最新人教版高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》检测卷(有答案解析)(1)

一、选择题
1．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（ ） A ．
12
B ．
13
C ．
14
D ．
16
2．《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +，B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100，[81,90]，[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、
[]31,40、[]21,30、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X ～()50,256N ，那么D 等级的原始分最高大约为（ ）
附：①若X ～()2
,N
μσ，X Y μ
σ
-=，则Y ～()0,1N ；②当Y ～()0,1N 时，()1.30.9P Y ≤≈.
A ．23
B ．29
C ．36
D ．43
3．若X ～B （20，0.3），则（ ）
A ．E （X ）＝3
B ．P （X ≥1）＝1﹣0.320
C ．
D （X ）＝4
D ．P （X ＝10）10
10
200.21C =⨯
4．某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则
患该种疾病且血检呈阳性的概率为（ ） A ．0.495%
B ．0.940 5%
C ．0.999 5%
D ．0.99%
5．已知随机变量X 的分布列：
若()1E X =，(21)2D X +=，则p =（ ） A ．
13
B ．
14
C ．
15
D ．
16
6．已知随机变量ξ的取值为()0,1,2i i =.若()1
05
P ξ==
，()1E ξ=，则( ) A ．()()1P D ξξ=< B ．()()1P D ξξ== C ．()()
1P D ξξ=>
D ．()()1
15
P D ξξ==
7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确．．．
的是（ ） A ．事件B 与事件1A 不相互独立 B ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 C ．()35P B =
D ．()17|11
P B A =
8．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2
010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；
（2）已知2(2,)X
N σ，则 (2)0.5P X >=
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为
ˆ23y
x =-； （4）“1≥x ”是“1
2x x
+≥”的充分不必要条件. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知离散型随机变量X 的分布列如下：
由此可以得到期望()E X 与方差()D X 分别为（ ） A ．() 1.4E X =，()0.2D X = B ．()0.44E X =，() 1.4D X = C ．() 1.4E X =，()0.44D X =
D ．()0.44
E X =，()0.2D X =
10．随机变量()~1,4X N ，若()20.2p x ≥=，则()01p x ≤≤为（ ） A ．0.2
B ．0.3
C ．0.4
D ．0.6
11．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为2
15
，既刮风又下雨的概率为1
10
，则在下雨天里，刮风的概率为（ ） A ．
8225
B ．
12
C ．
34
D ．38
12．将两枚骰子各掷一次，设事件A ={两个点数都不相同}，B ={至少出现一个3点}，则
(|)P B A =（ ）
A ．
13
B ．
518
C ．
1011
D ．
12
二、填空题
13．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行调查，则查得次品数的数学期望为__________.
14．已知随机变量ξ的所有可能取值为m 、n ，其中()()2
m n
P m P n ξξ+====
，则E ξ=________；当D ξ取最小值时，mn = ________．
15．在某项测量中，测量结果ξ 服从正态分布2(2,)(0)N σσ> ，若ξ在(0，4)内取值的概率为0.6，则ξ在(0，+∞)内取值的概率为__________
16．某工厂在试验阶段大量．．生产一种零件，这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为1
2
，至少一项技术指标达标的概率为
3
4
.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，则E ξ=______.
17．一次英语测验由50道选择题构成,每道题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7,则该生在这次测验中的成绩的期望是__________ 18．给出如下四个结论：
①若随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)且P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤－2)＝0.16；
②∃a ∈R ＋
，使得f (x )＝21
x
x x e
--+－a 有三个零点； ③设线性回归方程为y ＝3－2x ，则变量x 每增加一个单位时，y 平均减少2个单位； ④若命题p ：∀x ∈R ，e x >x ＋1，则¬p 为真命题；
以上四个结论正确的是________．(把你认为正确的结论都填上)
三、解答题
19．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶子进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的
概率是
23；向B 靶射击，命中的概率为3
4．假设甲同学每次射击结果相互独立． （1）求甲同学恰好命中一次的概率；
（2）求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望．
20．某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动，规定每日行走不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般健康生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健身活动数据，统计出他们的日行步数(单位：千步，且均在[4,20]内)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）求被抽取的300名教职工日行步数的平均数(每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整数).
（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数ξ服从正态分布(
)2
,N μσ
，其中，μ为
（1）中求得的平均数标准差σ的近似值为2，求该校被抽取的300名教职工中日行步数
(14,18)ξ∈的人数(结果四舍五入保留整数).
（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元，求工会慰问奖励金额X 的分布列和数学期望. 附：若随机变量ξ服从正态分布(
)2
,N μσ
，则()0.6827P μσξ
μσ-<+≈，
(22)0.9545P μσξμσ-<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈.
21．我市某大学组建了A 、B 、C 、D 、E 五个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团，假定某寝室的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的．
（1）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人参加同一社团的概率；
（2）设随机变量ξ为甲、乙、丙这三个学生参加A 或B 社团的人数，求ξ的分布列、数学期望及方差．
22．已知一个袋中装有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同.
（1）每次从袋中取一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数ξ的分布列和数学期望()E ξ；
（2）每次从袋中取一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数η的分布列、数学期望()E η和方差()D η.
23．高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容
器接住小球.
（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？
（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为X，求X的分布列.
24．三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.
25．为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车.生产前，厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查.在20~60岁的人群中随机抽取了100人，调查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如图所示：
年龄[)
20,28[)
28,36[)
36,44[)
44,52[)
52,60
接
受
的
人
数
146152817
0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？
44岁以下44岁及44岁
以上
总计
接受
不接受
总计
8人
调查不接受“纯电动汽车”的原因，现从这8人中随机抽取2人.记抽到44岁以下的人数为
X ，求随机变量X 的分布列及数学期望.
2
2()
()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
26．近年来，我国肥胖人群的规模不断扩大，肥胖人群有很大的心血管安全隐患，目前，国际上常用身体质量指数(Bodv Mass Index ，缩写BMI )来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI ＝体重（单位：千克）÷身高2（单位：2m ），中国成人的BMI 数值标准为：BMI ＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI ＜24为正常；24≤BMI ＜28为偏胖；BMI ≥28为肥胖.某单位随机调查了100名员工，测量身高、体重并计算出BMI 值.
（1）根据调查结果制作了如下2×2列联表，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；
人中“经常运动且不肥胖”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B
【分析】
记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，分别求出A 、B 的结果个数，问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式求解即可. 【详解】
解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女
}．
记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，则{A =（男，女），（女，男），（女，女）}，{B =（男，女），（女，男），（女，女）}，{AB =（女，女）
}．
于是可知3()4P A =
，1()4
P AB =． 问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式，
得()11
4334
P B A ==．
故选：B ． 【点睛】
本题的考点是条件概率与独立事件，主要考查条件概率的计算公式：()
()()
P AB P B A P A =，等可能事件的概率的求解公式：()m
P M n
=（其中n 为试验的所有结果，m 为基本事件的结果）.
2．B
解析：B 【分析】
由于原始分与对应等级分的分布情况是相同的，由(P 等级分≥40)0.9=即有(P 原始分
≥
50
16
x -)0.9=，结合原始分满足X ～()50,256N 的正态分布即可得均值和标准差，而X Y μ
σ
-=
且()1.30.9P Y ≤≈知( 1.3)0.9P Y ≥-≈，即有
50
16
x - 1.3=-求解即可 【详解】
由题意知：X ～()50,256N 则有50μ=，16σ=
设D 等级的原始分最高大约为x ，对应的等级分为40 ，而(P 等级分
≥40)1(7%3%)0.9=-+=
∴有(P 原始分≥
50
16
x -)0.9=
而()1.30.9P Y ≤≈，由对称性知( 1.3)0.9P Y ≥-≈
∴有
50
16x - 1.3=-，即29.229x =≈ 故选：B 【点睛】
本题考查了正态分布的应用，根据两个有相同分布情况的数据集概率相等，由已知数据集上某点上的概率找到另一个数据集上有相等概率的点，即可找到等量关系，进而求点的位置。

注意正态分布的对称性应用
3．D
解析：D 【分析】
根据二项分布的均值，方差以及概率公式求解即可. 【详解】
因为20,0.3n p ==，所以()200.36E X =⨯=，()()200.310.3 4.2D X =⨯⨯-=
()()()20
2020110110.310.7P X P X C ≥=-==--=- ()()10
101010102020100.310.30.21P X C C ==-=⋅
故选：D 【点睛】
本题主要考查了二项分布的均值，方差以及概率公式，属于中档题.
4．A
解析：A 【分析】
设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”,由题得P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99， 由条件概率得P (AB )＝P （B ）P (A |B )，计算即得解. 【详解】
设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”． 依题意知P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99， 由条件概率公式P (A |B )＝
()
()
P AB P B ， 得P (AB )＝P （B ）P (A |B )＝0.005×0.99=0.00495， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查条件概率的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．B
解析：B 【分析】
由(21)4()D X D X +=，可得1
()2
D X =，由随机变量分布列的期望、方差公式，联立即得解. 【详解】
由题意，11()0()2121222
a
E X p a p p =⨯-+⨯
+⨯=∴+= 且(21)2D X +=，又1
(21)4()()2
D X D X D X +=∴=
22211
()(01)()(1)(21)222
D X p a p ∴=-⨯-+-⨯+-⨯=
联立可得：11,4
a p == 故选：B 【点睛】
本题考查了随机变量分布列的期望和方差，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
6．C
解析：C 【分析】
设()1P x ξ==，根据()f x ，()1E ξ=列方程求出x ，进而求出()D ξ，即可比较大小. 【详解】 设()1P x ξ==， 则()425P x ξ==
-，则()1480121555x x E x ξ⎛⎫
=⨯+⨯+-⨯=-= ⎪⎝⎭
，
解得()315P ξ==，()1
25
P ξ==， 则()()()()222
13120111215555
D ξ=
⨯-+⨯-+⨯-=， 故()()1P D ξξ=>， 故选：C. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
7．C
解析：C 【分析】
依次判断每个选项得到答案. 【详解】
A.乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，正确
B. 1A ，2A ，3A 两两不可能同时发生，正确
C. ()5756131011101122
P B =
⨯+⨯=，不正确 D. ()11117()7
211|1()112
P BA P B A P A ⨯
=
==，正确 故答案选C 【点睛】
本题考查了独立事件，互斥事件，条件概率，综合性强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.
8．C
解析：C 【分析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得
2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；
（2）中，已知(
)2
2,X N σ
~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所
以 (2)0.5P X >=是正确的；
（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质
和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23y
x =-是正确； （4）中，当1x ≥
时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，
所以“1x ≥”是“1
2x x
+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
9．C
解析：C 【分析】
由离散型随机变量X 的分布列的性质求出x ＝0.1，由此能求得结果 【详解】
由x ＋4x ＋5x ＝1得x ＝0.1， E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4，
D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.44. 故选C 【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，由已知先求出x 的值，然后运用公式求得期望和方差，属于基础题．
10．B
解析：B 【解析】
分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果. 详解：(0)(2)0.2,P X P X ≤=≥=
10.22
(01)0.3,2
P X -⨯∴≤≤=
= 故选B.
点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.
11．D
解析：D 【解析】
分析：根据条件概率求结果.
详解：因为在下雨天里，刮风的概率为既刮风又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨
天里，刮风的概率为
1
3104815
=， 选D.
点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.
12．A
解析：A 【解析】
分析：利用条件概率求(|)P B A .
详解：由题得22
65()30,()3010,n A A n AB A ===-=
所以(|)P B A =
()101
.()303
n AB n A ==故答案为A. 点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A =
, (|)P B A =()
()
n AB n A .
二、填空题
13．【分析】设抽得次品数为列出随机变量的分布列进而可求得的值【详解】设抽得次品数为则随机变量的可能取值有则所以随机变量的分布列如下表所示： 所以故答案为：【点睛】方法点睛：求离散型随机
解析：3
5
【分析】
设抽得次品数为X ，列出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值. 【详解】
设抽得次品数为X ，则随机变量X 的可能取值有0、1、2，
则()272107
015C P X C ===，()11372
107115C C P X C ===，()232101215
C P X C ===， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：
所以，()0121515155
E X =⨯+⨯+⨯=. 故答案为：35
. 【点睛】
方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法： （1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．
（2）已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y aX b =+的均值、方差，可直接用X 的均值、方差的性质求解；
（3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解．
14．【分析】由分布列的性质可得然后利用数学期望公式可计算出的值并计算出的表达式利用二次函数的基本性质可求得的最小值及其对应的的值【详解】由分布列的性质得即所以当且仅当时等号成立此时故答案为：；【点睛】本 解析：
121
4
【分析】
由分布列的性质可得1m n +=，然后利用数学期望公式可计算出E ξ的值，并计算出D ξ的表达式，利用二次函数的基本性质可求得D ξ的最小值及其对应的mn 的值.
【详解】 由分布列的性质得
122
m n m n
+++=，即1m n +=， 所以()2
222
m n m n m n E m n ξ+++=⋅+⋅=
12=，
2
2
2
2
2
11111111112222222220
D m n m m m ξ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=-⨯+--⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝≥⎭，当且仅当1
2m n ==时等号成立，此时14
mn =．
故答案为：1
2；14
. 【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的数学期望和方差等，考查的数学核心素养是数学运算，属于中等题.
15．08【分析】根据服从正态分布可得曲线的对称轴是直线由在(04)内取值的概率可求得再根据正态曲线的对称性可求在内取值的概率进而求得在(0+∞)内取值的概率【详解】服从正态分布曲线的对称轴是在(04)内
解析：0.8 【分析】
根据ξ服从正态分布2
(2,)(0)N σσ>，可得曲线的对称轴是直线2x =.由ξ在(0，4)内取
值的概率，可求得(0)(4)P P ξξ<+>.再根据正态曲线的对称性，可求在(4,)+∞内取值的概率，进而求得在(0，+∞)内取值的概率. 【详解】
ξ服从正态分布2(2,)(0)N σσ>，
∴曲线的对称轴是2x =，
ξ在(0，4)内取值的概率为0.6，
(0)(4)0.4P P ξξ∴<+>=，则(4)0.2P ξ>=， (0)0.60.20.8P ξ∴>=+=.
故答案为：0.8. 【点睛】
本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是基础题.
16．1【分析】设两项技术指标达标的概率分别为得到求得的值进而得到可得分布列和的值得到答案【详解】由题意设两项技术指标达标的概率分别为由题意得解得所以即一个零件经过检测为合格品的概率为依题意知所以故答案为
解析：1 【分析】
设,A B 两项技术指标达标的概率分别为12,P P ，得到()()()()122112
1112
31114P p P P P P ⎧
-+-=⎪⎪⎨
⎪---=
⎪⎩，求得12,P P 的值，进而得到1
(4,)4
B ξ
，可得分布列和E ξ的值，得到答案．
【详解】
由题意，设,A B 两项技术指标达标的概率分别为12,P P ，
由题意，得()()()()122112
1112
31114P p P P P P ⎧
-+-=⎪⎪⎨⎪---=
⎪⎩
，解得12
11,22P P ==， 所以1214P PP ==，即一个零件经过检测为合格品的概率为1
4
， 依题意知1(4,)4B ξ，所以1
414
E ξ=⨯=．
故答案为1． 【点睛】
本题主要考查了随机变量的分布列及其数学期望的计算，其中解答中根据概率的计算公式，求得12,P P 的值，得到随机变量1
(4,)4
B ξ是解答的关键，着重考查了分析问题和解
答问题的能力，属于中档试题．
17．105【解析】分析：先判断概率分别为二项分布再根据二项分布期望公式求结果详解：因为所以点睛：
解析：105. 【解析】
分析：先判断概率分别为二项分布，再根据二项分布期望公式求结果. 详解：因为(150,0.7)x B ~，所以1500.7105.Ex =⨯= 点睛：(,),(),()(1).x B n p E X np V X np p ~==-
18．①③④【解析】由正态分布曲线得①正确；令得当时单调递增当时单调递减当时单调递增得且时的图象如图所示函数有两个零点故②错误；由回归直线方程的定义知③正确；④中当时错误故为假命题为真命题④正确故答案为①
解析：①③④ 【解析】
由正态分布曲线得()()()24140.16P P P ξξξ≤-=≥=-≤=，①正确；令
()21x x x g x e --+=
，得()22
'x
x x g x e --=，当(),1x ∈-∞-时，()()'0,g x g x >单调递
增，当()1,2x ∈-时，()()'0,g x g x <单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()'0,g x g x >单
调递增，得()()2
1,25g e g e --==-，且150,22g x ⎛⎫-±=→+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()()'0,g x g x <∴的图象如图所示
函数有两个零点，故②错误；由回归直线方程的定义知③正确；④中当0x =时，01
e >错误，故p 为假命题，p ⌝为真命题，④正确，故答案为①③④．
三、解答题
19．（1）1
6；（2）分布列见解析；期望为20348
． 【分析】
（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C ，“甲射击命中A 靶”为事件D ，
“甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ，然后利用互斥事件概率的求解方法求解即可.
（2）随机变量X 的可能取值为：0，1，2，3，5，6，求出概率，列出分布列，然后求解期望. 【详解】
（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C ，“甲射击命中A 靶”为事件D ，
“甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ，由题意可知
()23
P D =
，()()34P E P F ==．
由于C DEF DEF DEF =++，
()()
2111131313443441
3446
P C P DEF DEF DEF =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．
（2）随机变量X 的可能取值为：0，1，2，3，5，6．
()1111
034448P X ==⨯⨯=
()2111
134424P X ==⨯⨯=
()121131
23448
P X C ==⨯⨯⨯=
()1
2231334144P X C ==⨯⨯⨯=
()1333
534416P X ==⨯⨯=
()2333
63448
P X ==⨯⨯=
()48
E X =
． 【点睛】 关键点点睛：古典概型及其概率计算公式的应用，求离散型随机变量的分布列及其期望的求法，解题的关键为正确求出X =0，1，2，3，5，6，所对应的概率. 20．（1）12；（2）47；（3）分布列答案见解析，数学期望：216. 【分析】
（1）根据频率分布直方图，利用平均数求解. （2）根据(
)2
~12,2
N ξ，由(1418)P ξ<<1[(618)(1014)]2
P P ξξ=<<-<<求得概率，然后再乘以300求解.
（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1，易得X 的可能取值为0，100，200，300，400，分别求得其相应的概率，列出分布例，再求期望. 【详解】 （1）依题意得
0.0150.0170.0890.5811x =⨯+⨯+⨯+⨯
0.22130.06150.03170.011911.6812+⨯+⨯+⨯+⨯=≈.
（2）因为(
)2
~12,2
N ξ，
所以(1418)(1221232)P P ξξ<<=+<<+⨯，
1
[(618)(1014)]0.15732
P P ξξ=<<-<<≈ 所以走路步数(14,18)ξ∈的总人数为3000.157347⨯≈.
（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1. 由题意知X 的可能取值为0，100，200，300，400.
2(0)0.020.0004P X ===；1
2(100)0.020.880.0352P X C ==⨯⨯=； 1
22(200)0.020.10.880.7784P X C ==⨯⨯+=；
1
2(300)0.10.880.176P X C ==⨯⨯=；
2(400)0.10.01P X ===.
所以X 的分布列为
.【点睛】
方法点睛：(1)求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．
(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． 21．（1）13
25
；（2）分布列见解析；期望为1.2；方差0.72． 【分析】
（1）先求出甲、乙、丙三名学生参加社团的总的方法数为35，再求出三名学生选择不同社团3
5A
种，求出三名学生选择不同社团概率为
3
53
12
525
A =，然后由12125-得出答案. （2）由题意得ξ的可能值为0、1、2、3，每个学生参加A 或
B 社团的概率都是
2
0.45
=，且相互独立，符合二项分布~(30.4)B ξ，
，由二项分布可得答案. 【详解】
（1）甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方法是5种，故共有35125=种可能，
甲、乙、丙三名学生选择不同社团概率为35312
525
A =，
则至少有两人参加同一社团概率为121312525
-
=； （2）由题意得ξ的可能值为0、1、2、3， 甲、乙、丙三个学生每人参加A 或B 社团的概率都是
2
0.45
=， 且相互独立，符合二项分布~(30.4)B ξ，
， 3(0)0.60.216P ξ===，1
123
(1)0.40.60.432P C ξ==⨯⨯=， 2213(2)0.40.60.288P C ξ==⨯⨯=，3(3)0.40.064P ξ===，
ξ的分布列为：
∴ξ的期望()30.4 1.2E np ξ==⨯=，方差()(1)30.40.60.72D np p ξ=-=⨯⨯=． 【点睛】
关键点睛：本题考查古典概率和对立事件的概率以及二项分布的期望和方程，解答本题的关键是将问题化为二项分布问题，即根据甲、乙、丙三个学生每人参加A 或B 社团的概率都是
2
0.45
=， 且相互独立，符合二项分布~(30.4)B ξ，
，从而根据二项分布求解，属于中档题. 22．（1）分布列见解析；期望为74
；（2）分布列见解析；3()2E η=，3()4D η=.
【分析】
（1）取到一个红球为止，取球次数ξ所有可能1、2、3、4，求对应次数的概率即可列分布列，求()E ξ；
（2）取出后放回，每次取到红球的概率相同，相当于做了三次独立重复试验
13,2B η
⎛⎫
⎪⎝⎭
，利用二项分布概率公式和期望、方差公式即可求解. 【详解】
（1）ξ的可能取值为1、2、3、4，
31(1)62P ξ==
=，333(2)6510
P ξ==⨯=， 3233(3)65420P ξ==⨯⨯=，32131
(4)654320
P ξ==⨯⨯⨯=，
故ξ的分布列为：
17()123421020204
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；
（2）取出后放回，取球3次，每次取到红球的概率为31
62
=，可看作3次独立重复试验，所以13,2B η
⎛⎫ ⎪⎝⎭
， η的可能取值为0、1、2、3，
303
111(0)228P C η⎛⎫
⎛⎫==⋅⋅= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，1
2
13113
(1)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭， 2
1
23113(2)228P C η⎛⎫
⎛⎫==⋅⋅= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，3
33111(4)228
P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，
∴()322
E η=⨯
=， 113
()3224
D η=⨯⨯=.
【点睛】
思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算） 23．（1）1
4
；（2）分布列答案见解析. 【分析】
（1）根据若要小球落入4号容器，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左，利用独立重复实验求解.
（2）易得落入4号容器的小球的个数X 的所有可能取值为0，1，2，3，再根据（1）的结果，分别求得相应的概率，列出分布列. 【详解】
（1）记“小球落入4号容器”为事件A ，
若要小球落入4号容器，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左，
∴理论上，小球落入4号容器的概率4
3
411()C 24P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭
.
（2）落入4号容器的小球的个数X 的所有可能取值为0，1，2，3，
3
03127(0)C 1464P X ⎛⎫∴==⨯-=
⎪⎝⎭
， 2
13
1127
(1)C 14464
P X ⎛⎫==⨯⨯-=
⎪⎝⎭， 21
23
119(2)C 14464
P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3
3311(3)C 464
P X ⎛⎫==⨯= ⎪
⎝⎭，
24．
2336
【分析】
记i B =｛球取自i 号罐｝(1,2,3)i =，A ={取得红球}，则123A AB AB AB =++，且
123,,AB AB AB 两两互斥，由条件概率公式计算出123,,AB AB AB 的概率可得结论．
【详解】
记i B =｛球取自i 号罐｝(1,2,3)i =，A ={取得红球}，显然A 的发生总是伴随着
123,,B B B 之一同时发生，即123A AB AB AB =++，且123,,AB AB AB 两两互斥，
()()()123231
,,342
P A B P A B P A B ===∣∣∣，
所以
()()()()()3
1231
12131123
()33343236i i i P A P AB P AB P AB P B P A B ==++===⨯+⨯+⨯=
∑∣.
【点睛】
关键点点睛：本题考查条件概率，互斥事件的概率公式．解题关键是把取得红球这个事件拆分成三个互斥事件的和：记i B =｛球取自i 号罐｝(1,2,3)i =，A ={取得红球}，
123A AB AB AB =++，而由条件概率公式可得123,,AB AB AB 的概率．
25．（1）联表答案见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异；（2）分布列答案见解析，数学期望为32
. 【分析】
（1）列出22⨯列联表，然后代入公式计算2K ，然后与表格的数据比较大小即可判断；（2）根据分层抽样判断出44岁以下的有6人，44岁及44岁以上的有2人，然后判断X 的可能取值，利用超几何分布计算概率即可. 【详解】
解：（1）由题可得22⨯联表如下：
∵2100(3554515)25 6.25 3.841505080204
K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯. ∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异.
（2）由题意可知，抽取的8人中44岁以下的有6人，44岁及44岁以上的有2人，所以X 的可能取值有0，1，2.
0262281(0),28C C P X C ===1126283(1),7C C P X C ===262815(2),28
C P X C === 所以随机变量X 的分布列为：
()012287282
E X =⨯
+⨯+⨯=. 【点睛】 易错点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
26．（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，
65
. 【分析】
(1) 根据调查结果数据直接填入22⨯列联表，并代入公式，计算出2k 的值，与独立性检验判断表比较作出判断.
(2). 先计算经常运动且不肥胖的概率p 和变量X 的可能种数，判断随机变量X 服从二项分布，用二项分布概率公式计算，再利用分布列求期望.
【详解】
（1）
2100(20164024) 6.93 6.63560404456
K ⋅⨯-⨯==>⨯⨯⨯ ∴有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；。