(完整版)数学苏教七年级下册期末复习必备知识点题目精选答案

（完整版）数学苏教七年级下册期末复习必备知识点题目精选答案
一、选择题
1．下列计算结果正确的是（ ）
A ．257x x x +=
B ．236x x x ⋅=
C ．236x x x ⋅=
D ．325()x x =
2．如图所示，下列说法正确的是（ ）
A ．2∠与1∠是内错角
B ．2∠与3∠是同位角
C ．3∠与B 是同旁内角
D ．A ∠与3∠是内错角 3．方程组
的解是( ) A ． B ． C ． D ． 4．已知a ＜b ，则下列四个不等式中，不正确的是（ ）
A ．﹣2a ＜﹣2b
B ．5a ＜5b
C ．a ﹣2＜b ﹣2
D ．1.2+a ＜1.2+b
5．若关于x 的不等式组1420
x a x -⎧⎨-≤⎩＞的解集为x ≥2，则a 的取值范围为（ ） A ．a ＜2 B ．a ＞1 C ．a ≤1 D ．a ＜1
6．给出下列4个命题：①若22a b =，则a b =；②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；③若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等；④同位角相等，两直线平行．其中真命题的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点B C 、对应的数分别为1-和0．若正方形ABCD 绕着点C 顺时针方向在数轴上翻转，翻转1次后，点D 所对应的数为1；绕点D 翻转第2次；继续翻转，则翻转2020次后，数轴上数2020所对应的点是（ ）
A ．点A
B ．点B
C ．点C
D ．点D
8．如图，在三角形ABC 中，45C ∠=︒，90B ∠=︒，点D 是BC 上的一点（与点B ，C 不重合），点E 是AC 上的一点（与点A ，C 不重合），将三角形CDE 沿DE 翻折，若'⊥C E BC ，则∠EDC 的度数为（ ）
A ．22.5︒
B ．25︒
C ．27.5︒
D ．30
二、填空题
9．计算：()23223a b a b ⋅-=______．
10．用一组数a ，b ，c 说明命题“若a b <，则ac bc <”是假命题，则a ，b ，c 可以______．
11．一个正多边形的每个外角都是45°，则这个正多边形是正___边形．
12．已知a+2b ＝2，a ﹣2b ＝12
，则a 2﹣4b 2＝_____． 13．若关于x 、y 的二元一次方程组1112
22,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为3,2x y =⎧⎨=⎩，则关于x 、y 的二元一次方程组1112
22(1)2,(1)2a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩的解为________． 14．如图，为了把河中的水引到C 处，可过点C 作CD ⊥AB 于D ，然后沿CD 开渠，这样做可使所开的渠道最短，这种设计的依据是________．
15．若三角形两条边的长分别是3，5，第三条边的长是整数，则第三条边的长的最大值是______．
16．如图，1∠与23∠+∠的大小关系为：1∠______23∠+∠．
17．计算或化简．
（1）101()2))(2(32
------+
（2）2332()a a a a +⋅⋅
（3）22(3222))(3mn m m mn ---
18．因式分解：
（1）x 3﹣16x ；
（2）﹣2x 3y +4x 2y 2﹣2xy 3．
19．（1）解方程组：1(1)37(2)
x y x y =+⎧⎨+=⎩ （2）解方程组：5210(1)258(2)x y x y +=⎧⎨+=⎩ 20．解下列不等式或不等式组：
（1）7132184
x x ->-- （2）21541
x x x x -≥⎧⎨+<-⎩ 三、解答题
21．已知，ABC ∆中，C B ∠>∠，AE 平分BAC ∠，M 是AE 上一点，MN BC ⊥于N ， （1）当M 与A 重合时，如图1，
①若40B ∠=︒，80C ∠=︒，求EMN ∠的度数；
②问EMN ∠与B ，C ∠之间有何关系？请证明你的结论；
（2）如图2，D 是BC 延长线上一点，若CAD D ∠=∠，MC AD ⊥于点F ，试探究CMN ∠与ACB ∠的关系．
22．某水果店到水果批发市场采购苹果，师傅看中了甲、乙两家某种品质一样的苹果，零售价都为8元/千克，批发价各不相同，甲家规定：批发数量不超过100千克，全部按零价的九折优惠；批发数量超过100千克全部按零售价的八五折优惠，乙家的规定如下表： 数量范围（千
克）
不超过50的部分 50以上但不超过150的部分 150以上的部分 价格（元） 零售价的95% 零售价的85% 零售价的75% （1）如果师傅要批发240千克苹果选择哪家批发更优惠？
（2）设批发x 千克苹果（100x >），问师傅应怎样选择两家批发商所花费用更少？
23．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+2by﹣1（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a•0+2b•1﹣1=2b﹣1．（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=3．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组
(2m,54)4
(32)?
T m
T m m p
⎩
-≤
->
⎧
⎨
，
恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
24．【问题探究】如图1，DF∥CE，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β，猜想∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；
【问题迁移】
如图2，DF∥CE，点P在三角板AB边上滑动，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β.
（1）当点P在E、F两点之间运动时，如果α=30°，β=40°，则∠DPC= °.
（2）如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），写出∠DPC 与α、β之间的数量关系，并说明理由．
（图1）（图2）
25．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF//GH．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值若变化，说明理由．
【参考答案】
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据整式的运算法则即可求出答案．
【详解】
解：A、原式＝7x，故A正确．
B、原式＝6x2，故B错误．
C、原式＝x5，故C错误．
D、原式＝x6，故D错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．2．C
解析：C
【分析】
根据同位角，同旁内角，内错角的定义可以得到结果．
【详解】
解：A、2
∠不是内错角，故错误；
∠与1
∠是邻补角，故错误；
B、2
∠与3
∠与B是同旁内角，故正确；
C、3
∠是同位角，故错误；
D、A
∠与3
故选C．
【点睛】
本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的概念，比较简单．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】 解：，
①+②×2得：9x=18，即x=2，
把x=2代入①得：y=3， 则方程组的解为
，故选B.
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 4．A
解析：A
【分析】
利用不等式的性质对各选项进行判断．
【详解】
根据不等式的性质可得：
A 、在a b <的两边同时乘以-2，可得22a b ->-，故A 不正确，符合题意；
B 、在a b <的两边同时乘以5，可得55a b <，故B 正确，不符合题意；
C 、在a b <的两边同时减去2，可得22a b -<-，故C 正确，不符合题意；
D 、在a b <的两边同时加上1.2，可得1.2+a ＜1.2+b ，故D 正确，不符合题意； 综上，只有选项A 不正确．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变．
5．D
解析：D
【分析】
先分别解得两个不等式的解集，再根据不等式组的解集是x ≥2得出关于a 的不等式，解之可得答案．
【详解】
解：解不等式x ﹣a ＞1，得：x ＞1+a ，
解不等式4﹣2x ≤0，得：x ≥2，
∵关于x 的不等式组1420x a x -⎧⎨-≤⎩
＞的解集为x ≥2， ∴1+a ＜2，
解得：a ＜1，
故选：D ．
【点睛】
主要考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求a 的值． 6．A
解析：A
【分析】
利用等式的性质、互补的定义、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①若a 2=b 2，则a=b 或a=-b ，原命题是假命题；
②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角，也可能都是直角，原命题是假命题；
③若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，原命题是假命题；
④同位角相等，两直线平行是真命题；
故选：A ．
【点睛】
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等式的性质、互补的定义、平行线的性质等知识，难度不大．
7．C
解析：C
【分析】
根据题意可知每4次翻转为一个循环组依次循环，用2020除以4，根据正好能整除可得解．
【详解】
解：由题意可得：
点C 对应0，点D 对应1，点A 对应2，点B 对应3，点C 对应4，...，
∵每4次翻转为一个循环组依次循环，
∴2020÷4=505，
∴翻转2020次后，数轴上数2020所对应的点是点C ．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．
8．A
【分析】
延长C E '交BC 于点F ，则∠B C F '＝90°，根据折叠的性质可得∠C DE '＝∠CDE ，∠C '＝∠C ＝45°，再利用三角形的内角和定理即可求的答案．
【详解】
解：如图，延长C E '交BC 于点F ，则∠B C F '＝90°，
∵折叠，
∴∠C DE '＝∠CDE ，∠C '＝∠C ＝45°，
∴∠C C D '＝180°－∠C '－∠B C F '
＝180°－45°－90°
＝45°，
又∵∠C DE '＝∠CDE ，
∴∠C DE '＝∠CDE ＝22.5°，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了垂直的定义，折叠的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质以及三角形的内角和定理是解决本题的关键．
二、填空题
9．536a b -
【分析】
根据单项式乘单项式的运算法则进行计算．
【详解】
解：原式()231253236a
b a b ++=⨯-⋅⋅=-． 故答案是：536a b -．
【点睛】
本题考查单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则．
10．例如1，2，1-（符合条件即可）
【分析】
由不等式的基本性质进行判断，即可得到答案．
解：当a b <，0c >时，
∴ac bc <是真命题；
当a b <，0c ≤时，
∴ac bc <是假命题；
∴a ，b ，c 可以为：1、2、1-．
故答案为：例如1，2，1-（符合条件即可）．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，以及判断命题的真假，解题的关键是掌握不懂呢过是的基本性质进行判断．
11．八
【分析】
根据多边形的外角和等于360︒即可得．
【详解】
解：因为多边形的外角和等于360︒，
所以这个正多边形的边数是360458︒÷︒=，
即这个正多边形是正八边形，
故答案为：八．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和等于360︒是解题关键．
12．1
【解析】
【分析】
原式利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
∵a+2b ＝2，a ﹣2b ＝12
， ∴原式＝（a+2b ）（a ﹣2b ）＝2×12
＝1， 故答案为：1
【点睛】
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
13．21x y =⎧⎨=⎩
【分析】
把32x y =⎧⎨=⎩代入111222
a x
b y
c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，结合所求的方程组即可得到关于x ，y 的方程，求解即可． 【详解】
解：把32x y =⎧⎨=⎩代入111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩得：1112
223232a b c a b c +=⎧⎨+=⎩ 又∵1112
22(1)2,(1)2a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩ ∴1322x y +=⎧⎨=⎩⇒21x y =⎧⎨=⎩
故答案为：21
x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】
本题主要考查了二元一次方程的解，结合两个方程组得到关于x ，y 的方程是解题的关键．
14．D
解析：垂线段最短
【分析】
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
【详解】
解：过D 点引CD ⊥AB 于D ，然后沿CD 开渠，可使所开渠道最短，这种设计的依据是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】
本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上任意一点的连线中垂线段最短．
15．7
【分析】
根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
【详解】
解：∵5-3＜第三边＜3+5，
即：2＜第三边＜8；
所以最大整数是7，
故答案为：7．
解析：7
【分析】
根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
【详解】
解：∵5-3＜第三边＜3+5，
即：2＜第三边＜8；
所以最大整数是7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答．16．＞
【分析】
如图（见解析）延长的一条边，根据三角形外角的性质，即可求解
【详解】
解：如图延长的一条边，
根据三角形外角的性质可得：
故答案为＞．
【点睛】
此题考查了三角形外角的性质，掌握三角
解析：＞
【分析】
如图（见解析）延长1
∠的一条边，根据三角形外角的性质，即可求解
【详解】
解：如图延长1
∠的一条边，
∠>∠>∠=∠+∠
根据三角形外角的性质可得：15412
故答案为＞．
【点睛】
此题考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质并根据图形构造出角之间的关系是解题的关键．
17．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据实数的性质化简即可求解；
（2）根据幂的运算法则即可求解；
（3）根据整式的加减运算法则即可求解．
【详解】
解：（1）
；
（2）
（3）原
解析：（1）4；（2）62a ；（3）278mn m -
【分析】
（1）根据实数的性质化简即可求解；
（2）根据幂的运算法则即可求解；
（3）根据整式的加减运算法则即可求解．
【详解】
解：（1）101()2))(2(32
------+ 2123=+-+
4=；
（2）2332()a a a a +⋅⋅
66a a =+
62a =
（3）原式223264mn m m mn =+--
278mn m =-．
【点睛】
此题主要考查实数与整式的运算，解题的关键是熟知负指数幂的运算法则．
18．（1）x （x+4）（x ﹣4）；（2）﹣2xy （x ﹣y ）2．
【分析】
（1）先提公因式，再利用平方差公式；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式．
【详解】
解：（1）原式＝x （x2﹣16）
＝x （
解析：（1）x （x +4）（x ﹣4）；（2）﹣2xy （x ﹣y ）2．
【分析】
（1）先提公因式，再利用平方差公式；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式．
【详解】
解：（1）原式＝x （x 2﹣16）
＝x （x +4）（x ﹣4）；
（2）原式＝﹣2xy （x 2﹣2xy +y 2）
＝﹣2xy（x﹣y）2．
【点睛】
本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的方法. 19．（1）；（2）
【分析】
（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】
解：（1）把（1）代入（2）得：3（y+1）+y=7，
解得：y=1，
把y=1代
解析：（1）
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；（2）
34
21
20
21
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
【分析】
（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】
解：（1）把（1）代入（2）得：3（y+1）+y=7，解得：y=1，
把y=1代入（1）得：x=1+1=2，
则方程组的解为
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；
（2）（2）×5-（1）×2得：21y=20，
解得：y=20
21
代入（2）得：2x+5×
20
21
=8，
解得：x=34 21
，
则方程组的解为
34
21
20
21
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20．（1）；（2）
【分析】
（1）按照先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤解不
等式即可；
（2）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．
【详解】
解：（1），
去分母
解析：（1）1x <；（2）2x ≥
【分析】
（1）按照先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤解不等式即可； （2）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．
【详解】
解：（1）7132184
x x ->--， 去分母得：8(71)232x x ，
去括号得：87164x x -+>-，
移项得：76418x x ，
合并得：1313x ->-，
化系数为1得：1x <；
（2）21541x x x x -≥⎧⎨+<-⎩
①②， 解不等式①得：1≥x ，
解不等式②得： 63x ≤，
2x ≥，
∴不等式组的解集是2x ≥．
【点睛】
本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式的方法．
三、解答题
21．（1）①；②，证明见解析；（2）
【分析】
（1）①首先根据三角形内角和求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠CAE 的度数，然后根据直角三角形中两锐角互余求出∠CAN 的度数，即可求出∠EA
解析：（1）①20EMN ∠=︒；②()12
EMN C B ∠=
∠-∠，证明见解析；（2）12CMN ACB ∠=∠ 【分析】
（1）①首先根据三角形内角和求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠CAE
的度数，然后根据直角三角形中两锐角互余求出∠CAN 的度数，即可求出∠EAN 的度数；
②首先根据角平分线的性质得到∠BAE =12
BAC ∠，然后根据三角形内角和得到∠BAC =180°-∠B -∠C ，然后根据∠AEC =∠B +∠BAE ，最后根据∠CMN +∠AEN =90°通过角度之间的等量代换即可表示出EMN ∠与B ，C ∠之间的关键．
（2）根据直角三角形CMN 和CDF 得到∠CMN =∠D ，然后根据外角的性质和CAD D ∠=∠即可得出CMN ∠与ACB ∠的关系．
【详解】
解：（1）①∵40B ∠=︒，80C ∠=︒，
∴180408060BAC ∠=︒-︒-︒=︒，
又∵AE 平分BAC ∠， ∴1302CAE BAE ∠=∠=︒，
∵80C ∠=︒，90MNC ∠=︒，
∴10CMN ∠=︒，
∴301020EMN CAE CMN ∠=∠-∠=︒-︒=︒； ②()12
EMN C B ∠=∠-∠． 证明：∵AD 平分BAC ∠，∴12BME BAC ∠=
∠， ∵MN BC ⊥
∴90MNE ∠=︒
∴()9090EMN MEN EMB B ∠=︒-∠=︒-∠+∠
()1119090222BAC B BAC B B ⎛⎫⎡⎤=︒-∠+∠=︒-∠+∠+∠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()119018022C B ⎡⎤=︒-︒-∠+∠⎢⎥⎣⎦()12
C B =∠-∠； （2）∵MC A
D ⊥于点F ，
∴∠CFD =90°，
又∵∠MNC =90°，∠MCN =∠DCF ，
∴∠CMN =∠D ，
又∵∠ACB =∠D +∠CAD ，∠D =∠CAD ，
∴∠ACB =2∠D ，
∴∠ACB =2∠CMN ，即∠CMN =1
2∠ACB ．
【点睛】
此题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的性质． 22．（1）在乙家批发更优惠；（2）当x=200时他选择任何一家批发所花费用一样多；当100＜x ＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少；当x ＞200
时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少．
【分析】
解析：（1）在乙家批发更优惠；（2）当x=200时他选择任何一家批发所花费用一样多；当100＜x＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少；当x＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少．
【分析】
（1）分别求出在甲、乙两家批发240千克苹果所需费用，比较后即可得出结论；
（2）分两种情况：①若100<x≤150时，②若x>150时，分别用含x的代数式表示出在甲、乙两家批发x千克苹果所需费用，再比较大小，列出不等式，求出x的范围，即可得到结论．
【详解】
（1）在甲家批发所需费用为：240×8×85%=1632（元），
在乙家批发所需费用为：50×8×95%+(150−50)×8×85%+(240−150)×8×75%=1600（元），
∵1632>1600，
∴在乙家批发更优惠；
（2）①若100<x≤150时，
在甲家批发所需费用为：8×85%x=6.8x，
在乙家批发所需费用为：50×8×95%+(x−50)×8×85%=6.8x+40，
∵6.8x＜6.8x+40，
∴师傅应选择甲家批发商所花费用更少；
②若x>150时，
在甲家批发所需费用为：8×85%x=6.8x，
在乙家批发所需费用为：50×8×95%+(150−50)×8×85%+(x−150)×8×75%=6x+160，
当6.8x=6x+160时，即x=200时，师傅选择两家批发商所花费用一样多，
当6.8x＞6x+160时，即x＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少，
当6.8x＜6x+160时，即150＜x＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少．
综上所得：当x=200时他选择任何一家批发所花费用一样多；当100＜x＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少；当x＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少．【点睛】
本题主要考查代数式，一元一次方程，一元一次不等式的综合实际应用，理清数量关系，列出代数式，不等式或方程，是解题的关键．
23．（1）①a=1，b=3；②-2≤p＜-；（2）a=2b．
【分析】
（1）①按题意的运算可得方程组，即可求得a、b的值；
②按题意的运算可得不等式组，即可求得p的取值范围；
（2）由题意可得ax+2
解析：（1）①a=1，b=3；②-2≤p＜-1
3
；（2）a=2b．
【分析】
（1）①按题意的运算可得方程组
212
{
4413
a b
a b
--=-
+-=
，即可求得a、b的值；
②按题意的运算可得不等式组，即可求得p的取值范围；
（2）由题意可得ax+2by-1= ay+2bx-1，从而可得a="2b" ；
【详解】
（1）①由题意可得
212
4413
a b
a b
--=-
+-=
⎧
⎨
⎩
，解得；
②由题意得，解得，因为原不等式组有2个
整数解，所以，所以；
（2）T（x，y）="ax+2by-1," T（y，x）="ay+2bx-1" ，
所以ax+2by-1= ay+2bx-1,
所以（a-2ba）x-（a-2b）y=0,（a-2b）（x-y）=0,
所以a=2b
24．∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70 ；(2) ∠DPC=α –β，理由见解析.
【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠C
解析：∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70 ；(2) ∠DPC=α –β，理由见解析.
【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【问题探究】解：∠DPC=α+β
如图，
过P作PH∥DF
∵DF∥CE,
∴∠PCE=∠1=α，∠PDF=∠2
∵∠DPC=∠2+∠1=α+β
【问题迁移】（1）70
（图1）（图2）
(2) 如图1，∠DPC=β -α
∵DF∥CE,
∴∠PCE=∠1=β，
∵∠DPC=∠1-∠FDP=∠1-α．
∴∠DPC=β -α
如图2，∠DPC= α -β
∵DF∥CE,
∴∠PDF=∠1=α
∵∠DPC=∠1-∠ACE=∠1-β．
∴∠DPC=α - β
25．（1）见详解；（2）见详解；（3）∠HPQ的大小不发生变化，理由见详解．
【分析】
（1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线AB与直线CD平行；（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根
解析：（1）见详解；（2）见详解；（3）∠HPQ的大小不发生变化，理由见详解．
【分析】
（1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线AB与直线CD平行；
（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF＝90°，进而证明PF∥GH；
（3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得∠HPQ的度数，进而即可得到结论．【详解】
解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴∠1＋∠2＝180°，
又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE，
∴∠AEF＋∠CFE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF＋∠EFD＝180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP＋∠EFP＝1
(∠BEF＋∠EFD)＝90°，
2
∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）∵∠PHK＝∠HPK，
∴∠PKG＝2∠HPK．
又∵GH⊥EG，
∴∠KPG＝90°−∠PKG＝90°−2∠HPK．
∴∠EPK＝180°−∠KPG＝90°＋2∠HPK．
∵PQ平分∠EPK，
∠EPK＝45°＋∠HPK．
∴∠QPK＝1
2
∴∠HPQ＝∠QPK−∠HPK＝45°．
∴∠HPQ的大小不发生变化．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质、余角和补角，解决本题的关键是综合运用角平分线的定义、平行线的性质、余角和补角．。