高考数学二轮复习 专题01 集合与简易逻辑教学案 文

2014年高考数学（文）二轮复习精品教学案：专题01 集合与简易逻
辑
一．考场传真
1.【2013年全国新课标1】已知集合}02|{2>-=x x x A ，}55|{<<-=x x B ，则(
)
A.∅=B A
B.R =B A
C.A B ⊆
D.B A ⊆
2.【2013年安徽】已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R C A B ⋂=（ ）
A.{}2,1--
B.{}2-
C.{}1,0,1-
D.{}0,1
3．【2013年福建】若集合}4,3,1{},3,2,1{==B A ，则B A 的子集个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．
16
4.
【2013年陕西】设全集为R ,
函数()f x =M , 则C M R 为（ ） A. [－1,1]
B. (－1,1)
C. ,1][1,)(∞-⋃+∞-
D. ,1)(1,)(∞-⋃+∞-
5.
【2013年四川】设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ）
A.:,2p x A x B ⌝∃∈∉
B.:,2p x A x B ⌝∀∉∉
C.:,2p x A x B ⌝∃∉∈
D.:,2p x A x B ⌝∃∈∈
6.【2013年陕西】设, b 为向量, 则“||||||⋅=∙”是“//”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
二．高考研究 【考纲解读】
1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法、描述法）描述不同的具体问题.了解“若p 则q ”形式的逆命题，否命题和逆否命题，会分析四种命题的相互关系.了解逻辑联接词“或”、“且”、“非”的含义.
2．理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，在具体情境中，了解全集与空集的含义.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 能使用韦恩（Venn ）图表达集合的关系与运算. 理解命题的概念.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.理解全称两次和存在量词的意义.
3.体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能力.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.体会分类讨论思想、数形结合思想、函数方程思想等数学思想在解题中的运用.
【命题规律】
从近几年高考题来看，集合的运算考查比较频繁，新课标用韦恩图表达集合的关系与运算，高考试卷中的相应内容页明显增加，应引起足够的重视. 有时也会出现一块创新的“试验田”.全称命题与特称命题，是新课标教材的新增内容，是考查的重点. 高考题型是选择题或填空题. 有时在大题的条件或结论中出现.
一．基础知识整合
（一）集合的概念及表示
1．集合：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）. 2．集合中元素的3个性质：互异性、确定性、无序性. 3．集合的3种表示方法：列举法、描述法、图像法. 4．集合的分类：无限集、有限集。

5．集合的表示方法：列举法、特征性质描述法．集合的表示方法是可以相互转化的． 6．常用数集符号
（二）．集合间的基本关系
1．集合与元素的关系：如果a 是集合A 中的元素可表示为a A ∈；如果a 不是集合A 中的元素可表示为a A ∉. 2．集合与集合的关系
如果集合A 是集合B 的真子集，可表示为
A B ． 如果集合A 是集合B 的子集，可表示为A ⊆B ．
3．集合相等
如果两个集合A 、B 中的元素完全相同，则这两个集合相等。

表示为A ＝B ． 集合A 与集合B 满足A ⊆B 且A ⊇B ,则A ＝B ．
4．空集的性质：用∅表示．空集是任何集合的子集．空集是任何非空集合的子集． 5. 有限集合A ,则：A 的子集个数是2n
； A 的真子集个数是2n
—1；
A 的非空子集个数是2n —1； A 的非空真子集个数是2n —2．
三．集合的基本运算及性质
2．逻辑关系,,,,,,,,(),,,,U U U U U U A B A A B B A B I A A A A A B A A B B A I I A A A A A A A U U A A A A U ⎧⊆⊆⊂=∅=∅⎪
⊇⊇==∅=⎨⎪==∅∅==∅=⎩．．．u
u u u u 痧痧痧
3．集合运算中的常用结论
交换律：,A B B A A B B A ==；
结合律：()(),()()A B C A B C A B C A B C ==；
分配律：()()(),()()()A B C A B A C A B C A B A C ==； 吸收律：(),()A
A B A A A B A ==；
反演律（德摩根律）：(),
()U U
U U
U U
A B A B A B A
B =
=u u u u u u 痧痧痧．
4．A
B A A B B A B =⇔=⇔⊆．
5．对两个有限集A 、B 有：card （A ∪B ）=card (A )+card （B ）—card （A ∩B ）．
四．命题
1. 命题：可以判断真假的语句．
简单命题：不含逻辑联结词的语句．
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题． 三种形式：p 或q ，p 且a , 非p
真假判断：p 或q , 同假为假，否则为真．p 且q , 同真为真．非p ，真假与原命题相反． 原命题：若p 则q ， 逆命题若q 则p ，否命题若p ⌝则q ⌝， 逆否命题若q ⌝则p ⌝ . 四种命题的关系可以用下图表示：
互为逆否的两个命题是等价的．原命题为真，它的逆命题不一定为真．
原命题为真，它的否命题不一定为真．原命题为真，它的逆否命题一定为真．
在命题若p 则q 中，否命题若p ⌝则q ⌝，命题的否定为若p 则q ⌝（仅否定结论）． p 、q 形式的复合命题的真值表
反证法的步骤：假设命题结论不成立原命题成立假设不成立推出矛盾⇒⇒⇒ ．
常见结论的否定形式
五．充分条件、必要条件
p 是q 的充分条件，即p ⇒q ，相当于分别满足条件p 和q 的两个集合P 与Q 之间有包
含关系：Q P ⊆，即P Q 或Q P =，必要条件正好相反.而充要条件p ⇔q 就相当于Q P =. 以下四种说法表达的意义是相同的：①命题“若p ，则q ”为真；②p ⇒q ；③p 是q 的充分条件；④q 是p 的必要条件.
充分条件、必要条件常用判断法：
1、 定义法：判断B 是A 的什么条件，实际上就是判断B ⇒A 或A ⇒B 是否成立，只要把题目中所给条件按照逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断．
2、转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价转换，例如改用其逆否命题进行判断．
3、集合法：在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记条件p 、q 所对应的集合分别为A 、B ，则：
○1若A ⊆B ,则p 是q 的充分条件．
○
2若A B ,则p 是q 的充分不必要条件．
○
3若A ⊇B ,则p 是q 的必要条件．
○
4若B A,则p 是q 的必要不充分条件．
○5若A =B , 则p 是q 的充要条件．
○
6若A B , 且A B 则p 是q 的既不充分也不必要条件．
六．全称量词与存在量词
全称量词:短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.
全称命题：含有全称量词的命题. 存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”、“对某个”、“有些”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 特称命题：含有存在量词的命题. 全称量词与存在量词表述：
七．含有一个量词的否定
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定有如下结论：
全称命题:,()p x M p x ∀∈，它的否定是00:,()p x M p x ⌝∃∈. 全称命题的否定是特称命题.
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定有如下结论：
特称命题00:,()p x M p x ⌝∃∈，它的否定是:,()p x M p x ∀∈. 特称命题的否定是全称命题. 八．常见结论的否定形式
二．高频考点突破
题型一：集合个数的判断
【例1】【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考】集合3
{|
1}A x N x
=∈≥，3{|log (1)1}B x N x =∈+≤，S A ⊆，S
B ≠∅，则集合S 的个数为（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
【举一反三】【浙江省温州市十校联合体2014届高三10月测试数学试题（文科）】已知集合
}4,3,2,1,0{=M ，}5,3,1{=N ，N M p =，则p 的子集共有( )
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
题型二：集合的运算
【例2】【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试】已知集合2{|}M x x x =>，
4{|,}2
x
N y y x M ==∈，则M
N = ( )
A.}2
10|{<<x x B.}12
1
|
{<<x x C.}10|{<<x x
D.}21|{<<x x
【举一反三】【2013年北京】已知集合}1,0,1{-A ，}11{≤≤-=x B ，则=B A ( )
A.}0{
B.}0,1{-
C.}1,0{
D.}1,0,1{-
题型三：文氏图的运用
【例3】【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考】已知全集U R =，集合{}Z x x x A ∈≤=,1|, {}
02|2=-=x x x B ,则图中的阴影部分表示的集合为( )
A.{}1-
B.{}2
C.{
}2,1 D. {}2,0
的内部表示集合与集合之间的关系.
【举一反三】【四川省绵阳南山中学高2014级零诊考试】全集R =U ,}02|{2≤-=x x A ,
}R ,cos |{∈==x x y y B ，则下图中阴影部分表示的集合为( )
A ．1|{-<x x 或}2>x
B ．}21|{≤≤-x x
C ．}1|{≤x x
D ．}10|{≤≤x x
题型四：与集合有关的创新试题 【例4】【湖北稳派教育2014届高三10月联合调研考试数学理科试题】在整数集Z 中，被5整除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为}Z |5{][∈+=n k n k ，4,3,2,1,0=k ，给出如下三个结论： ①]4[2014∈； ②]2[2∈-；
③]4[]3[]2[]1[]0[Z =；、
④“整数a 、b 属于同一“类”的充要条件是“]0[∈-b a ”.
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【举一反三】定义集合运算},,|{B y A x xy z z B A ∈∈==*，设}2,1{=A ，}2,0{=B ，则集合B A *的所有元素之和为（ ）
A. 0
B. 2
C.3
D.6
题型五：四种命题的关系及真假判断 【例5】【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考理科】命题“若
00,022===+b a b a 且则”的逆否命题是( )
A.若02
2≠+b a ，则0≠a 且0≠b
B ．若02
2≠+b a ，则若0≠a 或0≠b C.若0=a 且0=b ，则02
2≠+b a 若
D ．若0≠a 或0≠b 则02
2≠+b a
【举一反三】【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考】命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <.”的逆否命题是（ ）
A ．若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数
B ．若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数
C ．若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数
D ．若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数
题型六：充分条件与必要条件的判断
【例6】【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考理科】已知“命题2:()3()p x m x m ->-”是“命题2
:340q x x +-<”成立的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为_________________.
问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．
【举一反三】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）】“πϕ=”是“曲线
)2sin(ϕ+=x y 过坐标原点的”（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
题型七：全称命题与特称命题的命题真假判断
【例7】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】
已知:p “对任意的[2,4]x ∈，2log 0x a -≥”，:q “存在x R ∈，2
220x ax a ++-=”,若,p q 均为命题，而且“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 .
【举一反三】【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】下列说法正确的是( ) A. “1>a ”是“)1,0(log )(≠>=a a x x f a 在),0(+∞上为增函数”的充要条件
B. 命题“R x ∈∃使得0322
<++x x ”的否定是：“032,2
>++∈∀x x R x ” C. “1-=x ”是“0322
=++x x ”的必要不充分条件
D. 命题p ：“2c o s s i n ,≤+∈∀x x R x ”
，则⌝p 是真命题
题型八：全称命题与特称命题的命题的否定
【例8】【湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州中学2014届高三10月联考理科数学】命题“对
任意x R ∈都有2
1x ≥”的否定是（ ）
A.对任意x R ∈，都有2
1x <
B.不存在x R ∈，使得2
1x <
C.存在0x R ∈，使得2
01x ≥
D.存在0x R ∈，使得2
01x <
【举一反三】【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】命题“2
,220x R x x ∀∈-+>”的否定是 .
题型九：利用逻辑联结词的命题的真假求参数的取值（或范围）
【例9】【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试】设U R =,已知集合{|1}
A x x =>，{|}
B x x a =>，且()U
C A B R =，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,1)-∞
B ．(,1]-∞
C ．(1,)+∞
D ．[1,)+∞
【举一反三】【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考理科】已知命题p ：方程
012=++mx x 有两个不等的负实根，命题q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根．若p 或
q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．
三．错混辨析 1.忽视空集
【例1】已知集合2
{|560}A x x x =-+=，{|10}B x mx =-=，且A B B =，求实数m 所
构成的集合M ，并写出M 的所有子集.
2.混淆“命题p 是q 的充分不必要条件”与“命题p 的充分不必要条件是q ”
【例2】设m 、n 是平面α内的两条不同的直线，1l 、2l 是平面β内的两条相交直线，则α//β
的一个充分而不必要条件是（ ）
A. m //β且n //2l
B. m //1l 且n //2l
C. m //β且n //β
D. m //β且1l //α
3.未理解存在量词、全称量词的含义
【例3】已知命题p ：存在一个实数0x ，使得0202
0<--x x ，写出p ⌝
.
1.（改变题）已知集合Z},5|2||{∈<-=x x x A ，)}9ln(|{2
x y x B -==，则A B 为
（ ） A ． {}210--，
， B. {}21012--，，，， C. {}012，， D. {}1012-，
，，
2.（改变题）给出结论：①已知p ：“4=a ”，q ：“直线02=+-y x 与圆2
)(22=-+a y
x
相切”的必要不充分条件； ②命题:p x R ∃∈，tan 2
x π
>
；命题2
:,10q x R x x ∀∈-->，则命题“p q ∧⌝”是假命题；
④设a 、b 、c 分别是ABC ∆中A ∠、B ∠、C ∠所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ++=与sin sin 0bx y B C -+=垂直. 其中正确结论的序号为
理知12sin 1sin A b
k k a B
=-
⋅=-，故两直线垂直.正确. 故正确结论的序号为④.
3. 命题p ：x ，y 满足不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥-+≤-+20220632x y x y x ，q ：)0(2
22>>+r r y x ，若p
是q 的充分不必要条件，则r 的取值范围是 .。