2019-2020学年天津市宁河县数学高二第二学期期末复习检测试题含解析

2019-2020学年天津市宁河县数学高二第二学期期末复习检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．将正整数1，2，3，4，…按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从右往左数第1个数是
( )
A ．397
B ．398
C ．399
D ．400
2．2019年5月31日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演.学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户，要求两端两个窗户各安排1名学生，中间两个窗户各安排两名学生，不同的安排方案共有（ ） A ．720
B ．360
C ．270
D ．180
3．若将函数f(x)＝x 5表示为f(x)＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2＋…＋a 5(1＋x)5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则4a =（） A ．5
B ．5-
C ．10
D ．10-
4．已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z = A ．-2i
B ．2i
C ．-2
D ．2
5．设,x y 满足约束条件022020x y x y kx y -≤⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≥⎩
，若0k >，且2z x y =-的最大值为6，则k =（ ）
A ．
12
B ．
43
C ．
54
D ．
65
6．函数ln y x =在()()33P f ,处的切线与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线平行，则双曲线
的离心率是（ ） A 2B 5
C 7
D ．
103
7．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝⎭图象相邻两条对称轴之间的距离为2
π，将函数()y f x =的
图象向左平移
3
π
个单位，得到的图象关于y 轴对称，则（ ） A ．函数()f x 的周期为2π
B ．函数()f x 图象关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
C ．函数()f x 图象关于直线12
x π
=
对称
D ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调 8．对于函数2()x x f x e e -=+，有下列结论：
①()f x 在(–),1∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减； ②()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增； ③()f x 的图象关于直线1x =对称； ④()f x 的图象关于点()1,0对称． 其中正确的是（） A ．①③
B ．②④
C ．②③
D ．②③④
9．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程为34y x =，P 为该双曲线上一点，12,F F 为其
左、右焦点，且12PF PF ⊥，1218PF PF ⋅=，则该双曲线的方程为（ ）
A ．22
13218x y -=
B ．2211832x y -=
C ．221916
x y -=
D ．22
1169
x y -=
10．若一圆柱的侧面积等于其表面积的2
3
，则该圆柱的母线长与底面半径之比为（ ） A ．1：1
B ．2：1
C ．3：1
D ．4：1
11．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据得线性回归方程ˆ2y
x a =-+，预测当气温为-4℃时用电量度数为（ ） A ．68
B ．67
C ．65
D ．64
12．已知随机变量X 满足条件X ～(),B n p ，且()()12
125E X ,D X ==，那么n 与p 的值分别为 A ．4
165
,
B ．2205
,
C ．4155
,
D ．3125
,
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．要设计一个容积为π的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面积的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积造价的一半，储油罐的下部圆柱的底面半径R =_______时，造价最低．
14．下表提出了某厂节能耗技术改造后，在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产耗能y （吨）的几组相对数据．
根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程0.70.35y x
=+，那么表中t =__________． 15．设函数
3
2
()2f x x ax x =++, (1)f '= 9,则a =
16．已知三棱锥A ﹣BCD 的顶点都在球O 的表面上，且AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB ⊥CD ，若AB ＝1，
BC =CD =O 的表面积为_____． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．在同一直角坐标系中，经过伸缩变换12x x y y ⎧
'='=⎪⎨⎪⎩后，
曲线C 的方程变为22
1x y ''+=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/
的极坐标方程为3
sin
π
ρθ=（-）.
（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）过点(1,0)P 作l 的垂线l 0交C 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，求
11
||||
PA PB -的值. 18．已知{()}n f x 满足1()(0)f x x =
>，11()(())n n f x f f x +=．
（1）求23(),()f x f x ，并猜想()n f x 的表达式； （2）用数学归纳法证明对()n f x 的猜想.
19．（6分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y α
α
=⎧⎨
=⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，点32,
4
P π⎛⎫
⎪⎝
⎭
在直线l ：cos sin 0m ρθρθ-+=上． （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 的相交于点A 、B ，求|||
|PA PB ⋅的值．
20．（6分）已知函数3
()31(0)f x x ax a =--≠.
()I 求()f x 的单调区间；
()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =
的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．
21．（6分）已知在n
的展开式中，只有第5项的二项式系数最大．
（1）求含2x 的项的系数；
（2）求展开式中所有的有理项．
22．（8分）现有9名学生，其中女生4名，男生5名.
（1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？
（2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？
（3）从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种安排方法？
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．D
【解析】
【分析】
根据图中数字排列规律可知，第n行共有21
n-项，且最后一项为2n，从而可推出第20行最后1个数的值，即可求解出答案．
【详解】
由三角形数组可推断出，第n行共有21
n-项，且最后一项为2n，
所以第20行，最后一项为1．故答案选D．
【点睛】
本题主要考查归纳推理的能力，归纳推理是由特殊到一般，由具体到抽象的一种推理形式，解题时，要多观察实验，对有限的资料进行归纳整理，提出带有规律性的猜想．
2．D
【解析】
【分析】
由题意分两步进行，第一步为在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，可得方案数量，第二步为将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，两者方案数相乘可得答案.
【详解】
解：根据题意，分两步进行：
①在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，有2
630
A=中情况；
② 将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，有222
4222
2
6C C A A =种情况， 则一共有306180⨯=种不同的安排方案， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查排列、组合及简单的计数问题，相对不难，注意运算准确. 3．B 【解析】
分析：由题意可知，()5
511x x ⎡⎤=+-⎣⎦，然后利用二项式定理进行展开，使之与
()()()()25
0125111f x a a x a x a x =+++++⋯++进行比较，可得结果
详解：由题可知：()()5
511f x x x ⎡⎤==+-⎣⎦
()()()()()()()()()()5
4
3
2
2
3
1
4
5
0123455555551111111111C x C x C x C x C x C =+++-++-++-++-+-
而()()()()25
0125111f x a a x a x a x =+++++⋯++
则1
455a C =-=-
故选B
点睛：本题主要考查了二次项系数的性质，根据题目意思，将5x 转化为()5
11x ⎡⎤+-⎣⎦是本题关键，然后运用二项式定理展开求出结果 4．A 【解析】
由i 1i z =+得2
2
(i)(1i)z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A.
【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i ；(2)＝i,
＝－i.
5．B 【解析】
分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解代入目标函数得答案.
详解：由约束条件作出可行域如图：
化目标函数2z x y =-为11
22y x z =-， 由图可知，当直线11
22
y x z =-过B 时，直线在y 轴上的截距最小，即z 最大，
联立
020
x y kx y -=-+=，解得2
2,11B k k ⎛⎫
⎪--⎝⎭
， max 2426111
z k k k =
-==---，解得43k =.
故选：B.
点睛：线性规划中的参数问题及其求解思路
(1)线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．
(2)求解策略：解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值． 6．D 【解析】 【分析】
计算函数ln y x =在()()
33P f ,处的切线斜率，根据斜率计算离心率. 【详解】
11
ln '3
y x y k x =⇒=
⇒= 切线与一条渐近线平行1
33
b b y x a b a a ⇒=
⇒=⇒= 22103
c b a e a a +===
故答案选D 【点睛】
本题考查了切线方程，渐近线，离心率，属于常考题型.
7．D 【解析】 【分析】
根据对称轴之间的距离，求得周期，再根据周期公式求得ω；再平移后，根据关于y 轴对称可求得ϕ的值，进而求得解析式。

根据解析式判断各选项是否正确。

【详解】
因为函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
图象相邻两条对称轴之间的距离为
2
π 所以周期T π= ，则22T
π
ω=
= 所以函数()()sin 2f x x ϕ=+ 函数()y f x =的图象向左平移3π单位，得到的解析式为()2sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
因为图象关于y 轴对称，所以
2232k ππϕπ+=+，即26
k π
ϕπ=-+，k ∈ Z 因为2
π
ϕ<
所以6
π
ϕ=-
即()sin 26f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
所以周期T π=，所以A 错误 对称中心满足226x k π
π-=，解得12
x k π
π=
+，所以B 错误 对称轴满足226
2
x k π
π
π-
=
+，解得6
x k π
π=
+，所以C 错误
单调增区间满足2?222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+，解得2 3
3k x k π
πππ-
+≤≤
+，而,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
在2 3
3
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+内，所以D 正确 所以选D 【点睛】
本题考查了三角函数的综合应用，周期、平移变化及单调区间的求法，属于基础题。

8．C 【解析】 【分析】
将原函数的导数求出来，分析其符号即可得出原函数的单调性，又()()2f x f x -=，故函数的图象关于直线1x =对称 【详解】
由2()x x f x e e -=+得2()x x
f x e e --'=
令()0f x '=得1x =
当1x >时，()0f x '>，原函数为增函数
当1x <时，()0f x '<，原函数为减函数，故②正确 因为()()22x
x f x e
e f x --=+=
所以函数的图象关于直线1x =对称，故③正确 故选：C 【点睛】
本题考查的是利用导数研究函数的单调性及函数的对称性，属于中档题. 9．D 【解析】 【分析】
设12(,0),(,0)F c F c -，根据已知可得34
b a =，由12PF PF ⊥，得到222
1212PF PF F F +=，结合双曲线的定义，得出2122PF PF b ⋅=，再由已知求出b ，即可求解.
【详解】
设c ，则由渐近线方程为3
4y x =
，34
b a =， 又12222
12122,
,
PF PF a PF PF F F ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 所以2221212222
1224,4.
PF PF PF PF a PF PF c ⎧+-⋅=⎪⎨+=⎪⎩ 两式相减，得2
1224PF PF b ⋅=，
而1218PF PF ⋅=，所以2
9b =，
所以3b =，所以5c =，4a =，
故双曲线的方程为22
1169x y -
=. 故选：D 【点睛】
本题考查双曲线的标准方程、双曲线的几何性质，注意焦点三角形问题处理方法，一是曲线的定义应用，二是余弦定理（或勾股）定理，利用解三角形求角或面积，属于中档题. 10．B 【解析】 【分析】
设这个圆柱的母线长为l ，底面半径为r ，根据已知条件列等式，化简可得答案. 【详解】
设这个圆柱的母线长为l ，底面半径为r ， 则22
2(22)3
r l r l r πππ⋅=
⋅+， 化简得2l r =，即21
l r =， 故选：B 【点睛】
本题考查了圆柱的侧面积公式，考查了圆柱的表面积公式，属于基础题. 11．A 【解析】 【分析】
根据回归直线方程过样本中心点()
,x y ，计算出,x y 并代入回归直线方程，求得a 的值，然后将4x =-代入回归直线方程，求得预测的用电量度数. 【详解】 解：()
1813101104
x +++-=
=，24343864
404
y +++=
=，
2402060a y x =+=+=，
线性回归方程为：260y x =-+$
， 当4x =-时，86068y =+=$
， 当气温为4C -o 时，用电量度数为68， 故选A ． 【点睛】
本小题主要考查回归直线方程过样本中心点()
,x y ，考查方程的思想，属于基础题. 12．C
【解析】 【分析】
根据二项分布的均值与方差公式列方程组解出n 与p 的值． 【详解】
∵X ～B （n ，p ）且()()12125
E X D X ==
，， ∴()121215np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩
，
解得n ＝15，p 4
5
= 故选C ． 【点睛】
本题考查了二项分布的均值与方差公式的应用，考查了运算能力，属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13
．5
R =. 【解析】 【分析】
根据造价关系，得到总造价y ，再利用导数求得y 的最大值. 【详解】
设圆柱的高为h ，圆柱底面单位面积造价为1，总造价为y ，
因为储油罐容积为π，所以23
4132
R h R πππ+⋅=，整理得：3
2
2130R h R -=>， 所以2211124224y R Rh R πππ=++251()6R R
π=+， 令2516u R R =+，则'
2513u R R
=-，
当'
0u >
5R >>，当'
0u <
得05
R <<，
所以当5
R =时，u 取最大值，即y 取得最大值. 【点睛】
本题考查导数解决实际问题，考查运算求解能力和建模能力，求解时要把相关的量设出，并利用函数与方程思想解决问题. 14．3 【解析】
试题分析：由题意可知3456 2.54 4.5114.5,444
t t
x y +++++++=
===，
因为回归直线方程，经过样本中心， 所以
114
t
+=1．7×2．5+1．35，解得t=3 考点：线性回归方程 15．1 【解析】
试题分析：因为，32()2f x x ax x =++，所以，2
'()621f x x ax =++，而，(1)f '=9，所以，6+2a+1=9,a=1。

考点：导数的计算
点评：简单题，多项式的导数计算公式要求熟练掌握。

16．6π． 【解析】 【分析】
根据题意画出图形，结合图形把三棱锥A BCD -补充为长方体，则该长方体的外接球为三棱锥的外接球，计算长方体的对角线长，求出外接球的直径，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】
如图所示，以,AB BC 和CD 为棱，把三棱锥A BCD -补成一个长方体， 则该长方体的长宽高分别为1,2,3，此时长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 且长方体的对角线长为2221(2)(3)6l =++=， 即26R =
，即6
2
R =
， 所以外接球的表面积为22
644(
)6S R πππ==⨯=.
【点睛】
本题主要考查了多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中以,AB BC 和CD 为棱，把三棱锥A BCD -补成一个长方体，此时长方体的外接球即为三棱锥的外接球是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）2
214
x y +=
0y -+=（2
）
11||||PA PB -=【解析】 【分析】
（1）将变换公式代入2
2
1x y ''+=得，即可曲线C 的方程，利用极坐标与直角的互化公式，即可求解直线的直角坐标方程；
（2）将直线l 0的参数方程代入曲线C
的方程整理得27120t --=，利用根与系数的关系和直线的
参数方程中参数的几何意义，即可求解11||||
PA PB -的值. 【详解】
（1）将12x x y y ⎧'='=⎪⎨⎪⎩代入22
1x y ''+=得，曲线C 的方程为2214x y +=，
由3
sin
π
ρθ=（-）
，得 3
3
sin cos
cos sin
π
π
ρθρθ-=
把cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
，代入上式得直线l
0y -+=.
（2）因为直线l 的倾斜角为
3π，所以其垂线l 0的倾斜角为56
π
， 则直线l 0的参数方程为51cos 650sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）
，即1212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）
代入曲线C
的方程整理得27120t --=，
设A ，B 两点对应的参数为t 1，t 2，由题意知10t >，20t <，
则12127127t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，且247120∆=+⨯⨯>（，
所以
1212121111||||3
t t PA PB t t t t +-=-==--. 【点睛】
本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用韦达定理和直线的参数方程中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18．（1）
2
(),
1
n
x
f x
nx
=
+
（n ∈*
N）
（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）依题意，有2
2
()
12
x
f x
x
=
+
，3
2
()
13
x
f x
x
=
+
，故猜想
2
()
1
n
x
f x
nx
=
+
；（2）下面用数学归纳法证明.①当时，，显然成立；②假设当(
n k k
=∈*
N）时，猜想成立，即，证明当时，也成立. 结合①②可知，猜想对一切
n∈*
N都成立.
试题解析：
（1）
猜想：
2
(),
1
n
x
f x
nx
=
+
（n∈*
N）
（2）下面用数学归纳法证明
2
(),
1
n
x
f x
nx
=
+
（n∈*
N）
①当时，，显然成立；
②假设当(
n k k
=∈*N）时，猜想成立，即，
则当时，
2
112
2
2
1
()[()]
1(1)
1()
1
k k
kx
f x f f x
x k x
kx
+
+
===
++
+
+
即对时，猜想也成立；
结合①②可知，猜想对一切n∈*
N都成立.
考点：合情推理与演绎推理、数学归纳法．
19． (1) C ：22
1
49
x y +=；l ：220x y -+=；(2) 20||||13PA PB ⋅= 【解析】 【分析】
（1）直接把曲线C 的参数方程中的参数消去，即可得到曲线C 的普通方程，把P 的极坐标代入直线方程求得m ，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程；
（2）写出直线l 的参数方程，把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，利用此时t 的几何意义及根与系数的关系求解． 【详解】
（1）由2(3x cos y sin ααα
=⎧⎨=⎩为参数），消去参数α，可得曲线C 的普通方程为22
149x y +=；
由324P π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
，在直线l ：ρcosθ﹣ρsinθ+m ＝1上，得220m --+=，得m 22=． 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，
∴直线l ：ρcosθ﹣ρsinθ+m ＝1的直角坐标方程为x ﹣y 22+=1； （2）由（1）知直线l 的倾斜角为
4
π
，()
2,2P -， 直线l 的参数方程为222
22x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），
代入22
149
x y +=，
得：13t 2﹣21t ﹣21＝1． ∴|PA|•|PB|20
13
A B t t =⋅=． 【点睛】
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是参数方程中此时t 的几何意义的应用，是中档题． 20．()
I
()II (3,1)-
【解析】 【分析】
【详解】
解：（Ⅰ）2
()33f x x a '=-，
①当a ＜0时，f′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增；
②
当a ＞0时，由f′（x ）＞0即2330x a ->，解得x <x >
由f′（x ）＜0得x <<
∴f （x ）的单调增区间为(,-∞，＋∞）；f （x ）的单调减区间是(．
（Ⅱ）因为f （x ）在x ＝−1处取得极大值，
所以2
(1)3(1)30f a '-=⨯--=，∴a ＝1．
所以3
2
()31,()33f x x x f x x '
=--=-， 由f′（x ）＝0解得121,1x x =-=．
由（1）中f （x ）的单调性可知，f （x ）在x ＝−1处取得极大值f （−1）＝1， 在x ＝1处取得极小值f （1）＝−2．
因为直线y ＝m 与函数y ＝f （x ）的图象有三个不同的交点， 结合f （x ）的单调性可知，m 的取值范围是（−2，1）；
21．（1）-16；（2）224181120,16,1024T T x T x -==-=-.
【解析】 【分析】
（1）根据第5项的二项式系数最大可得n 的值.由二项式定理展开通项，即可求得含2x 的项的系数； （2）由二项式定理展开通项，即可求得有理项. 【详解】
∵只有第5项的二项式系数最大，
∴二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式的中间一项12n T +的二项式的系数最大， ∴152
n
+=，
解得8n =．
（1）8
n
=．
其展开式的通项()8283
18
82r
r
r
r
r r r T C C x
--+⎛=⋅=-⋅⋅ ⎝
．
令
8223
r
-=，得1r =． ∴含2x 的项的系数为16-；
（2）由820r -=，得4r =， 由823r -=，得5
2
r =
（舍）， 由826r -=，得1r =， 由826r -=-，得7r =．
∴展开式中的有理项为：22
4181120,16,1024T T x T x -==-=-．
【点睛】
本题考查了二项式定理展开的应用，有理项的求法，属于基础题. 22．（1）26；（2）60；（3）2184 【解析】 【分析】
（1）采用间接法； （2）采用直接法；
（3）先用间接法求出从中选4人，男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法种数，再分配到四个不同岗位即可. 【详解】
（1）从中选2名代表，没有女生的选法有2
510C =种，
所以从中选2名代表，必须有女生的不同选法有22
9526C C -=种.
（2）从中选出男、女各2名的不同选法有22
5460C C =种.
（3）男生中的甲与女生中的乙至少有1人被选的不同选法有44
9791C C -=种，
将这4人安排到四个不同的岗位共有4
424A =种方法，
故共有(
)
44
4
9742184C C A -=种安排方法. 【点睛】
本题考查排列与组合的综合问题，考查学生的逻辑思想能力，是一道基础题.。