高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)章末分层突破学案 新人教B版必修1(1)(2021年最新整理)

2018版高中数学第三章基本初等函数（Ⅰ）章末分层突破学案新人教B版必修1(1)
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第三章基本初等函数（Ⅰ）
[自我校对］
①分数指数幂
②互为反函数
③对数函数
④解析式y＝log a x（a>0，a≠1）
⑤log a N
⑥解析式y＝xα
⑦越来越慢
⑧越来越快爆炸式增长
指数、对数的运算
各种变形．如N错误!＝a，a b＝N，log a N＝b（其中N>0,a>0，a≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算．
【精彩点拨】（1)利用对数的运算法则、对数恒等式即可得出;
(2)利用指数幂的运算法则即可得出．
【规范解答】(1)原式＝log3错误!－3＝2－3＝－1。

－1＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!。

[再练一题］
1．计算：
【解】（1)原式＝－4－1＋错误!×（错误!）4＝－3。

指数、对数型函数的定义域、值域
(组)时要借助于指数、对数函数的单调性．
涉及指数、对数函数的值域问题有两个类型，一是形如y＝a f(x)和y＝log a f(x)的函数，一般要先求f（x)的值域，然后利用指数、对数的单调性求解；二是形如y＝f(a x）和y＝f(log a x)的函数，则要根据a x和log a x的范围,利用函数y＝f（x)的性质求解．
(2)已知－3≤log错误!x≤－错误!，求函数f（x)＝log2错误!·log2错误!的最大值和最小值．
【精彩点拨】
（2)由f（x)＝log2错误!·log2错误!＝（log2x－1）（log2x－2)＝（log2x)2－3log2x＋2，结合二次函数的性质即可求解．
【规范解答】
故所求函数的值域为错误!。

（2)∵－3≤log错误!x≤－错误!，∴错误!≤log2x≤3,
∴f(x)＝log2错误!·log2错误!＝（log2x－1）（log2x－2）＝(log2x)2－3log2x＋2＝错误!2－错误!。

当log2x＝3时,f(x)max＝2，当log2x＝3
2
时，f（x）min＝－错误!.
［再练一题]
【导学号：60210098】【解】令k＝2x(0≤x≤2），∴1≤k≤4,则y＝22x－1－3·2x＋5＝错误!k2－3k＋5。

又y＝错误!（k－3)2＋错误!，k∈［1，4],
∴y＝错误!(k－3）2＋错误!在k∈[1，3]上是减函数，
在k∈[3,4］上是增函数，∴当k＝3时，y min＝错误!；当k＝1时，y max＝错误!。

即函数的最大值为错误!，最小值为错误!.
幂、指数、对数函数的图象和性质
函数的单调性进行转化,也可利用图象解决,对含参数的问题进行分类讨论,同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根．
对于图象的判断与选择可利用图象的变换、也要重视利用特殊点与选择题中排除法的应用．
当0＜x≤错误!时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）
A。

错误!B。

错误!
C．（1，错误!）D．(错误!，2）
【精彩点拨】由指数函数和对数函数的图象和性质,将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可．
【规范解答】当0＜x≤错误!时,1＜4x≤2，要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a ＜1，
数形结合可知只需2＜log a x，∴错误!即错误!对0＜x≤错误!时恒成立，∴错误!解得错误!＜a ＜1，故选B。

【答案】B
[再练一题]
3．若log a2＜0(a＞0，且a≠1),则函数f（x）＝a x＋1的图象大致是( ）
【解析】由log a2＜0（a＞0，且a≠1）,可得0＜a＜1,函数f(x)＝a x＋1＝a·a x，
故函数f（x）在R上是减函数，且经过点(0,a),故选A.
【答案】A
比较大小问题
（1)比较两数(式）或几个数(式）大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．
(2）当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
（3）比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0",“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．比较下列各组中两个值的大小：
（1）1。

10。

9，log1。

10。

9,log0.70。

8；
（2)log53,log63,log73.
【精彩点拨】利用指数函数、对数函数、幂函数的性质进行比较．
【规范解答】（1)∵1.10.9>1.10＝1,log1。

10。

9〈log1。

11＝0,0＝log0.71<log0。

70.8<log0。

0。

7＝1，
7
∴1。

10。

9>log0.70。

8〉log1.10。

9。

(2)∵0〈log35<log36<log37，
∴log53>log63>log73.
［再练一题]
4．已知a＝log20.3，b＝20。

3，c＝0.30。

2,则a，b，c三者的大小关系是（)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．b＞c＞a D．c＞b＞a
【解析】∵a＝log20。

3＜log21＝0，b＝20。

3＞20＝1，0＜c＝0。

30.2＜0.30＝1，∴b＞c ＞a。

故选C。

【答案】C
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【解析】
【答案】D
分类讨论思想
重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论．在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图象和性质，依据函数的单调性分类讨论,使得求解得以实现．
（1)求m的值,并确定f(x)的解析式;
(2）若g（x)＝log a［f(x）－ax](a〉0,且a≠1）在[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．
【精彩点拨】(1）结合f(3）〈f(5），与函数f(x)的奇偶性，分类讨论确定m的值及f(x)的解析式．
(2）由g(x）为增函数，结合a讨论，求出a的取值范围．
【规范解答】
<m〈错误!。

∵m∈N，∴m＝0或1。

综上，m＝1,此时f(x）＝x2.
(2）由（1)知，当x∈[2,3］时，g(x）＝log a（x2－ax)．
①当0<a<1时，y＝log a u在其定义域内单调递减,要使g（x）在［2，3］上单调递增,则需u(x）＝x2－ax在[2，3]上单调递减，且u(x）〉0.
∴错误!无解；
②当a〉1时，y＝log a u在其定义域内单调递增,要使g(x)在[2,3]上单调递增，则需u（x)＝x2－ax在［2,3］上单调递增，且u(x）>0.
∴错误!
解得a<2。

∴实数a的取值范围为1〈a<2。

［再练一题］
6．设a>0且a≠1,若P＝log a(a3＋1）,Q＝log a（a2＋1），试比较P、Q的大小．
【解】当0〈a<1时，有a3〈a2，即a3＋1<a2＋1.
又当0〈a〈1时，y＝log a x在（0，＋∞)上单调递减，
∴log a(a3＋1)>log a（a2＋1），即P>Q；
当a>1时，有a3〉a2,即a3＋1>a2＋1。

又当a>1时，y＝log a x在（0，＋∞）上单调递增，
∴log a（a3＋1)>log a(a2＋1),即P〉Q。

综上可得P>Q。

1．函数y＝2x2－e｜x|在［－2,2］的图象大致为( )
【解析】∵f（x）＝2x2－e｜x|，x∈［－2，2］是偶函数,又f（2）＝8－e2∈(0，1），故排除A，B.设g（x)＝2x2－e x，则g′（x)＝4x－e x。

又g′（0)＜0，g′(2）＞0,∴g(x）在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f（x)＝2x2－e|x｜在（0，2）内至少存在一个极值点,排除C。

故选D.
【答案】D
2．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2｜a－1|)>f(－2），则a的取值范围是（)
A。

错误! B.错误!∪错误!
C。

错误! D.错误!
【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间（－∞，0）上单调递增，所以f（－x）＝f(x),且f（x）在(0，＋∞）上单调递减．由f（2|a－1｜)＞f(－错误!)，f（－错误!)＝f(错误!)可得2｜a－1｜＜错误!，即｜a－1｜＜错误!，所以错误!＜a＜错误!。

【答案】C
3．某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1。

12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()
【导学号：97512060】A．2018年B．2019年
C．2020年D．2021年
【解析】设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12％)n>200,得1.12n〉错误!，两边取常用对数，得n>错误!≈错误!＝错误!，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．
【答案】B
4．已知点（3,9）在函数f(x）＝1＋a x的图象上，则f(x)的反函数f－1（x)＝________.
【解析】∵点（3，9)在函数f（x)＝1＋a x的图象上，
∴1＋a3＝9,解得a＝2，∴f(x）＝1＋2x
∴f－1(x)＝log2(x－1)
【答案】log2（x－1）
5．已知a∈R，函数f（x）＝log2错误!。

(1)当a＝1时，解不等式f(x）>1;
(2）若关于x的方程f（x）＋log2（x2)＝0的解集中恰有一个元素,求a的值；
（3)设a>0，若对任意t∈错误!，函数f（x）在区间[t,t＋1］上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
【解析】（1）由log2错误!>1，得错误!＋1〉2，解得{x｜0〈x<1｝．
（2)log2错误!＋log2(x2）＝0有且仅有一解，
等价于错误!x2＝1有且仅有一解,等价于ax2＋x－1＝0有且仅有一解．
当a＝0时，x＝1，符合题意;
当a≠0时，Δ＝1＋4a＝0，a＝－错误!。

综上，a＝0或－错误!。

(3)当0<x1<x2时，错误!＋a>错误!＋a，
log2错误!〉log2错误!，
所以f（x)在（0，＋∞）上单调递减．
函数f（x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值分别为f（t)，f(t＋1)．
f(t)－f(t＋1）＝log
错误!－log2错误!≤1即at2＋（a＋1）t－1≥0，
2
对任意t∈错误!成立．
因为a〉0，所以函数y＝at2＋(a＋1)t－1在区间错误!上单调递增，所以t＝错误!时,y有最小值错误!a－错误!，由错误!a－错误!≥0，得a≥错误!。

故a的取值范围为错误!.。