学会欣赏“体操” 培养思维能力

学会欣赏“体操” 培养思维能力
数学能启迪、培养、发展人的思维，而且在思维培养的深度、广度、系统性等方面是其他学
科或其他培养方式所无法比拟的。

于是数学就有了“数学是思维的科学；数学是思维的体操”
的美誉。

但是，许多学校的教师只注意到了“体操”的技能训练，却忘了“体操”还具有欣赏性。

与其整天浸泡在进行“体操”训练的辛苦之中，何不抽点时间去欣赏一下“体操”的优美呢？即
在学生解决一道优秀的数学题时，不妨引导学生去欣赏一下自己巧夺天工的技艺，去回味一
下自己“体操”表演的艺术过程，这种欣赏“体操”的方式对培养学生的思维起到了事半功倍的
效果。

下面我举两例以点带面地说明在教学过程中我是如何欣赏思维体操的，仅供参考。

在学习函数的重要性--单调性的教学过程。

教材中内容表述如下：
定义：如果函数对于区间(a,b)内的任意两个值x1和x2，当x1<x2时，
有f(x1)<f(x2) ,
那么函数f(x)叫做在区间(a,b)内是单调增加的，区间(a,b)叫做函数f(x)单调增加区间。

如果对于区间(a,b)内任意两个x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2) ,
那么函数f(x)叫做在区间(a,b)内是单调减少的，区间(a,b)叫做函数f(x)单调减少区间。

图像：单调增加的函数的图像是沿横轴正向上升的曲线（图示1），单调减少的函数的图象
是沿横轴正向下降的曲线（图示2）
图示1图示2
教材中例3，讨论函数f(x)=1x，在(0,+∞)内的单调性。

解任取x1,x2 ∈(0,+∞)，且 x1< x2，
f(x1)-f(x2) =1x1 -1x1=x2-x1x1x2>0
x1<x2，x2-x2>0
x1>0,x2>0， x1x2>0，f(x1)-f(x2) =X2-X1X1X2>0即f(x1)>f(x2) ,
因为当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)
所以根据函数单调减少的定义可知，f(x)=1x在区间(0,+∞)内是单调减少的。

以上是教材中的一些与函数单调性相关内容，我在讲解定义、图像和例题的过程中，有些学
生就提出了这样的两个问题：
定义中在区间(a,b)内任意两个值x1<x1，是设定了x1<x1，若设定为x1>x2，可不可以呢？假
若可以，会有不同的结论呢？
从图像上看，单调增加的函数f(x)，沿横轴正向看是上升曲线，如果说是从横轴反向上看，
则曲线在下降，上升？下降？感觉有些不得要领。

面对学生的问题，我采取了慎重的态度。

我认为回答学生问题的过程，是引导学生做思维体
操的重要过程，也是让学生欣赏自己体操表演的必要过程。

我的具体做法如下：
首先，我表扬了大胆提出问题的学生，也鼓励其他学生多提问题、多动脑筋，常做思维体操。

因为传统的教学只注重教，认为学生只负责听和记，是容纳知识的容器。

所以很多学生就算
是有问题，也不敢提，久而久之，就养成了一种不良的思维习惯。

其次，我让学生认识什么样的行为说明是在动脑筋，做思维体操。

学生好久不动脑筋了，也
变得麻木起来，不知如何才算动了脑筋。

如果说学生在学习过程中想到了这些问题，或不仅
想到了而且还向向老师提出问题，并要求解决问题了，这都说明学生是在做思维体操；如果
说没想到，没有问题，只是照着老师给的葫芦画瓢，就算是画得再好看，题做得再对，也说
明没有动脑筋思考问题，思维也没有得到锻炼。

再次，有些学生虽然是动了脑筋，有了做思维体操预备动作，但具体怎么做，还需要教师的
进一步的引导。

面对学生提出的问题，我是这样协助学生继续做“体操” 的：
教材例3，讨论函数f(x)=1x，在(0,+∞)内的单调性。

解法二任取x1,x2∈(0,+∞)，且设x1>x2，
f(x1)-f(x2) =1X1-1X2=X2-X1X1X2 <0
x1>x2，x2-x1<0
x1>0,x2>0，x1x2>0，f(x1)-f(x2)=X2-X1X1X2 <0
即f(x1)<f(x2) ,
因为当x1>x2 时，有f(x1)<f(x2)
所以根据函数单调减少的定义可知，f(x)=1x在区间(0,+∞)内是单调减少的。

我先从正反两个角度加以说明，然后又在黑板中列出了如下的表格，给学生时间自己思考总结：
单调增加的函数单调减少的函数在给定的区间（a,b）内，
任意选取x1和x2 在给定的区间（a,b）内，
任意选取x1和x2当x1<x2时，
有f(x1)<f(x2)当x1>x2时，
有f(x1)>f(x2)当x1<x2时，
有f(x1)>f(x2)当x1>x2时，
有f(x1)<f(x2)结论：1、设定的x值不等号方向与所得函数值y不等号方向一致；
2、同增同减。

即当自变量增加时，函数值也是增加；当自变量减少时，函数值也减少。

结论：1、设定的x值不等号方向与所得函数值y不等号方向相反；
2、增减相背。

自变量增加时，函数值是减少；当自变量减少时，函数值却在增加。

结论：
1设定的x值不等号方向与所得函数值y不等号方向一致；
2同增同减。

即当自变量增加时，函数值也是增加；当自变量减少时，函数值也减少。

结论：1、设定的x值不等号方向与所得函数值y不等号方向相反；
增减相背。

自变量增加时，函数值是减少；当自变量减少时，函数值却在增加。

学生们通过短短几秒钟的观察、比较、归纳，就得出了自己的结论。

图像“上升、下降”的问题也就迎刃而解了。

即看单调增加的函数图像时，假设在横轴上从左
向右看时，图像曾上升趋势，即自变量值勤增大时，函数值也是增大的；若是在横轴上从右
向左看时，图像是曾下降趋势，即自变量x值减少时，函数值y也是在减少。

总结起来，就
是自变量和函数值的变化趋势一致，即同增同减；对于单调减少的函数来讲，情况则刚刚相反。

这样，学生通过思考，对自己提出的问题，终于有了满意的答案。

不过我穷追不舍，继续提
出一个问题，就是教材解例题3时为什么非要按照定义中的规定来做呢？学生也很快找到了
答案，因为那是一种规定，大家约定俗成。

最后，师生一定要重新欣赏一下思维体操的过程，让学生自己回味一下是怎么样抛开现象，
究其本质的，并陶醉在胜利的喜悦之中。

我想此时此刻，不仅是学习的兴趣、更能升学生对
数学的感情，这才是学习的最高的境界。

例题二，求数列52，174，498，12916，… 的前n项和
这是一道优秀的数学题，问题写出之后，我首先是要求学生思考并说出解题思路。

但职业高
中的学生往往一遇到复杂的题，特别是当拿到题目后，无法一下子就有解题方法时，心理承
受能力较差，第一件事就选择放弃，并不是再多考虑一会儿。

根据学生的这一特点，我对此
题及时做了分析，即告诉学生遇到类似问题时如何下手。

第一步看题目所求问题是什么，即求数列的前n项和。

搜索我们学过的能直接求数列前n
项和的方法和公式都有什么：有两种，即对等差数列和等比数列而言有公式可用，若是其它
数列，暂时没有直接的求和公式。

第二步，观察此题所给数列前4项的特征，可知此数列既不是等差数列，也不是等比数列。

要解决这个问题，考虑到此，似乎是无路可走，但我告诉学生：“攻克难关，最怕的是紧张，最不可要的思想是放弃”。

我们要试着看看这个问题能否转化为我们熟悉的问题，所给数列能否转化成等差数列、等比数列。

即数列各项可化为： 212，414，618，8116，
还可化为：2+12，4+14，618，8+116…
那么此通项公式为an=2n+12n，即an=2n，此数列为等差数列，an=12n此数列为等比数列。

第三步，题目中所求问题，因为所给数列能转化为等差数列与等比数列，而得以解决。

通过这种转化思想解决的问题，给我们的感觉就好似“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一春”，那种
美好意境是只有经过辛勤思考过后找到答案的学生才能真正体会得到。

再次，就是具体的解题过程。

题目：求数列52，174，498，12916，… 的前n项和。

解：此数列既不是等到差数列，也不是等比数列，但数列的各项可化为：212，414，618，8116，
还可化为：2+12，4+14，618，8+116…
Sn=(2+12)+(4+14+(8+116+…（2n+12n）
=（2+4+6+8+…+2n）+（12+14+18+116+…+12n）
=（2+2n）n2+12（1-12n）1-12
=n（n+1）+（1-12n）
=n2+n+1-12n
最后，同样是师生再次欣赏自己思维体操的全部过程，由分析过程到求出结果，每一步都用到了哪些知识，是怎么样应用上的，对所用到的公式是否有了新的理解；对所学知识间的联系是否又有了新的认识；对如何做题是否又有了新的启示；对能否战胜困难是否又有了新的自信；等等。

我想如果能如此坚持不懈地努力，不仅是思维能力，其它能力都会得到不同程度的提高。