2020届四川省成都市树德中学高三11月阶段性检测数学(理)试题(解析版)

2020届四川省成都市树德中学高三11月阶段性检测
数学（理）试题
一、单选题
1．设集合{}1,0A =-，{}
,B t t y x x A y A ==-∈∈且，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}1-
C ．{}1,1-
D ．{}1,0-
【答案】D
【解析】由题意首先求得集合B ，然后进行交集运算即可. 【详解】
由于：()()101,011,11000--=--
-=---=-=，
故由题意可知：{}1,0,1B =-，结合交集的定义可知：{}1,0A B ⋂=-. 故选：D . 【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．在复平面内，给出以下四个说法： ①实轴上的点表示的数均为实数； ②虚轴上的点表示的数均为纯虚数；
③互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数；
④已知复数z 满足()13i z i +=-，则z 在复平面内所对应的点位于第四象限. 其中说法正确的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】根据复数的几何意义可判断出命题①②的正误，根据共轭复数的概念判断命题③的正误，利用复数的除法求出复数z ，结合复数的几何意义可判断出命题④的正误. 【详解】
对于命题①，由复数的几何意义知，实轴上的点表示的数均为实数，命题①正确； 对于命题②，原点在虚轴上，原点代表的数为零，不是纯虚数，命题②错误； 对于命题③，互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数，命题③正确；
对于命题④，由()13i z i +=-，得()()()()31324121112
i i i i
z i i i i ----=
===-++-，所以，复数z 在复平面内所对应的点在第四象限，命题④正确. 因此，正确的命题为①③④. 故选：C. 【点睛】
本题考查与复数相关的命题真假的判断，涉及复数的几何意义、共轭复数概念的理解以及复数的除法运算，考查推理能力，属于基础题.
3．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，94S S =，50k a a +=，则k =（ ） A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
【答案】D
【解析】由94S S =，得出5690a a a +++=L ，利用等差数列求和公式可求出k 的值. 【详解】
由94S S =，得()5994569502
a a S S a a a +-=+++=
=L ，590a a ∴+=，因此，
9k =.
故选：D. 【点睛】
本题考查等差数列下标和性质的应用，同时也涉及了等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
4．将()2n
x -的展开式按x 的降幂排列，若第三项的系数是40，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
【答案】B
【解析】根据题意求出第三项的系数，可得出关于n 的方程，即可解出n 的值. 【详解】
将()2n
x -的展开式按x 的降幂排列，第三项的系数为()2
22
2440n n C C ⋅-==，
即
()1102
n n -=，整理得2200n n --=.
n N *∈Q ，解得5n =.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用项的系数求指数的值，解题的关键就是利用二项展开式的通项得出系数的表达式，考查计算能力，属于中等题.
5．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为
( )
A ．16
B ．163
C ．
16
3
D ．
128
3
【答案】C
【解析】由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积． 【详解】
正方体的棱长为2，则其内切球的半径r 1=，
∴正方体的内切球的体积344
V π1π33
=
⨯=球， 又由已知V πV 4=
球牟合方盖
，4416
V ππ33
∴=⨯=牟合方盖． 故选C ． 【点睛】
本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题．
6．如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数
()h f t =的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可． 【详解】
函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，
则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键． 7．如图圆锥的高3SO =
，
底面直径2,AB C =是圆O 上一点，且1AC =，则SA 与BC 所成角的余弦值为（ ）
A 3
B 3
C ．
14
D ．
13
【答案】A
【解析】建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用向量数量积即可求得AS uu r 与BC uuu r
夹角的余弦值。

【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系得：
010A -（，，），010B （，，），003S （，），31022C ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
， 设,AS BC u u u r u u u r 的夹角为θ，02πθ<≤
又333),,022AS BC ⎛⎫==- ⎪
⎪⎝
⎭
u u u r u u u r 则3cos 4
|||
AS BC AS BC θ⋅==-u u u r u u u r u u u
r u u u r 因为02
πθ<≤
即SA 与BC 3故选：A ． 【点睛】
本题考查了空间向量的数量积的运算及利用空间向量求异面直线的夹角，属中档题． 8．2021年广东新高考将实行312++模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率( ) A ．
136
B ．
116
C ．
18
D ．
16
【答案】D
【解析】基本事件总数n 2
4C ==6，他们选课相同包含的基本事件m ＝1，由此能求出他
们选课相同的概率． 【详解】
今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，
则基本事件总数n 2
4C ==6，
他们选课相同包含的基本事件m ＝1， ∴他们选课相同的概率p m 1n 6
==． 故选：D ． 【点睛】
本题考查古典概型，准确计算基本事件总数和选课相同包含的基本事件数是关键，是基础题.
9．如图所示框图，若输入三个不同的实数x ，输出的y 值相同，则此输出结果y 可能是（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．
12
D ．4
【答案】C
【解析】根据程序框图知，本题是输出函数2
3,043,0x x y x x x +≤⎧=⎨-+>⎩
的函数值，设输出的y 值为t ，可知直线y t =与函数2
3,0
43,0x x y x x x +≤⎧=⎨
-+>⎩
的图象有3个交点，利用数形结合思想得出t 的取值范围，从而可得出输出y 的可能值. 【详解】
由题意可知，程序框图是输出函数2
3,0
43,0
x x y x x x +≤⎧=⎨
-+>⎩的函数值， 设输出的y 值为t ，可知直线y t =与函数23,0
43,0x x y x x x +≤⎧=⎨-+>⎩
的图象有3个交点，
如下图所示：
由图象可知，当13t -<<时，直线y t =与函数2
3,0
43,0
x x y x x x +≤⎧=⎨-+>⎩的图象有3个交点，
因此，此输出结果y 可能是12
. 故选：C. 【点睛】
本题考查程序框图与函数的综合问题，读懂程序框图的功能是解题的关键，同时也涉及了由两函数图象的交点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 10．平面直角坐标系中，过坐标原点O 作曲线:x
C y e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与
y 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）
A ．
1
12
e - B ．
2
e C ．12
e -
D ．32
e -
【答案】A
【解析】求出切线l 的函数解析式，以及切点坐标，确定被积函数与被积区间，然后利用定积分思想计算出所围成的封闭图形的面积. 【详解】
如下图所示，设切点坐标为()
,t t e ，对函数x y e =求导得e x
y '=，
所以，直线l 的方程为()t
t
y e e x t -=-，将原点代入直线l 的方程得t t e te -=-，得
1t =.
所以，直线l 的函数解析式为y ex =，
如上图所示，所求区域的面积为(
)
021
1
11
122
x
x
e ex dx e ex e ⎛⎫⎰-=-=
- ⎪⎝
⎭
. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用定积分计算平面区域的面积，同时也考查了过点的函数的切线方程的求解，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中等题.
11．已知椭圆、双曲线均是以线段AC 的两端点为焦点的曲线，点B 是它们的一个公共
点且满足0BA BC ⋅=uu r uu u r
，记此椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则2212
11e e +=（ ）
A ．
32
B ．2
C ．
52
D ．3
【答案】B
【解析】设BA m =u u u r ，BC n =u u u r
，并设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，
两曲线的焦距均为()20c c >，利用椭圆、双曲线的定义，以及勾股定理可得出
22
2122a a c +=，由此可得出
2
212
11
e e +的值. 【详解】
设BA m =u u u r ，BC n =u u u r
，并设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，两曲线的
焦距均为()20c c >，
由椭圆的定义得12m n a +=，由双曲线的定义得22m n a -=，
由勾股定理得()2
222m n c +=，
()()()()2222
2212222a a m n m n m n +=++-=+Q ，22
212
4424a a c ∴+=⨯， 化简得2
22
1
2
2a a c +=，即2212
222a a c c
+=，因此，2212112e e +=.
故选：B. 【点睛】
本题考查双曲线与椭圆离心率关系的计算，同时也涉及了椭圆和双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.
12．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且()()11f x f x --=-，当[]1,0x ∈-时，
()3f x x =-,则函数()()cos g x f x x π=-在区间51,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
的所有零点之和为
（ ） A ．-7 B ．-6
C ．-5
D ．-4
【答案】A
【解析】利用定义推导出函数()y f x =是周期为2的函数，并作出函数()y f x =与函数cos y x π=在区间51,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，可知两函数在区间51,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上的图象关于直
线1x =-对称，然后利用数形结合思想得出函数()y g x =在区间51,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的零点之和. 【详解】
()()11f x f x --=-Q ，所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，
又Q 函数()y f x =为偶函数，所以，()()()111f x f x f x -=--=+， 所以，函数()y f x =是以2为周期的周期函数，
作出函数()y f x =与函数
cos y x π=在区间51,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的图象如下图所示：
由图象可知，函数()y f x =与函数cos y x π=在区间51,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的图象都关于直线
1x =-对称，
两个函数在区间51,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的图象共有7个交点，有3对关于直线1x =-对称，还有一个交点的横坐标为1-.
因此，函数()()cos g x f x x π=-在区间51,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦的所有零点之和为2317-⨯-=-.
故选：A. 【点睛】
本题考查函数的零点之和，转化为两函数图象的交点并结合图象的对称性求解是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
二、填空题
13．已知以点()1,2为圆心的圆C 与直线20x y +=相切，则圆C 的方程为______． 【答案】2
2
(1)(2)5x y -+-=
【解析】根据题意，设圆C 的半径为r ，由直线与圆的位置关系可得122514
r +⨯==+结合圆的标准方程分析可得答案． 【详解】
根据题意，设圆C 的半径为r ，
以点()1,2为圆心的圆C 与直线20x y +=相切，则圆心到直线的距离为半径，则有
122514
r +⨯=
=+
则圆C 的方程为2
2
(1)(2)5x y -+-=； 故答案为：2
2
(1)(2)5x y -+-=．
【点睛】
本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判定方法，属于基础题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。

14．在矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，13
AM MD =u u u u r u u u u r ，则BM MC ⋅=u u u u r u u u u r __________.
【答案】1-
【解析】作出图形，以点A 为坐标原点，AD 、AB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平
面直角坐标系，写出各点的坐标，然后利用坐标计算出BM MC ⋅u u u u r u u u u r
的值.
【详解】
如下图所示，以点A 为坐标原点，AD 、AB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则点()0,2B 、()4,2C ，
13AM MD =u u u u r u u u u r Q ，则14AM AD =u u u u r u u u r
，则点()1,0M ，()1,2BM ∴=-u u u u r ，()3,2MC =u u u u r .
因此，13221BM MC ⋅=⨯-⨯=-u u u u r u u u u r
.
故答案为：1-. 【点睛】
本题考查图形中数量积的计算，一般利用基底法结合平面向量数量积的定义和运算律来计算，也可以建立坐标系，利用坐标来计算，考查计算能力，属于中等题. 15．已知函数())
2ln
1f x x x =+，设()3log 0.2a f =，()0.24b f -=，
()1.12c f =-请将a 、b 、c 按照由大到小的排列顺序写出____>_____>_______.
【答案】c a b
【解析】利用函数奇偶性的定义可判断出函数())
2ln
1f x x x =+为偶函数，利用
复合函数的单调性判断出函数()y f x =在区间(],0-∞上为减函数，可知，该函数在区间[)0,+∞上为增函数，再比较3log 5、0.24-和 1.12这三个正数的大小，
从而可得出a 、
b 、
c 的大小关系.
【详解】
对任意的实数x x x >≥0x >恒成立，所以，函数
())
ln
f x x =的定义域为R ，
()))
))
()
1
ln
ln
ln
ln
f x x x
x x f x --===-==Q
，所以函数())
ln
f x x =为偶函数，
当0x ≤1x ≥≥，则())
ln
f x x =，
内层函数u x 为减函数，外层函数ln y u =为增函数，
所以，函数()y f x =在区间(],0-∞上为减函数，则该函数在区间[)0,+∞上为增函数，
()()()33331log 0.2log log 5log 55a f f f f ⎛
⎫===-= ⎪⎝
⎭Q ，()()
1.1 1.122c f f =-=.
Q 对数函数3log y x =在()0,∞+上为增函数，则333log 3log 5log 9<<，即
31log 52<<.
指数函数4x
y =为增函数，则0.20044-<<，即0.2041-<<. 指数函数2x
y =为增函数，则 1.122>， 1.1
0.632
log 540-∴>>>，
由于函数()y f x =在区间[)0,+∞上为增函数，因此，c a b >>. 故答案为：c ；a ；b . 【点睛】
本题考查函数值的大小比较，涉及了函数单调性与奇偶性的判断，在涉及偶函数的性质时，一般结合性质()()f x f
x =来判断，同时要注意将自变量置于同一单调区间，考
查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16．已知数列{}n a 中，()*
112,1,n n n a n a a a n N +=-=+∈，若对于任意的[]
2,2a ∈-，不等式
21
211
n a t at n +<+-+恒成立，则t 的取值范围为__________． 【答案】(][
),22,-∞-⋃+∞ 【解析】由题设可得111n n n a a a n n +-=
+，即111n n n a a n n
++=+，也即
111(1)n n a a n n n n +=+++，所以111
11n n a a n n n n +=+-++，令1,2,3,n n =⋅⋅⋅可得331212*********,,,,21123223433411
n n a a a a a a a a n n n n +=+-=+-=+-⋅⋅⋅=+-++，将以上n 等式两边相加可得1111
1331111
n a a n n n +=+-=-<+++，所以2213t at +-≥，
即2240t at +-≥，令2()24,[2,2]F a t at a =+-∈-，则
22(2)020
{{(2)020F t t F t t -≥--≥⇒≥+-≥，解之得2t ≥或2t ≤-，应填答案(,2][2,)-∞-+∞U 。

点睛：本题将数列的列项求和与不等式恒成立问题有机地加以整合，旨在考查数列通项递推关系，列项法求和，不等式恒成立等有关知识和方法．解答本题的关键是建立不等式组，求解时借助一次函数的图像建立不等式组
22(2)020{{(2)020
F t t F t t -≥--≥⇒≥+-≥，最后通过解不等式组使得问题巧妙获解．
三、解答题
17．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且
()
2cos cos b A C =.
（1）求角A 的大小；
（2）若角6
B π
=,点M 为BC 边上靠近点C 的一个四等分点，且AM =求ABC ∆的面积S .
【答案】（1）
6
π
（2）
【解析】（1函数公式变形，然后利用正弦定理化简，求出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数；
（2）结合（1）知三角形ABC 为等腰三角形b CA CB ==，b
4CM =
，23
C π=在三角形ABM 中利用余弦定理求出b ，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积． 【详解】
解：（1）2cos cos cos cos cos )b A A C a C c A =+=+Q
23sin()23sin =4sin cos R A C R B
R B A =+=
3
cos 2
A ∴=
，又A 为三角形的内角， 6
A π∴=
； （2）结合（1）知三角形ABC 为等腰三角形6
A B π
==，23
C π
=
，又因为点M 为BC 边上靠近点C 的一个四等分点则b
4
CM =
，在三角形ABM 中利用余弦定理 ()
2
2
2
b b +-21
4cos =cos120=
b 2b 4
C ︒⎛⎫
⎪⎝⎭⨯⨯
，解得b=4，
则11
sinC 44sin120=4322
ABC S AC BC ∆==⨯⨯⨯︒g g ．
【点睛】
此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等腰三角形的性质，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于基础题．
18．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，12AB AC AA ===，E 是
BC 的中点，F 是1A E 上一点，且12A F FE =.
（1）证明：AF ⊥平面1A BC ；
（2）求二面角11B A E B --余弦值的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）
15
5
. 【解析】（1）证明出1~AEF A EA ∆∆，可得出190AFE A AE ∠=∠=o
，即有1AF A E ⊥，
再证明出BC ⊥平面1A AE ，可得出AF BC ⊥，然后利用直线与平面垂直的判定定理可
证明出AF ⊥平面1A BC ；
（2）以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，然后利用空间向量法计算出二面角11B A E B --余弦值的大小. 【详解】
（1）由题意知，等腰直角三角形ABC ∆中，中线AE BC ⊥，且1
22
AE BC ==， 在直三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，
AE ∵、BC ⊂平面ABC ，从而知1AA AE ⊥，1AA BC ⊥，
一方面，在1Rt A AE ∆中，因为12A A =，2AE =，则16A E =.
由12A F FE =，可得6
3
EF =
，从而可知1A E AE EF AE =，又1AEF A EA ∠=∠， 则得1~AEF A EA ∆∆，由此可得190AFE A AE ∠=∠=o
，即有1AF A E ⊥.
另一方面，由1AA BC ⊥，AE BC ⊥，1AA AE A ⋂=，得BC ⊥平面1A AE ， 又AF ⊂平面1A AE ，则知BC AF ⊥.
综上，1AF A E ⊥，且AF BC ⊥，又1BC A E E =I ，故AF ⊥平面1A BC ，得证之； （2）由题意，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，
且有()0,0,0A 、()10,0,2A 、()2,0,0B 、()0,2,0C 、()1,1,0E ，
从而有()1,1,0AE =u u u r 、()11
,1,2EA =--u u u r 、()112,0,0A B =u u u u r
，
由12A F FE
=u u u u r u u u r
，可得11222,,3
333AF
AE EF AE EA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 记(),,n x y z =r
为平面11A B E 的一个法向量，
则有111200200x y z n EA x n A B ⎧---=⋅=⎧⎪⇔⎨⎨
=⋅=⎪⎩⎩
u u u v v u u u u v v ，取1z =，得()0,2,1n =r . 又由（1）知AF ⊥平面1A BC ，故可取()31,1,12
m AF ==u r u u u r
为平面1A BE 的一个法向量，
那么可得15cos ,553n n n m m
m ⋅===⋅r u r
r u r r u r .
因此，二面角11B A E B --余弦值的大小为15
. 【点睛】
本题考查直线与平面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19．某市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m （单位：平方米，60130m ≤≤）进行了一次调查统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年1月至2019年1月期间当月在售二手房均价y （单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码113-分别对应2018年1月至2019年1月）.
（1）试估计该市市民的购房面积的中位数0m ；
（2）从该市2018年1月至2019年1月期间所有购买二手房中的市民中任取3人，用频率估计概率，记这3人购房面积不低于100平方米的人数为X ，求X 的数学期望；
（3）根据散点图选择$$=+$y a b x $$ln y c d x =+$两个模型进行拟合，经过数据处理
得到两个回归方程，分别为$0.93690.0285y x =+$0.95540.0306ln y x =+，并得到一些统计量的值如下表所示：
请利用相关指数2R 判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出
2019年12月份的二手房购房均价（精确到0.001）
（参考数据）ln 20.69≈，ln3 1.10≈，ln 23 3.14≈，ln 25 3.22≈141≈，
1.73≈ 4.80≈.
（参考公式）µ(
)
()
2
2
12
1
1==-=-
-∑∑n
i i
i n i
i y y R y y .
【答案】（1）96；（2）1.2；（3）模型$0.95540.0306ln y x =+的拟合效果更好；1.052万元/平方米.
【解析】（1）利用中位数两边矩形面积之和均为0.5可计算出中位数的值；
（2）由题意可知，()~3,0.4X B ，然后利用二项分布的期望公式求出()E X 的值； （
3）计算出两个回归模型的相关指数，选择相关指数较大的回归模型较好，然后将2019年12月份对应的代码24代入回归方程可求出2019年12月份的二手房购房均价的估计值. 【详解】
（1）由频率分布直方图，可得，前三组频率和为0.050.10.20.35++=，前四组频率和为0.050.10.20250.6+++=，故中位数出现在第四组，且
00.15
9010960.25
m =+⨯
=； （2）由频率分布直方图，可得
每一位市民购房面积不低于100平方米的概率为0.20.150.050.4++=， 那么由题意则知()~3,0.4X B ，从而可得所求期望为()30.4 1.2=⨯=E X ； （3）设模型$0.9369y =+$0.9550.0306ln =+y x 的相关指数分别为2
1R ，
22R ，则210.00059110.006050R =-
，2
20.00016410.006050
R =-，显然2212R R <.
故模型$0.95540.0306ln y x =+的拟合效果更好. 由2019年12月份对应的代码为24，
则$()0.95540.0306ln 240.95540.03063ln 2ln3 1.052=+=++≈y 万元/平方米. 【点睛】
本题考查频率分布直方图中中位数的计算，同时也考查了二项分布期望的计算以及回归模型的选择，涉及了相关指数的计算，考查计算能力，属于中等题.
20．设椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的一个顶点与抛物线2
2:4C x y =的焦点重合，
1F 、2F 分别是椭圆1C 的左、右焦点，其离心率e =椭圆1C 右焦点2F 的直线l 与椭
圆1C 交于A 、B 两点. （1）求椭圆1C 的方程；
（2）是否存在直线l ，使得1OA OB ⋅=-u u u r u u u r
？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说
明理由.
【答案】（1）2
21:13
+=x C y ；
（2）存在，(12y x =±. 【解析】（1）求出抛物线2C 的焦点坐标可得出1b =，再结合离心率求出a 的值，由此可得出椭圆1C 的方程；
（2）分直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l 的斜率不存在时，求出A 、B 两
点的坐标，验证1OA OB ⋅=-u u u r u u u r
是否成立；在直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为
(
y k x =-，并设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 与椭圆1C 的方程联立，并列
出韦达定理，结合平面向量数量积的坐标运算得出关于k 的方程，解出即可. 【详解】
（1）由抛物线2
2:4C x y =的焦点为()0,1，则知1b =，
又结合2
2
2
a b c =+，c a =a =
2
21:13
+=x C y ；
（2）若直线l 不存在，可得⎭
A ，⎭
B ，不满足1OA OB ⋅=-u u u r u u u r ；
故直线斜率必然存在，由椭圆右焦点)
2
F ，可设直线l
为(y k x =，
记直线l 与椭圆的交点()11,A x y 、()22,B x y ，
由(2233
y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得到(
)222231630+-+-=k x x k .
由题意可知>0∆
恒成立，且有212231
x x k +=+，21226331k x x k -=+.
那么
(
)22121212122y y k x x k x x x x ⎡⎤=-=++⎣⎦
2222
2
222263126231313131k k k k k k k k k ⎡⎤-+-=-+=⎢⎥++++⎣⎦
则21212253
131
k OA OB x x y y k -⋅=+==-+u u u r u u u r ，解得12k =±. 因此，直线l
的方程为(1
2
y x =±. 【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了利用椭圆中向量数量积的运算求直线的方程，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法计算，考查计算能力，属于中等题.
21．已知函数()()22ln 0x
e f x a x x x x ⎛
⎫=+-> ⎪⎝
⎭.
（1）若0a =，求函数()()g x xf x =-的单调区间；
（2）若函数()f x 在区间()0,2内有两个极值点1x 、()212x x x <，求实数a 的取值范围；
（3）在（1）的基础上，求证：122ln x x a +<.
【答案】（1）单增区间为()1,+∞，单减区间为()0,1；（2）2,2e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
；（3）证明见解析.
【解析】（1）将0a =代入函数()y g x =的解析式得出()()0x
e g x x x
=>，然后利用
导数可求出函数()y g x =的单调增区间和减区间；
（2）对函数()y f x =求导得出()()()3
2x x e ax f x x --'=
，问题转化为函数
x y e ax =-在区间()0,2内有两个函数，等价于直线y a =与函数()y g x =在区间
()0,2上有两个交点，利用数形结合思想可求出实数a 的取值范围；
（3）由题意得出()()121111
2222ln ln ln ln x x g x a x a x e ax g x a x a x e ax ⎧⎧==+=⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨
==+=⎪⎩⎪⎩⎩
，将两个等式相加得12122ln ln x x a x x +=+，利用分析法得出要证的不等式等价于1201x x <<，再将两等式11
22
ln ln ln ln x a x x a x =+⎧⎨=+⎩相减得出12121ln ln x x x x -=-
，并证明出不等式
1212ln ln x x x x ->-
1<，从而得出1201x x <<，即可证明所证不等式成立. 【详解】
（1）0a =时，()()0x
e g x x x =>，则()()()2
10x e x g x x x
-'=>， 由()0g x '>，得1x >；()0g x '<，得01x <<.
因此，函数()y g x =的单增区间为()1,+∞，单减区间为()0,1；
（2）()()()()233
(2)21202x x
x e ax e x f x a x x x x x ---⎛⎫'=--=<< ⎪⎝⎭
，其中320x x ->， 由题意可知，1x 、2x 是函数x
y e ax =-在区间()0,2内的两个零点．
由0x
e ax -=得x
e a x
=，结合（1），则问题也等价于()g x a =在区间()0,2有两个零
点，
从而，可转化为直线y a =与()y g x =的图象在()0,2x ∈上有两个交点， 由（1）知，函数()y g x =在()0,1上单减，在()1,2上单增， 而当0x →时，()g x →+∞，()()min 1g x g e ==，()2
22
e g =，
如下图所示：
由图象可知，当2
2
e e a <<时，直线y a =与函数()y g x =在区间()0,2上的图象有两个交点，因此，实数a 的取值范围是2,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； （3）由（2）可知，1x 、2x 为()x
e g x a x
==在区间()0,2内的两个根， 且12012x x <<<<，其中1x =是函数()y g x =的极小值点，2
2
e e a <<. 由()()1211112222ln ln ln ln x x g x a x a x e ax g x a x a x e ax ⎧⎧==+=⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨==+=⎪⎩⎪⎩⎩
，可得12122ln ln x x a x x +=+ 故所证1212122ln ln 001x x a x x x x +<⇔<⇔<<. 下面证明出121212ln ln x x x x x x ->-11212221
12ln x x x x x x x x >=设()120,1x t x =，即证21ln t t t >-，即证()12ln 001t t t t
--<<<. 构造函数()12ln t t t t ϕ=--，其中01t <<，则()()22212110t t t t t
ϕ-'=-+=>， 所以，函数()y t ϕ=在区间()0,1上单调递增，当01t <<时，()()10t ϕϕ<=.
所以，当01t <<时，12ln 0t t t --<，所以，121212
ln ln x x x x x x ->-将等式112
2ln ln ln ln x a x x a x =+⎧⎨=+⎩两式相减得1212ln ln x x x x -=-，12121ln ln x x x x -∴=-. 121212
1ln ln x x x x x x -=-，因此，1201x x <<.
所以，122ln x x a +<.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用极值点的个数求参数以及利用导数处理极值点偏移的问题，在处理极值点的个数问题时，一般将问题转化为导函数的零点个数问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
22．已知极点与坐标原点O 重合，极轴与x 轴非负半轴重合，M 是曲线1:2sin C ρθ=上任一点P 满足3OP OM =u u u r u u u u r
，设点P 的轨迹为Q .
（1）求曲线Q 的平面直角坐标方程； （2）将曲线Q 向右平移1个单位后得到曲线N ，设曲线N 与直线:1x t l y t
=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）相交于A 、B 两点，记点()0,1T ，求TA TB +.
【答案】（1）()2
239x y +-=；（2
）【解析】（1）设点P 的极坐标为(),ρθ，可得出点M 的极坐标为,3ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，将点M 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程，可得出曲线Q 的极坐标方程，再将此极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）根据平移规律得出曲线N 的直角坐标方程，然后将直线l
的参数方程化为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），并将该参数方程与曲线N 的方程联立，列出韦达定理，利用韦达定理可计算出TA TB +的值.
【详解】
（1）设(),P ρθ，由3OP OM =u u u r u u u u r 可知点3OP OM =，那么,3M ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 将,3M ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入曲线C ，得2sin 3ρθ=， 则曲线Q 的极坐标方程为6sin ρθ=化为直角坐标方程，即得()2
239x y +-=为所求；
（2）将曲线Q 向右平移1个单位后，得到曲线N 的方程为()()22139x y -+-=.
将直线l
的参数方程化为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），
代入曲线N
的方程，整理得到240t -=，
记交点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t
，那么120t t +=
>，1240t t ⋅=-<. 那么，
1212TA TB t t t t +=+=-=
==. 【点睛】
本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了直线与圆的综合问题，涉及t 的几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.
23．已知函数()5f x x =-.
（1）解不等式：()(2)3f x f x ++≤；
（2）若0a <，求证：()(5)()f ax f a af x -≥.
【答案】（1）511,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；（2）详见解析. 【解析】（1）讨论x 的范围，去掉绝对值符号解不等式；
（2）利用绝对值三角不等式证明． 【详解】 （1）不等式化为533x x -+-≤.
当3x <时，原不等式等价于25x -≤-，即532
x ≤<； 当35x ≤≤时，原不等式等价于23≤，即35x ≤≤； 当5x >时，原不等式等价于283x -≤，即1152x <≤
. 综上，原不等式的解集为511,
22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. （2）由题意得 ()()55f ax af x ax a x -=--- 5555ax ax a ax ax a =-+-+≥--+ ()555a f a =-=，
所以()()()5f ax f a af x -≥成立.
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题．。