝0有不等根，所以Δ>0，即4m 2－12⎝ ⎛
⎭
⎪⎫m ＋43>0，解得m >4或m <－1.
三、解答题
13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值4. (1)求实数a ，b 的值；
(2)当a >0时，求曲线y ＝f (x )在点(－2，f (－2))处的切线方程． 解 (1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .
∵f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝4，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，
∴⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝－9或⎩⎨⎧
a ＝－2，
b ＝1. 经检验都符合题意．
(2)当a >0时，由(1)得f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋9， ∴f ′(x )＝3x 2＋6x －9. f (－2)＝31，f ′(－2)＝－9.
∴所求的切线方程为y －31＝－9(x ＋2)， 即9x ＋y －13＝0.
14．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝32－a
x (a 为实常数)．
(1)当a ＝1时，求函数φ(x )＝f (x )－g (x )在x ∈[4，＋∞)上的最小值； (2)若方程e 2f (x )＝g (x )(其中e ＝2.71828…)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，1上有解，求实数a 的取
值范围．
解 (1)当a ＝1时，函数φ(x )＝f (x )－g (x )＝ln x －32＋1x ，∴φ′(x )＝1x －1x 2＝x －1
x 2. ∵x ∈[4，＋∞)，∴φ′(x )>0.
∴函数φ(x )＝f (x )－g (x )在x ∈[4，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝4时，φ(x )min ＝2ln 2－54. (2)方程e 2f (x )＝g (x )可化为x 2＝32－a
x . ∴a ＝3
2x －x 3.
设y ＝32x －x 3，则y ′＝3
2－3x 2. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1，
∴函数y ＝32x －x 3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，22上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1上单调递减．
∵x ＝12时，y ＝58；x ＝22时，y ＝22；x ＝1时，y ＝1
2， ∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，∴a ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，22.
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是()
A．当x＝
1
ln 2时，f(x)取最大值
B．当x＝
1
ln 2时，f(x)取最小值
C．当x＝－
1
ln 2时，f(x)取最大值
D．当x＝－
1
ln 2时，f(x)取最小值
答案 D
解析由题意知，f′(x)＝2x＋x·2x ln 2，令f′(x)＝0，得x＝－
1
ln 2，又当x<
－
1
ln 2时，f′(x)<0；当x>－
1
ln 2时，f′(x)>0.∴当x＝－
1
ln 2时，f(x)取最小值．2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在
[－2,2]上的最小值为()
A．0 B．－5
C．－10 D．－37
答案 D
解析由题意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x<0或x>2时，f′(x)>0，当0<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在[－2,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，由条件知f(0)＝m＝3，∴f(2)＝－5，f(－2)＝－37，∴最小值为－37.
3．(2019·晋冀鲁豫中原名校第三次联考)若函数f(x)＝2x3－3ax2＋1在区间(0，＋∞)内有两个零点，则实数a的取值范围为()
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(1,2)
答案 B
解析f′(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)．①当a≤0时，若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，此时函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，不可能有两个零点；②当a>0时，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减，在区间(a，＋∞)上单调递增，因为f(0)＝1>0，若函
数f (x )在区间(0，＋∞)内有两个零点，有f (a )＝2a 3－3a 3＋1＝1－a 3<0，得a >1，故选B.
4．(2019·江西吉安一模)过点P (1,1)且与曲线y ＝x 3相切的直线的条数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
答案 C
解析 若直线与曲线切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，则k ＝y 0－1x 0－1＝x 30－1x 0－1＝x 20＋x 0＋1，
又∵y ′＝3x 2，∴k ＝3x 20，∴2x 2
0－x 0－1＝0，解得x 0＝1或x 0
＝－12，∴过点P (1，1)与曲线C ：y ＝x 3相切的直线方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0，故选C.
5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x ＝( )
A ．－4
3 B ．－23 C ．23 D ．43 答案 D
解析 依题意得，⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1x d x ＝13x 3| 10＋ln x | e
1＝13＋1＝43.
6．曲线y ＝ln (2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是( ) A ．2 5 B ．2 C ．2 3 D ． 3 答案 A 解析 当y ′＝
2
2x －1
＝2时，x ＝1，则点(1,0)到直线2x －y ＋8＝0的距离是曲线y ＝ln (2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离，即最短距离为2＋8
5
＝25，故选A.
7．(2019·广东揭阳二模)以下四个数中，最大的是( ) A ．ln
33
B ．1
e
C ．ln ππ
D ．
15ln 1530
答案 B
解析 由题意，令f (x )＝ln x
x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2，∴x >e 时，f ′(x )<0，∴f (x )
在(e ，＋∞)上单调递减，又由e<3<π<15，∴f (e)>f (3)>f (π)>f (15)，则ln e 1e
>ln
3
13 >ln π1π >ln (15)115
， ∴1e >ln 33>ln ππ>15
30ln 15，故选B.
8．(2019·江西景德镇二检)定义在R 上的函数f (x )满足对任意x ∈(0，＋∞)，都有f ′(x )<f ′(－x )，非零实数a ，b 满足f (a )－f (b )>f (－b )－f (－a )，则下列关系式中正确的是( )
A ．a >b
B ．a <b
C ．a 2>b 2
D ．a 2<b 2
答案 D
解析 记g (x )＝f (x )＋f (－x )，则g ′(x )＝f ′(x )－f ′(－x )，因为当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<f ′(－x )，即g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又因为g (－x )＝f (－x )＋f (x )＝g (x )，所以g (x )为偶函数，因为f (a )－f (b )>f (－b )－f (－a )⇔f (a )＋f (－a )>f (b )＋f (－b )⇔g (a )>g (b )，所以|a |<|b |，即a 2<b 2，故选D.
二、填空题
9．(2019·天津和平区模拟)已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为________．
答案 2ln 2－2 解析 ∵f ′(x )＝
2f ′(1)x －1，∴f ′(1)＝2f ′(1)
1－1，f ′(1)＝1，因此f (x )＝2ln
x －x .令f ′(x )＝2
x －1＝0，得x ＝2，∴当x ＝2时，f (x )取得极大值2ln 2－2.
10．(2019·江西新八校第二次联考)若f (x )＋3f (－x )＝x 3＋2x ＋1对x ∈R 恒成立，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为________．
答案10x＋4y－5＝0
解析∵f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1，①∴f(－x)＋3f(x)＝－x3－2x＋1，②
联立①②，得f(x)＝－1
2x
3－x＋
1
4，则
f′(x)＝－3
2x
2－1，∴f′(1)＝－
3
2－1＝－
5
2，
又f(1)＝－1
2－1＋
1
4＝－
5
4，
∴切线方程为y＋5
4＝－
5
2(x－1)，即10x＋4y－5＝0.
11．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm.要使体积最大，则高为________ cm.
答案203 3
解析设高为h cm，则底面半径r＝400－h2(cm)，所以体积V＝π
3r 2h＝
π
3h(400
－h2)，则V′＝π
3(400－3h
2)．令V′＝
π
3(400－3h
2)＝0，解得h＝203
3.即当高为
203
3
cm时，圆锥的体积最大．
12．若函数f(x)＝1
3x
3－3x－2ln x在[t，t＋1]上不单调，则实数t的取值范围是
________．
答案1<t<2
解析依题意，f′(x)＝x2－3－2
x＝
x3－3x－2
x＝
(x－2)(x＋1)2
x，可以验证x＝2
为极小值点，故t<2<t＋1，解得1<t<2.
三、解答题
13．(2019·河北邯郸一模)已知函数f(x)＝ax－ln x x.
(1)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若y＝f(x)的图象与y＝a相切，求实数a的值．
解(1)由f(x)≥0得ax－ln x
x≥0，从而ax≥
ln x
x，即a≥
ln x
x2.
设g (x )＝ln x
x 2，则g ′(x )＝1－2ln x x 3(x >0), 所以当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，
所以当x ＝e 时，g (x )取得最大值，g (e)＝1
2e ， 故a 的取值范围是a ≥1
2e .
(2)设y ＝f (x )的图象与y ＝a 相切于点(t ，a )，依题意可得⎩⎨⎧
f (t )＝a ，
f ′(t )＝0.
因为f ′(x )＝a －1－ln x
x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧
at －ln t t ＝a ，a －1－ln t
t 2＝0，
消去a 可得t －1－(2t －1)ln t ＝0， 令h (t )＝t －1－(2t －1)ln t ，则
h ′(t )＝1－(2t －1)·1t －2ln t ＝
1
t －2ln t －1， 显然h ′(t )在(0，＋∞)上单调递减，且h ′(1)＝0， 所以0<t <1时，h ′(t )>0，h (t )单调递增； t >1时，h ′(t )<0，h (t )单调递减， 所以当且仅当t ＝1时，h (t )＝0，故a ＝1.
14．(2019·山西考前适应性考试)已知函数f (x )＝(kx －1)e x －k (x －1)． (1)若f (x )在x ＝x 0处的切线斜率与k 无关，求x 0； (2)若∃x ∈R ，使得f (x )＜0成立，求整数k 的最大值． 解 (1)f ′(x )＝(kx ＋k －1)e x －k ， 即f ′(x )＝k [(x ＋1)e x －1]－e x ， 由已知得(x 0＋1)e x 0－1＝0.
令φ(x )＝(x ＋1)e x －1，则φ′(x )＝(x ＋2)e x ， 当x ∈(－∞，－2)时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减， ∵x <－2，∴x ＋1<－1，∴(x ＋1)e x <0， ∴(x ＋1)e x －1<0，因此φ(x )<0；
当x∈(－2，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增．又φ(0)＝0，所以φ(x)只有唯一零点，故x0＝0.
(2)f(x)<0，即k(x e x－x＋1)<e x.
当x≥0时，
∵e x－1≥0，∴x(e x－1)≥0，∴x(e x－1)＋1>0；当x<0时，
∵e x－1<0，∴x(e x－1)>0，∴x(e x－1)＋1>0.
∴x(e x－1)＋1>0.
∴k(x e x－x＋1)<e x可等价转化为k<
e x
x e x－x＋1
.
设g(x)＝
e x
x e x－x＋1
，由题意k<g(x)max.
又g′(x)＝e x(2－e x－x)
(x e x－x＋1)2
，令h(x)＝2－e x－x，
则h′(x)＝－e x－1<0，
∵h′(x)<0，∴h(x)在R上单调递减，
又∵h(0)>0，h(1)<0，
∴∃x0∈(0,1)，使得h(x0)＝0，即e x0＝2－x0.
当x∈(－∞，x0)时，h(x)>0，即g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(x0，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)单调递减．
∴g(x)max＝g(x0)＝
e x0
x0 e x0－x0＋1
＝
2－x0
x0(2－x0)－x0＋1
＝
1
x0－2＋
1
x0－2
＋3
.
令t＝x0－2[t∈(－2，－1)]，
则y＝t＋1
t＋3∈⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
2，1，
∴g(x)max∈(1,2)，故整数k的最大值为1.。