2020-2021学年广东省汕尾市平东中学高二数学理上学期期末试题含解析

2020-2021学年广东省汕尾市平东中学高二数学理上学
期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若椭圆过点（－2，），则其焦距为（）
A. 2
B. 2
C. 4
D. 4
参考答案：
C
2. 设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
C
【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．
【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．
【解答】解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，
故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；
当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；
故选C．
3. 已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=( )
A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）
参考答案：
C
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】求出集合A，然后求出两个集合的交集．
【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，
则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．
故选：C．
【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．
4. 函数的定义域为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
5. 已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”给出下列四个函数：①；②；③；
④，其中有“巧值点”的函数的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
参考答案：
B
①，有“巧值点”②，
无解，无“巧值点”③，令
由零点在性定理，所以在上必有零点，f
（x）有“巧值点”④,即,无解，所以f（x）无“巧值点”。

所以有有“巧值点”的是①③，选B.
6. 正方体的边长为2，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A．12πB．﹣125πC．0 D．以上都不对
参考答案：
A
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【分析】由棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，知球半径R=，由此能求出球的表面积．
【解答】解：∵棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
∴球半径R=，
∴球的表面积S=4π（）2=12π．
故选A．
7. 数列满足,当
时,,则方程的根的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
C
8. 函数的最大值为（）
A． B．C．
D．
参考答案：
D
9. 两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为
（）
A．48 B．36 C．24 D．12
参考答案：
C
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【分析】根据题意，分3步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，由排列数公式可得其排法数目，②、两个小孩一定要排在一起，用捆绑法将其看成一个元素，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，由排列数公式可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：分3步进行分析，
①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，有A22=2种排法，
②、两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22=2种排法，
③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有A33=6种排法，
则共有2×2×6=24种排法，
故选C．
10. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）
A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+28
参考答案：
D
【考点】F1：归纳推理．
【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为1、4、9、16、25…，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．可得出最后结果．
【解答】解：这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，
且正方形数是这串数中相邻两数之和，
很容易看到：恰有21+28=49．
故选D．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为.
参考答案：
12. 若实数x，y满足，则的最小值是．
参考答案：
2
【考点】简单线性规划．
【分析】画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数z=的几何意义求出z的最小值．【解答】解：由不等式组表示的平面区域为，
如图所示；
目标函数z=的几何意义是平面区域内的点P（x，y）
与点O（0，0）连线的直线斜率，
由，解得A（1，2），
此时z=有最小值为2．
故答案为：2．
13. 已知命题p：?x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：?x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为．
参考答案：
a≤﹣2或a=1
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题．
【分析】根据命题“p且q”是真命题，得到两个命题都是真命题，当两个命题都是真命题时，第一个命题是一个恒成立问题，分离参数，根据x的范围，做出a的范围，第二个命题是一元二次方程有解问题，利用判别式得到结果．
【解答】解：∵“p且q”是真命题，
∴命题p、q均为真命题，
由于?x∈[1，2]，x2﹣a≥0，
∴a≤1；
又因为?x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，
∴△=4a2+4a﹣8≥0，
即（a﹣1）（a+2）≥0，
∴a≤﹣2或a≥1，
综上可知，a≤﹣2或a=1．
故答案为：a≤﹣2或a=1
【点评】本题考查命题真假的判断与应用，是一个综合题，这种题目一般是以解答题目出现，是一个不错的题目，但解起来容易出错．
14. 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒．当你到达路口时，看见红灯的概率是．
参考答案：
【考点】几何概型．
【专题】计算题．
【分析】本题是一个那可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40秒，满足条件的事件是红灯的时间为30秒，根据等可能事件的概率得到答案．
【解答】解：由题意知本题是一个那可能事件的概率，
试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40=75秒，
设红灯为事件A，满足条件的事件是红灯的时间为30秒，
根据等可能事件的概率得到
出现红灯的概率．
故答案为：．
【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个由时间长度之比确定概率的问题，这是几何概型中的一类题目，是最基础的题．
15. 命题“，”的否定是．
参考答案：
16. 已知等比数列的前项和为，若，则___________
参考答案：
33
略
17. 已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为。

参考答案：
1
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知等比数列{a n}中，a2=4，a5=32．
（1）求数列{a n}的通项公式与前n项和S n．
（2）设T n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求T n．
参考答案：
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程即可得到首项和公比，进而得到所求通项和求和；
（2）运用对数的运算性质和等差数列的求和公式，即可得到所求值．
【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，
由题意可得a1q=4，a1q4=32，
解得a1=q=2，
则a n=2n，S n==2n+1﹣2；
（2）T n=log2a1+log2a2+…+log2a n
=log22+log24+…+log22n
=1+2+…+n=n（n+1）．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查对数的运算性质，考查运算能力，属于基础题．
19. 如图，四棱锥B﹣ACDE的底面ACDE满足DE∥AC，AC=2DE．
（Ⅰ）若DC⊥平面ABC，AB⊥BC，求证：平面ABE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求证：在平面ABE内不存在直线与DC平行；
某同学用分析法证明第（1）问，用反证法证明第（2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容．
（Ⅰ）证明：欲证平面ABE⊥平面BCD，
只需证AB⊥平面BCD ，
由已知AB⊥BC，只需证AB⊥DC，
由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，
所以平面ABE⊥平面BCD．
（Ⅱ）证明：假设在平面ABE内存在直线与DC平行，
又因为DC?平面ABE，所以DC∥平面ABE．
又因为平面ACDE∩平面ABE=AE，
所以DC∥AE，
又因为DE∥AC，所以ACDE是平行四边形，
所以AC=DE，这与AC=2DE 矛盾，
所以假设错误，原结论正确．
参考答案：
【考点】棱锥的结构特征．
【分析】用分析法证明第（Ⅰ）问，用反证法证明第（Ⅱ）问，根据分析法、反证法的证明步骤，即可得出结论．
【解答】（Ⅰ）证明：欲证平面ABE⊥平面BCD，
只需证AB⊥平面BCD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由已知AB⊥BC，只需证AB⊥DC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，
所以平面ABE⊥平面BCD．
（Ⅱ）证明：假设在平面ABE内存在直线与DC平行，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又因为DC?平面ABE，所以DC∥平面ABE．
又因为平面ACDE∩平面ABE=AE，
所以DC∥AE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又因为DE∥AC，所以ACDE是平行四边形，
所以AC=DE，这与AC=2DE矛盾，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以假设错误，原结论正确．
故答案为AB⊥平面BCD；AB⊥DC；在平面ABE内存在直线与DC平行；DC∥AE；AC=2DE．
20. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）证明：平面BDE⊥平面PBC．
参考答案：
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO，易证EO为△PAC的中位线，从而OE∥PA，再利用线面平行的判断定理即可证得PA∥平面BDE；
（2）依题意，易证DE⊥底面PBC，再利用面面垂直的判断定理即可证得平面BDE⊥平面PBC．
【解答】证明：（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO．
∵底面ABCD是正方形，
∴O为AC的中点，又E为PC的中点，
∴OE∥PA，
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．…
（2）∵PD=DC，E是PC的中点，
∴DE⊥PC．
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AD．又由于AD⊥CD，PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，
所以有AD⊥DE．又由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．
于是，由BC∩PC=C，DE⊥PC，BC⊥DE可得DE⊥底面PBC．
故可得平面BDE⊥平面PBC．…
21. （本小题共12分）
如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱上的动点．
（Ⅰ）若Q是PA的中点，求证：PC//平面BDQ；
（Ⅱ）若PB=PD，求证：BD⊥CQ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若PA=PC，PB=3，
∠ABC=60o，求四棱锥P-ABCD的体积．
参考答案：
证明：（Ⅰ）连结AC，交BD于O．
因为底面ABCD为菱形，
所以O为AC中点．
因为Q是PA的中点，
所以OQ// PC，
因为OQ平面BDQ，PC平面BDQ，
所以PC//平面BDQ．…………………4分
（Ⅱ）因为底面ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，O为BD中点．
因为PB=PD，
所以PO⊥BD．.Com]
因为PO∩BD =O，
所以BD ⊥平面PAC．因为CQ平面PAC，
所以BD⊥CQ．……………………8分（Ⅲ）因为PA=PC，
所以△PAC为等腰三角形．
因为O为AC中点，
所以PO⊥AC．
由（Ⅱ）知PO⊥BD，且AC∩BD =O，
所以PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P-ABCD的高．
因为四边形是边长为2的菱形，且∠ABC=60o，
所以BO=，
所以PO=．]
所以，即
．……………………12分
略
22. 已知椭圆方程为，它的一个顶点为，离心率.（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线的距离为，求△AOB面积的最大值．
参考答案：
解：（1）设，依题意得
解得
椭圆的方程为
（2）①当AB
②当AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为
，
由已知得
代入椭圆方程，整理得
当且仅当时等号成立，此时③当
综上所述：，
此时面积取最大值
略。