a(xh)2的图象与性质教案 (新版)湘教版

第3课时 二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质
1．会用描点法画出y ＝a (x －h )2
的图
象；
2．掌握形如y ＝a (x －h )2
的二次函数图象的性质，并会应用；(重点)
3．理解二次函数y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2
之间的联系．(难点)
一、情境导入
涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．如图建立直角坐标系，你能得到函数图象解析式吗？
二、合作探究
探究点一：二次函数y ＝a (x －h )2
的图象与性质
【类型一】
y ＝a (x －h )2
的顶点坐标
已知抛物线y ＝a (x －h )(a ≠0)
的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a ，h 的值．
解：∵抛物线y ＝a (x －h )2
(a ≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h ＝－2.又∵抛物线y
＝a (x ＋2)2经过点(－4，2)，∴a (－4＋2)2
＝2.∴a ＝1
2
.
方法总结：二次函数y ＝a (x －h )2
的顶点坐标为(h ，0)．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
二次函数y
＝a (x －h )2
图象的形状
顶点为(－2，0)，开口方向、形
状与函数y ＝－12
x 2
的图象相同的抛物线的解析式为( )
A ．y ＝12(x －2)2
B ．y ＝12(x ＋2)2
C ．y ＝－12(x ＋2)2
D ．y ＝－12(x －2)2
解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所
以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－1
2，而
抛物线的顶点为(－2，0)，所以h ＝－2，把
a ＝－12
，h ＝－2代入y ＝a (x －h )2得y ＝－
12
(x ＋2)2
.故选C.
方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题
二次函数y ＝
a (x －h )2
的增减性及最值
对于二次函数y ＝9(x －1)2
，下列
结论正确的是( )
A ．y 随x 的增大而增大
B ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大
C ．当x ＝－1时，y 有最小值0
D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 解析：因为a ＝9＞0，所以抛物线开口向上，且h ＝1，顶点坐标为(1，0)，所以当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．故选D.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
探究点二：二次函数y ＝a (x －h )2
图象的平移
【类型一】 利用平移确定
y ＝a (x －h )2
的解析式
抛物线y ＝ax 2
向右平移3个单位
后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后的函数关系式．
解析：y ＝ax 2
向右平移3个单位后的关
系式可表示为y ＝a (x －3)2
，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a 的值．
解：二次函数y ＝ax 2
的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y ＝a (x －3)2，把x ＝－1，y ＝4代入，得4＝a (－1－3)2
，a ＝14
，∴平移后二次函数关系式为
y ＝14
(x －3)2.
方法总结：根据抛物线左右平移的规
律，向右平移3个单位后，a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
确定y
＝a (x －h )2与y ＝ax 2
的关系
向左或向右平移函数y ＝－12
x 2
的
图象，能使得到的新的图象过点(－9，－8)吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．
解：能，理由如下：
设平移后的函数为y ＝－12(x －h )2
，
将x ＝－9，y ＝－8代入得－8＝－1
2(－
9－h )2
，
所以h ＝－5或h ＝－13，
所以平移后的函数为y ＝－12(x ＋5)2
或
y ＝－1
2
(x ＋13)2.
即抛物线的顶点坐标为(－5，0)或(－13，0)，所以应向左平移5或13个单位．
变式训练：见
《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
探究点三：二次函数y ＝a (x －h )2
与几何图形的综合
把函数y ＝12
x 2
的图象向右平移4
个单位后，其顶点为C ，并与直线y ＝x 分别相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，求
△ABC 的面积．
解析：利用二次函数平移规律先确定平移后的抛物线解析式，确定C 点坐标，再解由所得到的二次函数解析式与y ＝x 组成的方程组，确定A 、B 两点坐标，最后求△ABC 的面积．
解：平移后的函数为y ＝12(x －4)2
，顶
点C 的坐标为(4，0)，OC ＝4.
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12（x －4）2，y ＝x ，
得⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝8，
y ＝8. ∵点A 在点B 的左边，∴A (2，2)，B (8，8)，∴S △ABC ＝S △OBC －S △OAC ＝12×4×8－1
2×4
×
2
＝12.
方法总结：两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
三、板书设计
通过本节学习使学生认识到y ＝a (x －h )2
的
图象是由y ＝ax 2
的图象左右平移得到的，初
步认识到a ，h 对y ＝a (x －h )2
位置的影响，a 的符号决定抛物线方向，|a |决定抛物线开口的大小，h 决定向左、向右平移，从中领会数形结合的数学思想.。