人教A版高中同步学案数学精品课件必修第一册精品课件 第3章 一元二次函数、方程和不等式 奇偶性

-2 2 -3 + 1, < 0.
规律方法
利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)与f(-x)的关系式,如奇函数有f(x)=-f(-x),从而解
出f(x).
提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,偶函数则未必.
(2)判断函数y=f(x)的奇偶性并证明.
解(1)令x=y≠0,则f(1)=f(x)-f(x)=0.
再令x=1,y=-1,可得f(-1)=f(1)-f(-1)=-f(-1),∴f(-1)=0.
(2)f(x)是偶函数.
证明:由f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),令y=-1,可得f(-x)=f(x)-f(-1)=f(x), ∴f(x)
提示 存在,如f(x)=0.
重难探究·能力素养速提升
问题1给定某些奇、偶函数的图象,观察归纳奇、偶函数图象的直观几何
特征?
问题2类比单调性的数量刻画,如何刻画奇偶性的几何特征?
问题3如何给函数的奇偶性下定义?
探究点一
判断函数的奇偶性
问题4如何判断函数的奇偶性?
【例1】 判断下列函数的奇偶性,并说明理由.
- 2 -2, < 0.
2 -2, > 0,
(2)函数 f(x)= 0, = 0,
的图象如下图所示,
- 2 -2, < 0
1 2 3 4 5
4.(例4对点题)函数f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,求m的值.
解 根据题意f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,则f(-x)=-f(x),则有
数.
2.(例2对点题) 已知f(x)为奇函数,其局部图象如图所示,那么( C )
A.f(2)=2
B.f(2)=-2
C.f(2)>-2
D.f(2)<-2
解析 由图可知f(-2)<2,因为函数是奇函数,所以f(-2)=-f(2),即-f(2)<2,则
f(2)>-2.故选C.
1 2 3 4 5
3.(例3对点题)已知函数f(x)为定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
名师点睛
对函数奇偶性定义的理解
函数的奇偶性是相对于定义域I内的任意一个x而言的,而函数的单调性是
相对于定义域内的某个子集而言的,从这个意义上讲,函数的单调性属于
“局部性质”,而函数的奇偶性则属于“整体性质”.
微思考1
若一个函数具有奇偶性,其定义域有何特点?
是偶函数.
1 2 3 4 5
延伸探究
若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解 当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,
2
-2
+ 3 + 1, ≥ 0,
2
则f(x)=f(-x)=-2x -3x+1,所以f(x)的解析式为 f(x)=
有相同的最大(小)值.
微思考 (1)如果f(x)的图象关于原点对称,且函数在x=0处有定义,那么f(0)为
何值?
提示 f(x)的图象关于原点对称,即f(x)为奇函数,故满足f(-x)=-f(x).因为f(x)在
x=0处有定义,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.
(2)是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?
2
因为偶函数关于 y 轴对称,则-
2
=2b=0,
1
2×(- )
2
解得 b=0,所以
1
1
a+b=-2+0=-2.
规律方法
利用奇偶性求参数的方法:(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的
定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.(2)解析式含
参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,系数对应相等即可求解.
奇偶性.
2.有时需要整体上研究f(-x)+f(x)的和的情况.比如本例中利用f(-x)+f(x)=0
可得出y=f(x)是奇函数.
学以致用·随堂检测促达标
1.(例1对点题)判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)= 2 ;
+2
解

f(x)= 2 ,其定义域为
+2
R,有

f(-x)=- 2 =-f(x),则函数
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.结合具体函数理解奇函数、偶函数的定义.(数学抽象)
学习目标 2.了解奇函数、偶函数图象的特征.(直观想象)
3.会判断(或证明)函数的奇偶性.(逻辑推理)
基础落实·必备知识一遍过
知识点一:奇、偶函数的定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,
3 1
(1)f(x)=x - .

(2)f(x)=|x|,x∈[-4,5].
2 -3, > 1,
(3)f(x)= 2
+ 3, < -1.
解(1)由题意得f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
因为任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有-x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
3 1
解析 令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0.
令x1=x,x2=-x,则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇
函数.
规律方法
1.判断抽象函数的奇偶性,应利用函数奇偶性的定义,找准方向,
巧妙赋值,构造f(-x),变形找出f(-x)与f(x)的关系,从而判断或证明抽象函数的
解(1)由题意作出函数图象如图,
(2)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(0,2).
规律方法
由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,
因此根据奇、偶函数图象的对称性可以解决如求函数值或画出奇、偶函
数图象的问题.
探究点三
函数奇偶性的代数应用
问题6奇偶性从几何角度来看,就是函数图象的对称性.若给出函数的y轴一
探究点二
奇、偶函数性质的几何应用
问题5奇、偶函数在几何上体现了怎样的特征?如何应用?
【例2】 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现
已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.
(1)请补出完整函数y=f(x)的图象;
(2)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
探究点四
抽象函数奇偶性的探究
问题8函数有解析式相对形象,若不给解析式,只给出函数关系,可否判断其
奇偶性?
【例5】 若定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),则( B )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)是非奇非偶函数
D.f(x)是既奇又偶函数
则f(-x)=(-x)2+3(-x)=x2-3x=f(x),
当x∈(-∞,-1)时,-x∈(1,+∞),
则f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x=f(x),
2 -3, > 1,
所以 f(x)= 2
是偶函数.
+ 3, < -1
规律方法
(1)定义法:
(2)图象法:
判断函数奇偶性的两种方法
且 f(-x)=(-x) -- =-x
1
3 1
+ =-(x - )=-f(x),所以
3
3 1
f(x)=x - 是奇函数.
(2)f(x)的定义域为[-4,5],当x=5时,-x=-5∉[-4,5],所以f(x)=|x|,x∈[-4,5]既不是
奇函数也不是偶函数.
(3)当x∈(1,+∞)时,-x∈(-∞,-1),
1.偶函数的图象关于 y轴 对称;反之,结论也成立,即图象关于
y轴
对称的函数是偶函数.
2.奇函数的图象关于 原点 对称;反之,结论也成立,即图象关于
原点
对称的函数是奇函数.
名师点睛
奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相
反;若奇函数f(x)在区间[a,b](0<a<b)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间[b,-a]上的最大值为-m,最小值为-M;偶函数f(x)在区间[a,b],[-b,-a](0<a<b)上
(-x)3+(m2-1)(-x)2+(-x)=-[x3+(m2-1)x2+x],则有2(m2-1)x2=0,故m2-1=0,解得
m=±1.
1 2 3 4 5

5.(例5对点题)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数y=f(x)满足f( )=f(x)-f(y),其中

x,y为不是零的任意实数.
(1)求f(-1)的值;
问题7对于含参的奇、偶函数,可否利用奇偶性确定参数?
【例4】 若函数f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函数,定义域为[3a,a+2],则
a+b=
解析数是偶函数,所以定义域关于原点对称,则 3a+a+2=0,解得 a=- .
2
所以 f(x)=ax
2
1 2
+2bx+4a+b=- x +2bx-2+b.
侧图象,根据奇偶性能作出y轴另一侧图象.据此,若给出函数的一侧解析式,
根据奇偶性,能否求出y轴另一侧图象的解析式?
【例3】 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式.
解(1)因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.
(2)当x<0时,-x>0,由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x)=-[-2(-x)2+3(x)+1]=2x2+3x-1,所以f(x)=2x2+3x-1(x<0).
当x=0时,f(0)=0.
-2 2 + 3 + 1, > 0,
所以 f(x)的解析式为 f(x)= 0, = 0,
2 2 + 3-1, < 0.
提示 定义域关于原点对称.
微思考2
对于定义域内的任意x,若f(-x)+f(x)=0,则函数f(x)是否具有奇偶性?若f(-x)f(x)=0呢?
提示 由f(-x)+f(x)=0得f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.
由f(-x)-f(x)=0得f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.
知识点二:奇、偶函数的图象特征
(1)求出函数f(x)在R上的解析式;
(2)画出函数f(x)的图象.
1 2 3 4 5
解 (1)①当x=0时,f(0)=0;
②当x<0时,-x>0,∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.
2 -2, > 0,
综上,f(x)= 0, = 0,
1+
;
1-
解根据题意,f(x)=(x-1)
1+
1+
,必有 ≥0,解得-1≤x<1,即函数的定义域为[-1,1),
1-
1-
不关于原点对称,是非奇非偶函数.
(4)f(x)=|x+2|+|x-2|.
解f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函
+2
f(x)为奇函数.
(2)f(x)= 1 + + 1-;
1 + ≥ 0,
解 f(x)= 1 + + 1-,有
则有-1≤x≤1,即函数的定义域为[-1,1],关
1- ≥ 0,
于原点对称,f(-x)= 1- + 1 + =f(x),则 f(x)是偶函数.
1 2 3 4 5
(3)f(x)=(x-1)