2021-2022学年山东省枣庄三中、滕州一中、枣庄十六中等四校高一(上)期中数学试卷-附答案详解

2021-2022学年山东省枣庄三中、滕州一中、枣庄十六中
等四校高一（上）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知集合A ={x|x
x−2≤0}，集合B ={x|y =√1−2x−1}，A ∩(∁R B)=( )
A. (1,2]
B. [1,2)
C. (1,2)
D. [0,1]
2. 下列各式正确的是( )
A. a
− 
35
=
√a
5
3
B. √x 23=x 3
2
C. a 1
2⋅a 1
4⋅a − 1
8=a 12×1
4×(− 1
8)
D. 2x − 1
3(12x 1
3−2x − 2
3)=1−4
x
3. 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克
组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了( )个“半衰期”.(提示：1
29=0.00195)
A. 10
B. 9
C. 11
D. 8
4. 已知f(x)=x 2−m,g(x)=(1
2)x ，若对∀x 1∈[−1,3]，∃x 2∈[0,2]，f(x 1)≥g(x 2)，
则实数m 的取值范围是( )
A. [1
4,+∞)
B. [−1
4,+∞)
C. (−∞,−1
4]
D. (−∞,1
4]
5. 已知函数y =f(x)的定义域为(0,1)，则函数F(x)=f(|2x −1|)的定义域为( )
A. (−∞,1)
B. (−∞,0)∪(0,1)
C. (0,+∞)
D. [0,1)
6. 若函数f(x)=3|x|+x 2，则不等式f(x +1)≥f(2x −4)的解集为( )
A. [3,+∞)
B. (−∞,2]
C. [2,3]
D. [1,5]
7. 已知函数f(x)={2x −a,x <2
x 2,x ≥2
，若f(x)存在最小值，则实数a 的取值范围是( )
A. (−∞,2]
B. [−4,+∞)
C. (−∞,−4)
D. (−∞,−4]
8. 已知函数f(x)={|2x −1|,x >2
3x−1
,x >2，若方程[f(x)]2−(a +1)f(x)+a =0有五个不同
的实数根，则实数a 的取值范围为( )
A. (0,1)
B. (0,2)
C. (0,3)
D. (1,3)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列说法正确的为( )
A. a 0=1
B. (1
2)3
5
<(35)1
2<(1
3
)−1
2
C. f(x)=2x 与g(x)=2−x 关于x 轴对称
D. 函数f(x)=2x −2−x 是(−∞,+∞)上的增函数
10. 对任意实数a >1，函数y =(a −1)x−1+1的图象必过定点A(m,n)，f(x)=(n
m
)x 的定义域为x ∈[0,2]，g(x)=f(2x)+f(x)，则下列说法正确的为( )
A. m =1，n =2
B. m =2，n =1
C. g(x)的值域为[2,6]
D. g(x)的值域为[2,20]
11. 已知函数f(x)=|3x −1|，a <b <c ，且f(a)>f(c)>f(b)，则( )
A. a <0，c <0
B. a <0，c >0
C. b >0
D. 3a +3c <2
12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其
名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y =[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[−3.7]=−4，[2.3]=2.已知f(x)=3x −13x +1
，则
函数y =[f(x)]的值可能为( )
A. −2
B. −1
C. 0
D. 1
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数f(x)满足如下条件：①f(x +y)=f(x)f(y)；②函数f(x)在(−∞,+∞)上
单调递增，满足上述两个条件的一个函数解析式是f(x)=______(答案不唯一，写出一个即可)． 14. 设函数f(x)={
2x ,x ≤0
1,x >0
，则满足f(x −1)<f(2x)的x 的取值范围是______．
15. 设a >0，且a ≠1，函数f(x)=a 2x +a x −1在[−1,1]上的最大值为5，则实数a 的
值为______．
16. 已知函数f(x)={2|x|,x ≤1
f(2−x),x >1
，若方程f(x)=a 有四个不相等的实数根x 1，x 2，
x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4=______，x 12+x 22+x 32+x 4
2的取值范围为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知f(x)=1
3x +1．
(1)求f(0)；
(2)探求f(x)+f(−x)的值；
(3)利用(2)的结论求f(−5)+f(−4)+f(−3)+⋅⋅⋅+f(5)的值．
18. (1)计算：(254
)1
2−(278
)1
3+(0.0625)1
4+(4
25
)−1
2−π0；
(2)已知x +x −1=3，求x−x −1
x 3+x −3−2
的值．
19. 已知函数f(x)=2x +m ⋅2−x (x ∈(−∞,+∞)，m ∈(−∞,+∞))．
(1)若f(x)为奇函数，求m 的值和此时不等式f(x)>3
2的解集； (2)若不等式f(x)≤4对∀x ∈[−1,2]恒成立，求m 的取值范围．
20.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用
1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的1
，用水越多洗掉的农药量也越多，但总
2
还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x)，假定函数f(x)=e ax+b+c，e是自然对数的底，a、b、c为实数，f(x)的定义域为[0,+∞)，值域为(0,1]．
(1)求a、b、c的值；
(2)现有t(t>0)单位量的水，可以清洗1次，也可以把水平均分成2份后清洗2次，
试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．
21.已知函数f(x)=4x−λ2x+1+3，x∈[−1,2]．
(1)若λ=3
，求f(x)的值域；
2
(2)若函数f(x)的最小值为1，求λ的值．
22.已知定义在(−∞,+∞)上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=4−x+2−x+1−3．
(1)当x<0时，求函数f(x)的解析式；
(2)若关于t的不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)<0的解集非空，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵集合A={x|x
x−2
≤0}={x|0≤x<2}，
集合B={x|y=√1−2x−1}={x|x≤1}，
∴∁R B={x|x>1}，
∴A∩(∁R B)=(1,2)．
故选：C．
求出集合A，B以及B的补集，由此能求出结论．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D
【解析】解：对于选项A，由于a−3
5=√a3
5
≠
√a5
3
故A错；
对于选项B，由于√x2
3=x23≠x32，故B错；
对于选项C，由于a12⋅a14⋅a−18=a12+14+(−18)≠a12×14×(−18)，故C错；
对于选项D，由于2x−13(1
2x13−2x−23)=2x−13×1
2
x13−2x−13×2x−23=1−4
x
，故D正确．
故选：D．
本题是利用指数幂的去处性质化简的题型，恒等变形题，对四个选项用运算法则逐一化简，判断正确选项．
本题考点是有理数幂的运算性质，考查根式与指数幂的相互转化，本题是训练基础运算规则的一道基础题．基础规则的熟练掌握运用是正确计算的根本．
3.【答案】A
【解析】解：设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个“半衰期”才不能被测到碳14，
则x⋅1
2n <1
1000
x，即1
2n
<0.001，
由参考数据可知，1
29=0.00195>0.001， 由参考数据可知，1
29=0.00195>0.001，
1210
=0.00195×1
2=0.000975<0.001，
所以n =10， 故n =10， 故选：A ．
设生物组织内原有的碳14含量为x ，需要经过n 个“半衰期”才不能被测到碳14，则x ⋅
12n
<
11000
x ，即
1
2n
<0.001，再根据参数据即可得解．
本题考查合情推理及指数的简单计算，逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为对∀x 1∈[−1,3]，∃x 2∈[0,2]，f(x 1)≥g(x 2)， 所以f(x)min ≥g(x)min ，
因为f(x)=x 2−m 在[−1,0]上单调递减，在[0,3]上单调递增， 所以f(x)min =f(0)=−m ， 因为g(x)=(1
2)x 在[0,2]上单调递减， 所以g(x)min =(1
2)2=1
4， 故−m ≥1
4，解得m ≤−1
4， 则实数m 的取值范围是(−∞,−1
4]． 故选：C ．
由题意，将问题转化为f(x)min ≥g(x)min ，再利用函数的单调性，分别求出f(x)与g(x)在各自区间上的最小值，得到不等式，求解即可．
本题考查了不等式恒成立问题，函数最值的求解以及函数单调性的判断与应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：由题意得：0<|2x−1|<1，
解得：x<1且x≠0，
故函数F(x)的定义域是(−∞,0)∪(0,1)，
故选：B．
解不等式，求出函数F(x)的定义域即可．
本题考查了求函数的定义域问题，考查转化思想，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=3|x|+x2，定义域为R，关于原点对称，
又f(−x)=f(x)，可得f(x)为偶函数，
且f(x)=f(|x|)，
当x≥0时，f(x)=3x+x2递增，
不等式f(x+1)≥f(2x−4)即为f(|x+1|)≥f(|2x−4|)，
可得|x+1|≥|2x−4|，即为(3x−3)(5−x)≥0，
解得1≤x≤5，
即解集为[1,5]．
故选：D．
首先判断f(x)为偶函数，f(x)在[0,+∞)为增函数，且f(x)=f(|x|)，原不等式化为|x+ 1|≥|2x−4|，可得解集．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：易知x<2时，f(x)=2x−a∈(−a,4−a)，
当x≥2时，f(x)=x2≥4，则要使f(x)存在最小值，只需−a≥4，
解得a≤−4．
故选：D．
求出该函数在每一段上的值域，能满足小中取小，找到最小值即可．
本题考查分段函数的最值的求法，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由[f(x)]2−(a +l)f(x)+a =0得，f(x)−a =0或f(x)−1=0， 即f(x)=a 或f(x)=1，
作出函数f(x)的图象，如图所示：
由图象可知，方程f(x)=1有两个不同的实数根，
则当[f(x)]2−(a +l)f(x)+a =0有五个实数根时，方程f(x)−a =0有三个不同的实数根，
即y =f(x)和y =a 的图象有3个不同的交点， 结合图象：0<a <l ， 即实数a 的取值范围为(0,l)， 故选：A ．
将方程化为f(x)=a 或f(x)=1，作出f(x)的图象，由图象可知f(x)=1有两个不同的实数根，则f(x)=a 有3个不等实根，即y =f(x)和y =a 的图象有3个不同的交点，利用数形结合的方式可得结果．
本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A ，a =0时，a 0没有意义，a ≠0，a 0=1，所以选项A 错误； 对于B ，1=(12)0>(1
2)1
2>(1
2)35，1=11
2>(3
5)1
2>(1
2)1
2，(1
3)−1
2=√3>1，
所以(1
2)35
<(3
5
)12
<
(13)−1
2，选项
B 正确；
对于C ，因为g(−x)=2x =f(x)，所以f(x)=2x 与g(x)=2−x 的图象关于y 轴对称，选项C 错误；
对于D ，因为y =2x 为R 上的单调增函数，y =2−x =(1
2)x 为R 上的单调减函数， 所以函数f(x)=2x −2−x 是(−∞,+∞)上的增函数，选项D 正确．
故选：BD ．
根据题意，对选项中的命题分析，判断它们的真假性即可．
本题考查了命题真假性的判断问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：令x −1=0，得x =1，所以y =(a −1)0+1=2， 所以函数y =(a −1)x−1+1的图象过定点A(1,2)， 即m =1，n =2，选项A 正确、B 错误； 所以f(x)=(n
m )x =2x ，定义域为x ∈[0,2]，
所以g(x)=f(2x)+f(x)=22x +2x =(2x +1
2)2−1
4，
所以x =0时，g(x)取得最小值为2，x =2时，g(x)取得最大值为20， 所以g(x)的值域为[2,20]，选项C 错误，D 正确． 故选：AD ．
根据指数函数的图象恒过定点求出m 、n 的值，再根据指数函数和二次函数的单调性，求出g(x)在定义域上的最值即可．
本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：函数f(x)=|3x −1|的图像，如图所示， ∵a <b <c ，且f(a)>f(c)>f(b)，
对于选项A ：a ，b ，c 不可能都小于0，因为都为负数时，函数单调递减，当a <b <c 时，得不到f(a)>f(c)>f(b)， 故选项A 错误，
对于选项B ：由图像可知a <0，b 有可能大于0也有可能小于0，c >0， 故选项B 正确，
对于选项C ：因为b 有可能大于0也有可能小于0，所以b 的符号不确定，故选项C 错误， 对于选项D ：根据图像可知a ，c 异号，且0<f(c)<f(a)<1， ∴3a +3c <2，故选项D 正确，
故选：BD ．
根据题意画出函数f(x)的图像，根据图像可知要使的a <b <c ，且f(a)>f(c)>f(b)，则有ac <0，b 的符号不确定，所以0<f(c)<f(a)<1，从而得到答案．
本题主要考查了函数图像的变换及应用，考查了指数型函数的性质，是中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：根据题意，y =f(x)=
3x −13x +1，变形可得3x =y+11−y ， 则有3x =y+11−y >0，解可得−1<y <1，即函数f(x)的值域为(−1,1)，
故y =[f(x)]的值可以为0或−1，
故选：BC ．
根据题意，求出函数f(x)的值域，由[x]的定义分析可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数值域的计算，属于基础题．
13.【答案】e x
【解析】解：∵函数f(x)满足如下条件：①f(x +y)=f(x)f(y)；②函数f(x)在(−∞,+∞)
上单调递增，
∴满足上述两个条件的一个函数解析式是：f(x)=e x ，
故答案为：e x ．
根据函数满足的条件，可选择递增的指数函数．
本题的考点是指数函数的定义、解析式、定义域和值域，主要考查函数模型的构建，属于基础题．
14.【答案】(−1,1)
【解析】解：函数f(x)={2x ,x ≤01,x >0
， 当x ≤0时，f(x)≤1，
故f(x −1)<f(2x)，
可得x −1<2x ≤0或{x −1<02x >0
， 即为−1<x ≤0或0<x <1，
解得−1<x<1，
则f(x−1)<f(2x)的解集为(−1,1)，
故答案为：(−1,1)．
由分段函数的解析式讨论2x≤0，或2x>0，解不等式即可得到所求解集．
本题考查函数的单调性的判断和运用，以及分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．
15.【答案】2，或1
2
【解析】解：令t=a x，则原函数可化为g(t)=t2+t−1，对称轴为t=−1
2
，显然该
函数在[1
2
,+∞)上单调递增，
当a>1时，t∈[1
a
,a]，g(t)max=g(a)=a2+a−1=5，解得a=2，或−3(舍)；
当0<a<1时，t∈[a,1
a ]，g(t)max=g(1
a
)=5，解得1
a
=2，或−3(舍)，此时a=1
2
，
综上可知：a的取值为2，或1
2
．
故答案为：2，或1
2
．
令t=a x，将函数转化为二次函数，然后结合二次函数的单调性求最大值，列出关于a的方程求解．
本题考查函数的单调性和最值的求法，属于中档题．
16.【答案】4(8,12)
【解析】解：因为x>1时，f(x)=f(2−x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，令x1<x2<x3<x4，作出f(x)的图象，
所以x1+x4=x2+x3=2，x1+x2=0，
x 3+x 4=4，
所以x 1+x 2+x 3+x 4=4，
所以x 12+x 22+x 32+x 42=x 12+x 22+(2−x 2)2+(2+x 2)2=4x 22+8，
因为x 2∈(0,1)，
所以x 12+x 22+x 32+x 42∈(8,12)，
故答案为：4；(8,12)．
作出函数的图象，由图象结合对称性可得x 1+x 4=x 2+x 3=2，
x 1+x 2=0，x 3+x 4=4，又x 12+x 22+x 32+x 42=x 12+x 22+(2−x 2)2+(2+x 2)2=4x 22+8，
根据x 2∈(0,1)，可得结果．
本题考查了分段函数的图象，函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
17.【答案】解：(1)根据题意，f(x)=13x +1，f(0)=11+1=12，
(2)f(x)=13x +1，则f(−x)=13−x +1=3x 1+3x
， 则f(x)+f(−x)=13x +1+3x
1+3x
=1， (3)由(2)的结论，
f(−5)+f(−4)+f(−3)+⋅⋅⋅+f(5)=f(−5)+f(5)+f(−4)+f(4)+⋯…+f(−1)+f(1)=5．
【解析】(1)根据题意，由函数的解析式计算可得答案；
(2)根据题意，求出f(−x)的表达式，由此分析可得答案；
(3)根据题意，f(−5)+f(−4)+f(−3)+⋅⋅⋅+f(5)=f(−5)+f(5)+f(−4)+f(4)+⋯…+f(−1)+f(1)，由(2)的结论，计算可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数值的计算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)原式=52−32+0．54×14+52−1=1+12+52−1=3． (2)∵(x −x −1)2=(x +x −1)2−4=9−4=5，
∴x −x −1=±√5，
∵(x +x −1)2=x 2+x −2+2=9，∴x 2+x −2=7，
∴x 3+x −3=(x +x −1)(x 2−1+x −2)=3×6=18，
∴x−x−1
x3+x−3−2=±√5
16
．
【解析】(1)(2)利用有理数指数幂的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质求解，是基础题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)为奇函数，
所以f(−x)+f(x)=0对于任意实数x均成立，
即2x+m⋅2−x+2−x+m⋅2x=(m+1)(2x+2−x)=0对于任意实数x均成立，所以m=−1，
此时不等式f(x)>3
2，即(2x)2−3
2
⋅2x−1>0，
解得2x>2或2x<−1
2
(舍)，
所以x>1，
故不等式的解集为(1,+∞)；
(2)不等式f(x)≤4对∀x∈[−1,2]恒成立，
即2x+m
2x
≤4对∀x∈[−1,2]恒成立，
当x∈[−1,2]时，令t=2x∈[1
2
,4]，
则t+m
t ≤4对∀t∈[1
2
,4]恒成立，
即m≤−t2+4t对∀t∈[1
2
,4]恒成立，
令g(t)=−t2+4t，t∈[1
2
,4]
因为g(t)在[1
2
,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减，
所以g(t)min=g(4)=0，
则m≤0，
所以实数m的取值范围为(−∞,0]．
【解析】(1)利用奇函数的定义，得到f(−x)+f(x)=0对于任意实数x均成立，求解m即
可，将不等式变形为(2x)2−3
2
⋅2x−1>0，求出2x>2，由指数不等式的解法求解即可；
(2)令t=2x∈[1
2,4]，将问题转化为m≤−t2+4t对∀t∈[1
2
,4]恒成立，构造函数g(t)=
−t 2+4t ，t ∈[12,4]，利用二次函数的图象与性质求解g(t)的最小值，即可得到答案． 本题考查了函数恒成立问题，奇函数定义的理解与应用，一元二次不等式以及指数不等式的解法，二次函数图象与性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意可得f(1)=12,f(0)=1，当x →+∞时，f(x)→0， 所以e a+b +C =12,e b +C =1,c =0,a <0，
解得a =−ln2，b =c =0．
(2)由
(1)可知f(x)=(12)x ，
若清洗一次，f(t)=(12)t ，
则现在蔬菜上残留的农药量与清洗前残留的农药量之比为(12)t ，
若清洗两次，
f(t 2)=(12)t 2⇒f(t 2)2=(12)t =(12)t ，
则现在蔬菜上残留的农药量与清洗前残留的农药量之比为(12)t ．
故两种方案残留农药量一样多．
【解析】(1)用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，所以f(1)=12，结合值域可得f(0)=1，当x →+∞时，f(x)→0，解方程即可求a ，b ，c ；
(2)分别求两种方案清洗后蔬菜上残留的农药量，再作比较即可．
本题考查函数的实际应用，考查函数的值域，考查数学建模的核心素养，属于中档题．
21.
【答案】解：令t =2x ∈[12,4]，原函数可化为g(t)=t 2−2λt +3=(t −λ)2+3−t 2，t ∈[12,4]，
(1)λ=32时，故g(t)=(t −32)2+34，t ∈[12,4]，g(t)在[12,32]上单调递减，在(32,4]上单调递增，
故g(t)min =g(32)=34，g(t)max =g(4)=7，故g(t)值域为[34,7]，即原函数的值域为[34,7]．
(2)因为g(t)=t2−2λt+3=(t−λ)2+3−λ2，t∈[1
2
,4]，
当λ≤1
2时，g(t)在[1
2
,4]上单调递增，故g(1
2
)=1，即1
4
−λ+3=1，解得λ=9
4
(舍)；
当λ≥4时，g(t)在[1
2,4]上单调递减，g(4)=1，即16−8λ+3=1，解得λ=9
4
(舍)；
当λ∈(1
2,4)时，g(t)在(1
2
,λ)单调递减，在(λ,4)上单调递增，故g(λ)=3−λ2=1，
解得λ=√2，或−√2(舍)，
综上可知λ=√2即为所求．
【解析】利用换元法将问题转化为二次函数的值域问题，结合二次函数的单调性逐问作答．
本题考查换元法以及二次函数的值域的求法，属于中档题．
22.【答案】解：(1)当x<0时，则−x>0，
∵当x≥0时，f(x)=4−x+2−x+1−3．
∴f(−x)=4x+2x+1−3，
又y=f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(x)=−f(−x)=−4x−2x+1+3，
即当x<0时，f(x)=−4x−2x+1+3．
(2)由f(t2−2t)+f(2t2−k)<0，得f(t2−2t)<−f(2t2−k)，
∵f(x)是奇函数，∴f(t2−2t)<f(−2t2+k)，
当x≥0时，f(x)=4−x+2−x+1−3，f(x)是减函数，
∴f(x)是R上的减函数，
∴t2−2t>−2t2+k即3t2−2t−k>0有解，
∵g(t)=3t2−2t−k的图象开口向上，
∴无论k取何值时，不等式3t2−2t−k>0均有解，
∴k∈R．
【解析】(1)当x<0时，则−x>0，可求f(−x)，再由奇函数的性质可得f(x)=−f(−x)；
(2)由题意可得f(t2−2t)<f(k−2t2)，运用指数函数的性质判定f(x)的单调性，可得3t2−2t−k>0有解，由二次函数的性质即可求解k的取值范围．
本题考查函数的奇偶性的应用，函数解析式的求法，不等式有解求参数问题，考查转化
思想与运算求解能力，属于中档题．。