贵州省遵义市第四中学2019届高三上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)

贵州省遵义市第四中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试题（解
析版）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合，若全集为R，则A的补集等于
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：或，
则A的补集等于，
故选：A．
求出集合A的等价条件，利用补集定义进行计算即可．
本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．
2.若，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：，
，
则．
故选：C．
化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．
本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．
3.下列函数中，既是偶函数又是上的增函数的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、为幂函数，为奇函数，不符合题意，
对于B、，有，为偶函数，且当，，在上为增函数，符合题意；
对于C、，为二次函数，在R上为偶函数，在区间为减函数，不符合题意，
对于D、，其定义域为，其定义域不关于原点对称，不是偶函数，不符合题意，
故选：B．
根据题意，依次分析所给选项函数的奇偶性与单调性，是否满足题意的要求，即可得答案．
本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键要熟悉常见函数的单调性、奇偶性．
4.已知“，则“”是“复数为虚数单位为纯虚数”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解：若复数为虚数单位为纯虚数，
则且，
解得，
当时，复数，为虚数单位为纯虚数，成立，
“”是“复数为虚数单位为纯虚数”的充要条件，
故选：C．
结合复数的概念，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用纯虚数的概念是解决本题的关键，比较基础．5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】A
【解析】解：模拟程序的运行，可得：
当时，，，；
当时，，此时；
当时，，故．
故选：A．
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算累加并输出满足条件时的k值，模拟程序的运行结果，即可得到答案．
本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，其中利用模拟程序执行过程的方法，求解程序的运行结果是解答此类问题常用的方法，属于基础题．
6.设随机变量～，若，则实数a的值为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A
【解析】解：随机变量～，
，
由，可得与关于直线对称，
则，即．
故选：A．
由已知可得，由，可得与关于直线对称，再由中点坐标公式列式求得a值．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
A. 6
B. 9
C. 12
D. 18
【答案】B
【解析】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；
底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，
此几何体的体积为．
故选：B．
通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．
本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．
8.设首项为1，公比为的等比数列的前n项和为，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意可得，
，
故选：D．
由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，化简可得要求的关系式．
本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及指数的运算，属中档题．
9.已知m，n为异面直线，平面，平面直线l满足，，，，则
A. 且
B. 且
C. 与相交，且交线垂直于l
D. 与相交，且交线平行于l
【答案】D
【解析】解：由平面，直线l满足，且，所以，
又平面，，，所以．
由直线m，n为异面直线，且平面，平面，则与相交，否则，若则推出，
与m，n异面矛盾．
故与相交，且交线平行于l．
故选：D．
由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．
本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．
10.函数的部分图象如图所示，为
了得到的图象，只需将函数的图象
A. 向左平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】解：由函数的部分图象，
可得，，，，，
将代入得，，
．
故可将函数的图象向左平移个单位长度得到l的图象，即可得到的图象，
故选：B．
由函数的最值求出A，由周期求出，由特殊点求出的值，可得凹函数的解析式，再利用
的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出，由特殊点求出的值，的图象变换规律，属于基础题．
11.双曲线的右焦点F与抛物线的焦点重合，且在第一象限的交点为M，MF垂直
于x轴，则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：抛物线的焦点为，
由MF与x轴垂直，令，可得，
双曲线的实半轴为2a，半焦距c，另一个焦点为，
由抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合，
即，可得双曲线的焦距，
由于为直角三角形，则，
根据双曲线的定义，得，可得
因此，该双曲线的离心率．
故选：C．
根据抛物线的方程算出其焦点为，得到设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的右焦点为F
算出双曲线的焦距，中利用勾股定理算出，再由双曲线的定义算出，利用双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．
本题给出共焦点的双曲线与抛物线，在它们的交点在x轴上射影恰好为抛物线的焦点时，求双曲线的离心率着重考查了抛物线和双曲线的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于中档题．
12.设点P在曲线上，点Q在曲线上，则最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：函数与函数互为反函数，图象关于对称，
函数上的点到直线的距离为，
设，则，
由可得，
由可得，
函数在单调递减，在单调递增，
当时，函数，
，
由图象关于对称得：最小值为．
故选：B．
由于函数与函数互为反函数，图象关于对称，要求的最小值，只要求出函数
上的点到直线的距离为
设，利用导数可求函数的单调性，进而可求的最小值，即可求．
本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗
问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是______．
【答案】6
【解析】解：设第一个人分到的橘子个数为，
由题意得：
，
解得．
得到橘子最少的人所得的橘子个数是6．
故答案为：6．
设第一个人分到的橘子个数为，由等差数列前n项和公式能求出得到橘子最少的人所得的橘子个数．
本题考查等差数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
14.已知两个单位向量，的夹角为，若，则______．
【答案】2
【解析】解：，，，
，，解得．
故答案为2．
由于，对式子两边与作数量积可得，经过化简即可得出．
熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．
15.若，则二项式的展开式中常数项是______．
【答案】
【解析】解：，
二项式的展开式的通项公式为，
令，得，
此时展开式中常数项是
故答案为：．
根据定积分的计算法则求出a的值，再根据二项式定理求出即可．
本题考查了定积分的计算好二项式定理，属于基础题．
16.已知函数，在其图象上任取一点都满足方程．
函数一定具有奇偶性；
函数在是单调函数；
，使；
，使；
以上说法正确的序号是______．
【答案】
【解析】解：满足方程的函数图象为双曲线的一部分，
如图，函数对应的图象为2，4象限部分的图象，
或1，3象限的图象，可能不关于原点对称或y轴对称，
则不正确；
对于，由图象可得函数在
可能是减函数或增函数，不单调，则不正确；
对于，由图可知正确；
对于，由于图象上任一点满足方程，
则，由图象可得，则正确．
故答案为：．
根据条件作出满足条件的函数图象，同时作出渐近线方程，通过图象观察可得函数的奇偶性和单调性即可判断，；再由双曲线的性质和图象，即可判断，．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，图象和渐近线的关系，利用双曲线的图象是解决本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
求A；
若，的面积为，求b，c．
【答案】解：，由正弦定理有：
，即，
又，，
所以，即，
所以；
，所以，
，由余弦定理得：，即，
即有，
解得．
【解析】由正弦定理有：，可以求出A；
有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．
本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式
18.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，
剩下的玫瑰花作垃圾处理．
若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润单位：元关于当天需求量单位：枝，的函数解析式．
花店记录了100天玫瑰花的日需求量单位：枝，整理得如表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润单位：元，求X的分布列、数学期望及方差；
若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
【答案】解：当时，；
当时，，得：
可取60，70，80，当日需求量时，，时，，其他情况，
频数
，，，总数
X的分布列为
购进17枝时，当天的利润的期望为
，应购进17枝
【解析】根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；
可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；
求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．
本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．
19.如图1，四边形ABCD中，E是BC的中点，，，，，将图1沿直线
BC折起，使得二面角为如图2．
求证：平面BDC；
求直线AC与平面ABD所成角的余弦值．
【答案】证明：取BD中点F，连结EF，AF，
则，分，
由余弦定理知：
，
，
，分，
又平面AEF，平面AEF，
，
又，EF，平面BDC
平面BDC；分
解：以E为原点建立如图示的空间直角坐标系，
则，，分，
设平面ABD的法向量为y，，
由，得，
取，则，
．
，
分
故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为分
【解析】取BD中点F，连结EF，AF，由余弦定理及勾股定理，可得，由线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面BDC；
以E为原点建立如图示的空间直角坐标系，求出直线AC的方向向量与平面ABD的法向量，代入向量夹角公式，可得直线AC与平面ABD所成角的余弦值．
本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，解答的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理，解答的关键是建立空间坐标系，将线面夹角问题转化为向量夹角问题．
20.已知点，与直线相切，动圆M与及y轴都相切．
求点M的轨迹C的方程；
过点F任作直线l，交曲线C于A，B两点，由点A，B分别向各引一条切线，切点分别为P，Q，记，求证是定值．
【答案】解：Ⅰ的半径，的方程为，
由题意动圆M与及y轴都相切，分以下情况：
动圆M与及y轴都相切，但切点不是原点的情况：
作轴于H，则，即，
过M作直线的垂线MN，N为垂足，
则，
点M的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线，
点M的轨迹C的方程为；
动圆M与及y轴都相切且仅切于原点的情况：
此时点M的轨迹C的方程为；
Ⅱ对于Ⅰ中的情况：
当l不与x轴垂直时，设直线l的方程为，
由得，
设，，
则，，
．
当l与x轴垂直时，也可得，
对于Ⅰ中的情况不符合题意即作直线l，交C于一个点或无数个点，而非两个交点．
综上，有．
【解析】Ⅰ利用点到直线的距离公式及切线的性质、圆的标准方程即可得到的方程；动圆M与及y 轴都相切分切点不是原点、切点是原点两种情况分别求出即可：
Ⅱ对直线l的斜率分存在和不存在两种情况：把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义即可得出．
熟练掌握点到直线的距离公式、圆的标准方程及切线的性质、分类讨论的思想方法、直线的方程与抛物线的方程联立并利用根与系数的关系及抛物线的定义是解题的关键．
21.已知函数，，a为常数，直线l与函数和的图象都相切，且l与函数的
图象的切点的横坐标等于1．
Ⅰ求直线l的方程和a的值；
Ⅱ求证：关于x的不等式的解集为．
【答案】Ⅰ解：，，故直线l的斜率为1，
切点为，即，
直线l：
又，直线l：与函数的图象都相切，
令，解得，即切点为，
直线l：，即
比较和的系数得，
．
Ⅱ证明：设，
，
当时，，递增；当时，，递减．
即有时，有最大值，且为；
由于，则为偶函数，
则，
即有时，的最大值为．
则即时，．
即关于x的不等式的解集为．
【解析】Ⅰ根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可，再根据直线l与函数、的图象都相切建立等量关系，即可求出a的值；
Ⅱ设，求出导数，首先考虑时，求得单调区间、极值和最值，再由函数的奇偶性可得最大值为0，即可得证．
本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了不等式恒成立转化为求函数的最值的思想，运用导
数求得单调区间、极值和最值以及函数的奇偶性是解题的关键，属于中档题．
22.已知曲线的参数方程为为参数，当时，曲线上对应的点为以原点为极点，以x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
求曲线的极坐标方程与的直角坐标方程．
设曲线与的公共点为A，B，求的值．
【答案】解：曲线的参数方程为为参数，
消去参数化为曲线的普通方程：，
极坐标方程为：．
曲线的极坐标方程为，
两边配方可得：，
可得直角坐标方程：．
由已知可得，可设曲线的参数方程为：为参数，
代入曲线的直角坐标方程得：，
．
．
【解析】曲线的参数方程为为参数，消去参数化为曲线的普通方程，利用互化公式可得极坐标方程曲线的极坐标方程为，两边配方可得：，利用互化公式可得直角坐标方程．
由已知可得，可设曲线的参数方程为：为参数，代入曲线的直角坐标方程得：
，利用即可得出．
本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标与直角坐标方程互化、直线与椭圆相交弦长、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23.已知函数．
Ⅰ求不等式的解集；
Ⅱ若关于x的不等式的解集非空，求实数m的取值范围．
【答案】解：Ⅰ原不等式为：，
能正确分成以下三类：
当时，原不等式可转化为，即；
当时，原不等式可转化为恒成立，所以；
当时，原不等式可转化为，即．
所以原不等式的解集为．
Ⅱ由已知函数，可得函数的最小值为4，
由的解集非空得：．
解得或．
【解析】Ⅰ零点分段求解不等式即可；
Ⅱ由题意得到关于实数m的不等式，求解不等式即可求得最终结果．
本题考查了绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．。