高考数学大一轮复习12.2古典概型试题理苏教版

第2讲 古典概型
一、填空题
1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是________．
解析 分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b >a 的有3种取法，故所求事件的概率P ＝315＝1
5.
答案 15
2．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率为________．
解析 试验是连续掷两次骰子，故共包含6×6＝36(个)基本事件．事件点P 在x ＋y ＝5下方，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6个基本事件，故P ＝636＝1
6.
答案 16
3．在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为________．
解析 要及格必须答对2道或3道题，共C 23C 12＋C 3
3＝7(种)情形，故P ＝7C 35＝710.
答案
710
4．从三名男同学和n 名女同学中任选三人参加一场辩论赛，已知三人中至少有一人是女生的概率是34
35，则n ＝________．
解析 三人中没有女生的概率为
C 3
3
C 3n ＋3
，
∴三人中至少有一人是女生的概率为1－C 3
3
C 3n ＋3
.
由题意得1－C 3
3
C 3
n ＋3＝34
35
，解得n ＝4. 答案 n ＝4
5．下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果没有2位同学一块走，则第二位走的是男同学的概率是________．
解析 每个同学均可能在第二位走，故共有4种情况，而男同学有2个，故所求概率为
P ＝24＝12
.
答案 12
6．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是________．
解析：从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝
35
. 答案 35
7．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是________．
解析 正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个等可能的基本事件．两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)，包括10个基本事件，所以概率等于5
18.
答案 5
18
8． 一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为________． 解析 基本事件为(1，1)，(1，2)，…，(1，8)，(2，1)，(2，2)…，(8，8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7，8)，(8，7)，(8，8)，∴所求概率为364.
答案 3
64
9．连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，向量a ＝(m ，n )，若b ＝(－1,1)，△ABC 中AB →
与a 同向，CB →
与b 反向，则∠ABC 是钝角的概率是________．
解析 ∵∠ABC 是钝角，向量a ＝(m ，n )，b ＝(－1,1)夹角为锐角，∴n －m >0，m <n ，∴包含15个基本事件，又共有36个基本事件，∴∠ABC 是钝角的概率是5
12.
答案
512
10．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课
各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．
解析 6节课共有A 6
6种排法，按要求共有三类排法，一类是三门文化课排列，有两个空，插入2节艺术课，有A 33A 23×2种排法；第二类，三门文化课排列有两个空，插入1节艺术课，有A 3
3·A 1
3·2A 3
3种排法；第三类，三门文化课相邻排列，有A 33A 4
4种排法．则满足条件的概率为
2A 33A 2
3＋A 33A 1
3·2A 3
3＋A 33A 4
4A 6
6＝3
5. 答案 3
5
二、解答题
11．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
(1)两数中至少有一个奇数的概率；
(2)以第一次向上的点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x ，y )在圆x 2
＋y 2
＝15的内部的概率．
解 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件．
(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B ，则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件， 所以P (B )＝1－936＝34
；
即两数中至少有一个奇数的概率为3
4
.
(2)基本事件总数为36，点(x ，y )在圆x 2
＋y 2
＝15的内部记为事件C ，则C 包含8个事件，所以P (C )＝836＝2
9
.
即点(x ，y )在圆x 2＋y 2
＝15的内部的概率为29
.
12．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190
cm 之间的概率．
解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400. (2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝35
70＝0.5.故由f 估
计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率P ＝0.5.
(3)样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥. 从上述6人中任选2人的树状图为：
故从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率P 2＝915＝35.
13．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n 1 2 3 4 5 成绩x n
70
76
72
70
72
(1)求第6位同学的成绩x 6，及这6位同学成绩的标准差s ；
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率． 解 (1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴1
6
(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90， 这6位同学成绩的方差
s 2＝16
×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，
∴标准差s ＝7.
(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，
恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，
所求的概率为4
10
＝0.4，
即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.
14．设S 是不等式x 2
－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .
(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2
，求ξ的分布列及其数学期望E (ξ)． 解 (1)由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}．
由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m 2
的所有不同取值为0,1,4,9，且有P (ξ＝0)＝16
，
P (ξ＝1)＝26＝13
， P (ξ＝4)＝26＝13
， P (ξ＝9)＝16.
故ξ的分布列为：
ξ
0 1 4 9 P
16
13
13
16
所以E (ξ)＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝19
6.。