北京市顺义区市级名校2025届高考考前提分数学仿真卷含解析

北京市顺义区市级名校2025届高考考前提分数学仿真卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线l ：210y x =+过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方
程为（ ）
A ．22
1520x y -=
B ．22
1205
x y -=
C ．22
1169
x y -
= D ．22
1916
x y -=
2．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ） A ．
1
3
B ．
310
C ．
25
D ．
34
3．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ） A ．±6
B ．6
C ．-6
D ．
13
2
4．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x
>，若在ABC ∆中，34A π
∠=，则（ ）
A ．()()2
2
sin sin sin sin f A B f B A <
B ．()()2
2
sinC sin sin sin f B f B C
<
C ．()()2
2
cos sin sin cos f A B f B A >
D ．()()2
2
cosC sin sin cos f B f B C >
5．已知函数有三个不同的零点
（其中
），则 的值为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．复数2
1i
- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+i
B ．1−i
C ．−1+i
D ．−1−i
7．
2020
1i i
=-（ ）
A ．2
2
B ． 2
C ．1
D ．1
4
8．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A ．12种
B ．24种
C ．36种
D ．48种
9．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种
10．如图，在中，点M 是边
的中点，将
沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线
段
上一点.若二面角与二面角
的平面角相等，则直线
经过
的（ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．内心
D ．外心
11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()2
20y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且
2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )
A 3
B ．
23
C 2
D ．1
12．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B ，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（ ） A ．平行 B ．重合
C ．垂直
D ．相交但不垂直
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}
|50B x x x =-<，则A B =_____________.
14．已知函数()()2
cos
10,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=++>>0,0<<
⎪⎝
⎭
的最大值为3，()f x 的图象与y 轴的交点坐标为
()0,2，其相邻两条对称轴间的距离为2，则()()()122015f f f ++⋅⋅⋅+=
15．已知函数211
,0()6
2ln ,0
a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是_______.
16．已知向量AB =（1，2），AC =（-3，1），则AB BC ⋅=______． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()y f x =.若在定义域内存在0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则称0x 为函数()y f x =的局部对称点.
（1）若a ，b R ∈且a ≠0，证明：函数()2f x ax bx a =+-有局部对称点；
（2）若函数()2x
g x c =+在定义域[]
1,1-内有局部对称点，求实数c 的取值范围；
（3）若函数()1
242
3x
x h x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.
18．（12分）己知点E ，F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的上顶点和左焦点，若EF 与圆22
43x y +=相切于
点T ，且点T 是线段EF 靠近点E 的三等分点.
()1求椭圆C 的标准方程；
()2直线:l y kx m =+与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第二象限，过坐标原点O 且与l 垂直的直线l '与圆
228x y +=相交于A ，B 两点，求PAB △面积的取值范围.
19．（12分）椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的右焦点)
2,0F
，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为
32
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点()2,0且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点.O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形
OMAN 面积的最大值.
20．（12分）设不等式2120x x -<--+<的解集为M ，,a b M ∈.
（1）证明：
111
364
a b +<； （2）比较14ab -与2a b -的大小，并说明理由.
21．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3b =，8c =，角A 为锐角，ABC ∆的面
积为（1）求角A 的大小； （2）求a 的值.
22．（10分）已知函数3
()3,()1ln f x x ax e g x x =-+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）用max{,}m n 表示,m n 中较大者，记函数()max{(),()},(0)h x f x g x x =>.若函数()h x 在()0,∞+上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】
根据直线l ：210y x =+过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点，得5c =，又和其中一条渐近线平行，得到
2b a =，再求双曲线方程.
【详解】
因为直线l ：210y x =+过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点，
所以()5,0F -，所以5c =， 又和其中一条渐近线平行， 所以2b a =，
所以25a =，220b =，
所以双曲线方程为22
1520
x y -=.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2、B 【解析】
将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可. 【详解】
设乙,丙,丁分别领到x 元,y 元,z 元,记为(,,)x y z ,则基本事件有
(1,1,4),(1,4,1) ,(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10个,其中符合乙获得“最佳手
气”的有3个,故所求概率为310
, 故选：B . 【点睛】
本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型. 3、B 【解析】
根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可. 【详解】
由等比数列中等比中项性质可知，23159a a a ⋅=，
所以96a ===±，
而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以96a =，
【点睛】
本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题. 4、D 【解析】 根据()()2'f x f x x >
的结构形式，设()()
2f x g x x =，求导()()()3
2xf x f x g x x
'-'=，则()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数，再根据在ABC ∆中，34A π∠=
，得到04π<∠<B ，04
π
<∠<C ，利用余弦函数的单调性，得到cos sin ∠>∠C B ，再利用()g x 的单调性求解. 【详解】 设()()
2
f x
g x x =
， 所以 ()
()()
3
2xf x f x g x
x
'-'=
，
因为当0x >时，()()
2'f x f x x
>
， 即
()()
20xf x f x x
'->，
所以()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数， 在ABC ∆中，因为34A π∠=，所以04π<∠<B ，04
π<∠<C ， 因为cos sin 4π⎛⎫
∠=+∠
⎪⎝⎭
C B ，且042ππ<∠<+∠<B B ，
所以sin sin 4π⎛⎫
∠<+∠
⎪⎝⎭
B B ， 即cos sin ∠>∠
C B ， 所以
()()
2
2
cos sin s sin f C f B co C
B
>
，
即()()22
cosC sin sin cos f B f B C > 故选：D
本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
5、A
【解析】
令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值.
【详解】
令，构造，求导得，当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，
若，即，则，则，且，
故，
若，即，由于，故，故不符合题意，舍去.
故选A.
【点睛】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
6、B
【解析】
分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．
详解：化简可得z=
21i -()()()
21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．
点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题． 7、A 【解析】
利用复数的乘方和除法法则将复数2020
1i i
-化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.
【详解】
()
505
20204505
11i i
===，
()()20201111
111122
i i i i i i i +===+---+，
因此，202012i i ==
-. 故选：A. 【点睛】
本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 8、C 【解析】
根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有2
22A =种，剩余的3门全排列，
即可求解. 【详解】
由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6
节，有3种，再考虑两者的顺序，有2
22A =种，
剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有3
36A =种，
所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636⨯⨯=种不同的排法. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
9、C 【解析】
先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项. 【详解】
把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有2
4C 种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有3
3A 种方法，由分步计数原理，共有23
4336C A ⋅=种方案。

故选：C. 【点睛】
本题主要考查排列与组合,常常运用捆绑法，插空法，先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题，属于中档题. 10、A 【解析】
根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案.
【详解】 二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.
故，即，两三棱锥高相等，故
，
故，故为
中点.
故选：. 【点睛】
本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 11、C 【解析】
试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 2001112
()(,)3333633
y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+，可得：
2000
22
3
22
22
63
OM y k y p y p p y p =
=
≤
=
++，当且仅当22002,2y p y ==时取等号，故选C ． 考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．
【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档
题．解题时一定要注意分析条件，根据条件2PM MF =，利用向量的运算可知200
(
,)633
y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题． 12、C 【解析】
试题分析：由已知直线sin 0A x ay c ⋅--=的斜率为
，直线sin sin 0bx B y C +⋅+=的斜率为
，又由正
弦定理得，故，两直线垂直
考点：直线与直线的位置关系
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、{}1,3 【解析】
由集合A 和集合B 求出交集即可. 【详解】 解：
集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}
|50B x x x =-<，
∴{}13A B ⋂=，.
故答案为：{}1,3. 【点睛】
本题考查了交集及其运算，属于基础题. 14、4030
【解析】12)22cos(21)(cos )(2
+++=++=A x A x A x f ϕωϕω，由题意，得⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧
===++==+2220122cos 2)0(31ω
πϕT A A f A ,
解得⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧===πωπϕ442A ，则x x x f 2sin 22)22cos()(πππ-=++=的周期为4，且3)3(,2)2(,1)1(,2)0(====f f f f ，所以4030)3()2()1(8503)2015()3()2()1(=+++⨯=+⋅⋅⋅+++f f f f f f f .
考点：三角函数的图像与性质.
15、1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】
由题意可()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解等价于21162a y x x =++关于原点对称的函数21162
a y x x =-+-与函数()()ln 0f x x x x =->的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析单调性与极值，画出函数图象，即可得到所求范围.
【详解】
已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数211,0()62ln ,0
a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩ 若()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解
等价于21162a y x x =
++关于原点对称的函数21162
a y x x =-+-与函数f (x )=lnx -x (x >0)的图象有两个交点， 联立可得211ln 062a x x x x -++=-有两个解，即2311ln 62
a x x x x x =-++ 可设()2311ln 62g x x x x x x =-++，则()21ln 22
32g x x x x '=-++， 进而()120g x x x ''=+-≥且不恒为零，可得()g x '在()0,∞+单调递增. 由()10g '=可得
01x <<时，()0,()g x g x '<单调递减；
1x >时，()0,()'>g x g x 单调递增，
即()g x 在1x =处取得极小值且为13-
作出()y g x =的图象，可得103-
<<a 时，211ln 062a x x x x -++=-有两个解. 故答案为：1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题.
16、-6
【解析】
由BC AC AB =-可求BC ，然后根据向量数量积的坐标表示可求AB •BC .
【详解】
∵AB =（1，2），AC =（-3，1），∴BC AC AB =-=（-4，-1），
则AB •BC =1×（-4）+2×（-1）=-6
故答案为-6
【点睛】
本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础试题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析（2）514c -
≤≤-（3）1m ≤【解析】
（1）若函数()2f x ax bx a =+-有局部对称点,则()()0f x f x -+=,即()()
220ax bx a ax bx a +-+--=有解,即可求证； （2）由题可得()()0g x g x -+=在[]
1,1-内有解,即方程2220x x c -++=在区间[]1,1-上有解,则222x x c --=+,设2(11)x t x =-≤≤,利用导函数求得22x x -+的范围,即可求得c 的范围；
（3）由题可得()()0h x h x -+=在R 上有解,即()12124234230x x x x m m m m --++-⋅+-+-⋅+-=在R 上有解,设22(2)x x t t -+=≥,则可变形为方程222280t mt m -+-=在区间[)2,+∞内有解,进而求解即可.
【详解】
（1）证明:由()2f x ax bx a =+-得()2f x ax bx a -=--,
代入()()0f x f x -+=得()()
220ax bx a ax bx a +-+--=, 则得到关于x 的方程2
0(0)ax a a -=≠,由于a R ∈且0a ≠,所以1x =±,
所以函数()2(0)f x ax bx a a =+-≠必有局部对称点 （2）解:由题,因为函数()2x g x c =+在定义域[]
1,1-内有局部对称点 所以()()0g x g x -+=在[]1,1-内有解,即方程2220x x c -++=在区间[]1,1-上有解,
所以222x x c --=+,
设2(11)x t x =-≤≤,则
122t ≤≤,所以12c t t -=+ 令11(),22s t t t t =+≤≤,则22
1(1)(1)()1t t s t t t -+'=-=, 当1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时,()0s t '<,故函数()s t 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,当()1,2t ∈时,()0s t '>, 故函数()s t 在区间1,2上单调递增,
所以()()min 12s t s ==, 因为1522
s ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()522S =,所以()max 52s t =,所以1522t t ≤+≤, 所以514
c -≤≤- （3）解:由题,12()423x x h x m m --+-=-⋅+-,
由于()()0h x h x -+=,所以()12124
234230x x x x m m m m --++-⋅+-+-⋅+-=, 所以()()()244
222230x x x x m m --+-++-=（*）在R 上有解, 令22(2)x x t t -+=≥,则2442x x t -+=-,
所以方程（*）变为222280t mt m -+-=在区间[)2,+∞内有解,
需满足条件：
()
2248402m m ⎧∆=--≥≥
,
即1m m ⎧-≤≤⎪⎨-≤≤
⎪⎩
得1m ≤【点睛】
本题考查函数的局部对称点的理解,利用导函数研究函数的最值问题,考查转化思想与运算能力.
18、()122
162x y +=;()
2(
0,4⎤-⎦. 【解析】
()1连接OT ，由三角形相似得，243
OT ET TF =⋅=
，进而得出26a =，22222b OE OT ET ==+=，写出椭圆C 的标准方程； ()2由22
162y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩
得，()222316360k x kmx m +++-=，因为直线:l y kx m =+与椭圆C 相切于点P ，0∆=，解得2331km x k -=+，231
m y k =+，因为点P 在第二象限，所以0k >，0m >
，所以m =l '与l 垂直交于点Q ，则PQ 是点P 到直线l '的距离，设直线l '的方程为1=-
y x k
，则PQ =，求出PAB △面积的取值范围.
【详解】
解：()1连接OT ，由EOT OFT ∽可得2124333
OT ET TF a a =⋅=⋅=， 26a =，22222b OE OT ET ==+=，
椭圆C 的标准方程22
162
x y +=； ()2由22
16
2y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()222316360k x kmx m +++-=， 因为直线:l y kx m =+与椭圆C 相切于点P ，
所以()()()()2
222264313612620km k m k m ∆=-+-=+-=，即2262m k =+， 解得2331km x k -=+，231
m y k =+， 即点P 的坐标为223,3131km m k k -⎛⎫
⎪++⎝⎭， 因为点P 在第二象限，所以0k >，0m >，
所以m =
所以点P
的坐标为， 设直线l '与l 垂直交于点Q ，则PQ 是点P 到直线l '的距离，
设直线l '的方程为1=-y x k
，
则PQ =
=≤
== 当且仅当2213k k =
，即2k =时，PQ
所以142PAB S PQ =⨯≤，即PAB △
面积的取值范围为(
0,4⎤-⎦. 【点睛】
本题考查直线和椭圆位置关系的应用，利用基本不等式，属于难题.
19、（1）22
186x y +（2
）最大值【解析】
（1
）根据通径2
2b a
=
c = （2）设直线MN 方程为2x my =+，联立椭圆，利用OAM OAN OMAN S S S =+四边形，用含m 的式子表示出OAM OAN OMAN S S S =+四边形
，用t =换元，
可得OMAN S t t
==+四边形，最后用均值不等式求解.
【详解】
解：（1
）依题意有c =
a =
b =，所以椭圆的方程为22
186x y +.
（2）设直线MN 的方程为2x my =+，联立22
1862x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()223412120m y my ++-=.
所以1221234m y y m -+=
+，1221234
y y m -=+.
所以12121122OAM OAN OMAN S S
S y y y =+=⨯+⨯=
-四边形
===
.
令
t =，则t ≥
所以22
2OMAN S t t t
==++四边形
，因t ≥
2t t +≥
OMAN S ≤四边形t =，即0m =时取得等号，
即四边形OMAN 面积的最大值【点睛】
考查椭圆方程的求法和椭圆中四边形面积最大值的求法，是难题.
20、 (1)证明见解析；(2)|14|2||ab a b ->-.
【解析】
试题分析：
(1)首先求得集合M ，然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论；
(2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab |＞2|a -b |.
试题解析：
（Ⅰ）证明：记f (x ) =|x -1|-|x +2|，
则f (x )=3-21,3,x ⎧⎪-⎨⎪-⎩
， 2211.x x x ≤--<<≥，所以解得-12＜x ＜12，故M =(-12,12). 所以，|36a b +|≤13|a |+16|b |＜13×12+16×12=14
. （Ⅱ）由（Ⅰ）得0≤a 2＜14，0≤b 2＜14. |1-4ab |2-4|a -b |2=(1-8ab +16a 2b 2)-4(a 2-2ab +b 2)=4(a 2-1)(b 2-1)>0.
所以，|1-4ab |＞2|a -b |.
21、（1）3
π；（2）7. 【解析】
分析：（1）由三角形面积公式和已知条件求得sinA 的值，进而求得A ；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A 求
得a ．
详解：（1）∵1sin 2ABC S bc A ∆= 138sin 2A =⨯⨯⨯=
∴sin A =， ∵A 为锐角， ∴3A π
=；
（2）由余弦定理得：
a =7==. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记
两种形式：（1）222
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
22、（1）函数()f x 的单调递增区间为(,-∞和)+∞，单调递减区间为(；（2）213e a +>. 【解析】
（1）由题可得()2
33f x x a '=-,结合a 的范围判断()f x '的正负,即可求解； （2）结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解
【详解】
（1）()2
33f x x a '=-, ①当0a ≤时,0f
x （）≥, ∴函数()f x 在∞∞（-，+）
内单调递增；
②当0a >时,令()3(0f x x x '==,解得x =x =
当x <x >,()0f x '>,则()f x 单调递增,
当x <<,()0f x '<,则()f x 单调递减,
∴函数()f x 的单调递增区间为(,-∞和)+∞,单调递减区间为(
（2）（Ⅰ）当(0,e)x ∈时,()0,()()0,g x h x g x >>所以()h x 在(0,)e 上无零点；
（Ⅱ）当x e =时,3()0,()3g e f e e ae e ==-+,
①若3
()30f e e ae e =-+,即213e a +,则e 是()h x 的一个零点； ②若3
()30f e e ae e =-+>,即2e 13a +<,则e 不是()h x 的零点 （Ⅲ）当(,)x e ∈+∞时,()0<g x ,所以此时只需考虑函数()f x 在(,)e +∞上零点的情况,因为
22()333e 3f x x a a '=->-,所以
①当2a e 时,()0,()f x f x '>在(,)e +∞上单调递增。

又3()3f e e ae e =-+，所以
（ⅰ）当2e 13
a +≤时,()0,()f e f x 在(,)e +∞上无零点； （ⅱ）当22e 1e 3
a +<≤时,()0f e <,又332(2)86860f e e ae e e e e =-+-+>,所以此时()f x 在(,)e +∞上恰有一个零点；
②当2a e >时,令()0f x '=,得x a =由()0f x '<,得e x a <<
()0f x '>,得x a >所以()f x 在()e a 上单
调递减,在(,)a +∞上单调递增,
因为333()330f e e ae e e e e =-+<-+<,32222(2)868620f a a a e a a e a e =-+>-+=+>,所以此时()f x 在(,)e +∞上恰有一个零点,
综上,213
e a +> 【点睛】
本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力,考查分类讨论思想。