九年级数学中考专题系列-中考复习专题—应用型问题专题辅导 - 用于合并全国通用

中考复习专题——应用型问题
一、试题特点
应用性问题，是指有实际背景或现实意义的数学问题．近年来，在新课程理念指导下，涌现了一批贴近实际、与时俱进、贵在创新的应用性试题．主要呈现以下特点：
1、 创设新情境，赋予新内涵，令人耳目一新．
2、 取材于学生熟悉的生活实际，具有时代气息和教育价值．
3、 重视考查学生从简单的实际问题中抽象出数学模型的能力与应用数学的意识．
4、 新型应用题—课题学习类试题消然出现，立意深、情境新、思维价值高．
5、 考查的知识点综合性较强，解法较灵活． 二、分类解析与点评 1、建立方程（组）模型
方程（组）模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，它可以帮助人们从数量关系上更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界．
例1为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”．该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？ 解析：设生产奥运会标志x 套，生产奥运会吉祥物y 套．根据题意，得 ⎩⎨
⎧=+=+②00300103①0020054.
y x ,y x ⎩⎨
⎧==2400
2000y x
感悟：奥运会是中国人的梦想，奥运冠军是青少年的偶像，能观看奥运会更是同学们的期望．本题以奥运会的吉祥物为题材，构筑二元一次方程组的应用，旨在考查分析问题和解决和问题的能力，融知识性、趣味性于一体．
例2某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1．在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是
2288m ？
解析：提供两种思路：
解法一：设矩形温室的宽为m x ，则长为2m x ．根据题意，得
(2)(24)288x x --=．
解这个方程，得
110x =-（不合题意，舍去），214x =．
所以14x =，221428x =⨯=．
答：当矩形温室的长为28m ，宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是2
288m ． 解法二：设矩形温室的长为m x ，则宽为
1
m 2
x ．根据题意，得 12(4)2882x x ⎛⎫
--= ⎪⎝⎭
． 解这个方程，得
120x =-（不合题意，舍去），228x =．
所以28x =，
11
281422
x =⨯=． 答：当矩形温室的长为28m ，宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是2
288m ．
点评：像本题这样有两个未知量的应用问题，解题的关键是如何巧妙在选用一个未知数表示两个未知量，上面两种解法分别采取了设长为x ，再表示宽，或先设宽为x 再表示长．这种设元技巧值同学们认真体会和学习．
例32008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——某某湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A 地到某某港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．
（1）求A 地经某某湾跨海大桥到某某港的路程．
（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A 地到某某港的运输成本是每千米 1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A 地经某某湾跨海大桥到某某港的运输费用是多少元？
（3）A 地准备开辟某某方向的外运路线，即货物从A 地经某某湾跨海大桥到某某港，再从某某港运到B 地．若有一批货物（不超过10车）从A 地按外运路线运到B 地的运费需8320元，其中从A 地经某某湾跨海大桥到某某港的每车运输费用与（2）中相同，从某某港到B 地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
解析:（1）设A 地经某某湾跨海大桥到某某港的路程为x 千米， 由题意得
1201023
x x
+=， 解得180x =．
A ∴地经某某湾跨海大桥到某某港的路程为180千米．
（2）1.8180282380⨯+⨯=（元），
∴该车货物从A 地经某某湾跨海大桥到某某港的运输费用为380元．
（3）设这批货物有y 车，
由题意得[80020(1)]3808320y y y -⨯-+=， 整理得2
604160y y -+=，
解得18y =，252y =（不合题意，舍去），
∴这批货物有8车．
点评:这个情境问题设置得非常好，一是以“某某湾跨海大桥”为问题情境，体现了数学的时代特色，引导学生关注时事；第二，有效考查了构建一元一次方程、一元二次方程模型求解应用问题的能力；第三，所设置的三个问题由易到难、层层递进，也符合新课标中“不同的人在数学上有不同的发展”的理念追求．
2、建立不等式（组）模型
现实世界中不等关系是普遍存在的，如日常生活中的决策、市场营销和社会生活中有关统筹安排等问题，都可以转化为相应的不等式（组），从而使得问题得到解决．
例4某工厂计划为震区生产A B ，两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A 型桌椅（一桌两椅）需木料3
0.5m ，一套B 型桌椅（一桌三椅）需木料3
0.7m ，工厂现有库存木料3
302m ． （1）有多少种生产方案？
（2）现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A 型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B 型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y （元）与生产A 型桌椅x （套）之间的关系式，并确定总
费用最少的方案和最少的总费用．（总费用=生产成本+运费）
（3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由．
解：（1）设生产A 型桌椅x 套，则生产B 型桌椅(500)x -套，由题意得
0.50.7(500)302
23(500)1250
x x x x +⨯-⎧⎨
+⨯-⎩≤≥ 解得240250x ≤≤
因为x 是整数，所以有11种生产方案．
（2）(1002)(1204)(500)2262000y x x x =+++⨯-=-+
220-<，y 随x 的增大而减少．
∴当250x =时，y 有最小值．
∴当生产A 型桌椅250套、B 型桌椅250套时，总费用最少．
此时min 222506200056500y =-⨯+=（元）
（3）有剩余木料，最多还可以解决8名同学的桌椅问题．
3、建立函数模型
函数是表示数量之间关系变化规律的数学模型，从实际应用背景中构建函数模型的思维水平的考查已成为中考的一个重点．
例4为迎接2008年奥运会，某学校组织了一次野外长跑活动．参加长跑的同学出发后，另一些同学从同地骑自行车前去加油助威．如图，线段12L L ，分别表示长跑的同学和骑自行车的同学行进的路程y （千米）随时间x （分钟）变化的函数图象．根据图象，解答下列问题：
（1）分别求出长跑的同学和骑自行车的同学的行进路程y 与时间x 的函数表达式； （2）求长跑的同学出发多少时间后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学？
x （分钟）
解析：（1）由图象上信息（点的坐标）可求得解析式，长跑：16y x =
,骑车：1
102
y x =-； （2）我们要思考的是“追上了”是什么意思，反映在图上就是两个一次函数的图象（两条直线）有了交点，
想到这点，联立以上两个得方程组：16
1102
y x y x ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：x=30,y=5,即长跑的同学出发了30分钟后，骑自
行车的同学就追上了长跑的同学. (某某省海安县李堡镇初级中学 X 东升)
点评：第（1）问主要是利用图像读出图象上点的坐标，用待定系数法确定相应的解析式；第（2）问是要理解“追上了”的涵义，即函数图像的交点坐标就是把函数的解析式联立，构成方程组，解出方程组的解也就是是图像的交点坐标，反映在实际问题中，该交点就是骑自行车的同学就追上了长跑同学的那一时刻.
例5红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m （件）与时间t （天）的关系如下表：
未来40天内，前20天每天的价格y 1（元/件）与时间t （天）的函数关系式为25t 41
y 1+=（20t 1≤≤且t 为整数），后20天每天的价格y 2（元/件）
与时间t （天）的函数关系式为40t 2
1
y 2+-=（40t 21≤≤且t 为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m （件）与t （天）之间的关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a<4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t （天）的增大而增大，求a 的取值X 围．
解析：(1)将⎩⎨
⎧==941m t 和⎩⎨⎧==90
3
m t 代入一次函数m=kx+b 中，有⎩⎨⎧+=+=b k b k 39094，
∴⎩
⎨⎧=-=962
b k ，∴m=－2x+96.
经检验，其它点的坐标均适合以上解析式，故所求函数解析式为m=－2x+96. (2)设前20日销售利润为P 1元，后20日销售利润为P 2元， 由P 1=(－2x+96)(
41t+5)=－21t 2+14t+480=－21(t －14)2
+578. ∵1≤t≤20且t 为整数∴当t=14时，P 1有最大值578元. 由P 2=(－2x+96)(－
2
1t+20)=t 2－88t+1920= (t －44)2
－16 ． ∵21≤t≤40且对称轴为t=44，∴函数P 2在21≤t≤40上随t 的增大而减小， ∴t=21时，P 2有最大值为(21－44)2
－16=513元. ∵578＞513，故第14天时，销售利润最大为578元.
(3) P 1=(－2x+96)(
41t+5－a )= －21t 2
+(14+2a )t+480－96 a 对称轴为t=)
2
1(2)
214(-⨯+-a =14+2a .
∵1≤t≤20，∴当t=14+2a ≥20即a ≥3时，P 1随t 的增大而增大．又∵a ＜4，∴3≤a ＜4.
点评：这个问题有效考查了一次函数、二次函数的知识．第（1）问题如果不能直觉的发现是一次函数关系，也没有关系，逐个验证，选取相应的有序数对即可迅速确定函数关系；而后两问则对二次函数最值问题进行了深度的探究，其中第（2）问题涉及两个二次函数最值的比较，这两个最值一个是利用最值公式求出，另一个却是分析图象特点，在“21≤t≤40”这一分支上获取的，这里就有一定的难度了．到了第（3）问，二次函数解析式中含有待定系数a ，求出抛物线的对称轴“t=14+2a ”成为问题突破的关键，因为在对称轴的左侧，函数是递增的，这样就成功构造不等式“14+2a ≥20”，再结合“a ＜4”问题获解． 4、统计、概率型应用问题
统计型应用题，主要考查统计思想与方法，通过对数据的收集、描述、分析，作出合理的决策，同时考查学生应用数学的意识和处理数据、解决实际问题的能力．
例6八年级（1）班开展了为期一周的“孝敬父母，帮做家务”社会活动，并根据学生帮家长做家务的时间来评价学生在活动中的表现，把结果划分成A B C D E ，，，，五个等级．老师通过家长调查了全班50名学生在这次活动中帮父母做家务的时间，制作成如下的频数分布表和扇形统计图． 学生帮父母做家务活动时间频数分布表
B A
E D
学生帮父母做家务活动评价
等级分布扇形统计图
（1）求a b ，的值；
（2）根据频数分布表估计该班学生在这次社会活动中帮父母做家务的平均时间；
（3）该班的小明同学这一周帮父母做家务2小时，他认为自己帮父母做家务的时间比班级里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计量说明理由．
解析：（1）504020a =⨯=%，5021020315b =----=． （2）0.753 1.2515 1.7520 2.2510 2.752
1.6850
x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
=（小时）
； 答：该班学生这一周帮助父母做家务时间的平均数约为1.68小时．
（3）符合实际．设中位数为m ，根据题意，m 的取值X 围是1.52m <≤，因为小明帮父母做家务的时间大于中位数．所以他帮父母做家务的时间比班级中一半以上的同学多．
点评：前两个小问涉及统计图表栏目补全及加权平均数的求解，属于基础题．第（3）问在解答时注意结合适当的统计量进行说明，这个要求就稍微高些了，有些同学们可能不能很准确地选用“中位数”来帮助说明，怎么发现呢？抓住题中“比班级里一半以上的同学多”这个关键语句，有助于让我们在几个统计量中选择“中位数”了．再说，容易混淆的是想选用众数来说明，但本题所给的信息中，不能求出众数，这条方向基本堵塞．
例7一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2，3，4，x ，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和．记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：
解答下列问题：
（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的概率将稳定在它的频率附近，试估计出现
“和为7”的概率；
（2）根据（1），若x 是不等于2，3，4的自然数，试求x 的值．
解析：(1)认真分析上表实验数据发现，当摸球总次数不断增大时，“和为7”的频率渐趋稳定于，于是我们可以利用频率估计概率的方法估计为．
(2)结合(1)中估计出来的“和为7”的概率为，这可看作1
3
的近似值，而所给的四个小球随机摸出2个小球的可能性列表如下：
很明显，由于此时6种情形中和为7的只有一种，是达不到
1
3
的概率的，必然还有一种情形和为7，而由于x 是不等于2，3，4的自然数，那只有第3种情形可能和为7了，即x =5.
点评：本题给出一个实验情境，第（1）问只要认真观察实验数据并结合频率与概率的关系可以获解．而第（2）问则要将可能的摸球组合列表后结合推理才能分析出x 的可能数字． 5、几何型应用题
这类题在工程选点定位、测量及优化设计方面应用较广，要求学生能从实际问题中抽象出几何模型并进行解答．
例8如图11，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器台．
解析：要求在圆形边缘上安装监视器的个数，怎样分析这个问题呢？还是从监控角度
出发来思考，如果只安装两个监视器，是不能监控整个展厅的，这可以从圆中同弧所求的圆周角等于圆心角的一半来思考，整个圆周所对的两个圆周角（把两个监视器看成圆周角的顶点）是最多只能涵盖
652130︒⨯=︒，而整个圆周所对的不同圆周角度数之和为180度，显然装有三个监视器（可以安装在圆
图11
65
内角三角形的三个顶点处）可以监控整个展厅了．
点评：这个以安装监控器为问题背景，设计新颖而独特．从求解思路看，其实应用了圆周角、圆心角相关知识，考查了学生运动数学知识解决实际问题的能力．本题也体现了渗过现象看本质的求解思路，发现问题的深层知识点，才能顺利解题．
例9某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为的正方形ABCD，点E、F分别在边BC 和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．
试判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并简要说明理由.
解析：四边形EFGH是正方形．
图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的,故CE=CF =CG．∴△CEF是等腰直角三角形.因此四边形EFGH是正方形.
点评：本题考查了正方形的识别问题，从所给的图形可以直观的感觉到这是一个正方形，这种印象在解题中往往起到很大的方向性作用，我们大胆地猜想到这个结论后，再结合题中的信息向这个方向细心的前进．正所谓“大胆的想象，小心的求证”．
例10某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设管道到另外两处．
如图，甲，乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB段
和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中
学．点B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M
的正西方向，点D在点M的南偏西60
的处．
东
北
例9图
(2)
(1)
为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：
方案一：供水站建在点M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值； 方案二：供水站建在乙村（线段CD 某处），甲村要求管道建设到A 处，请你在图①中，画出铺设到点A 和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；
方案三：供水站建在甲村（线段AB 某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．
综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？
解析：方案一：由于供应站M 位置固定，只需点M 到线段AB 、CD 的距离最短即可，由题意可得：MB ⊥OB,所以甲村的最短距离为MB ．点M 到乙村的最短距离为MD ．
所以将供水站建在点M 处时，管道沿MD,MB 铁路建设的长度之和最小．
此时最小值为3MB MD +=+ 方案二：供水站建在乙村, 铺设到点A 和点M 处的管道长度之和最小,其实质是在直线CD 上取一点P ，使PA+PM 最小，这一问题类似于“将军饮马”问题，只要作出点M 关于直线CD 的对称点M /
，连接A M /
交直线CD 于点P(如图①)，也可作出点A 关于直线CD 的对称点A /
，连接A /
3.
方案三：这一问题看起来比方案二更复杂，仔细分析可以发现其与方案二相似，供水站建在甲村，铺设到乙村某处和点M 处的管道长度之和最小，即在射线OF 上找一点G ,使DG+GMM 关于射线OF 的对称点M /
，过点M /
作M N OE '⊥于点N ，交OF 于点G ，交AM 于点H ，连接GM ，则GM /=GM ．所以M /N 为点M /
到OE 的最短
距离，不难证明点N 与点D 两点重合，即M N '过D 点．所以把供水站建在甲村的G 处，管道沿GM GD
，M
A
E
C D
B
F
30
P ' 甲村
图①
M '
图②
P
O
word
- 11 - / 11
线路铺设的长度之和最小．最小值为GM GD M D'
+==
综上，323
+<∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短．
点评：本题富有实际意义，把“将军饮马”问题融入到“设计管道路线”的问题之中，使人感到巧妙而又贴合实际.问题设置由易到难，使不同程度的学生都能获取解决问题的乐趣，以实现“不同的人在数学上得到不同的发展”. 问题的解决具有挑战性，让学生经历三种方案的分析与比较以及实际问题的解决过程，使他们真正体验到学习数学的乐趣和数学知识的价值，从而增强他们学习数学的信心.
三、命题趋势及复习建议
纵观各地的应用性试题发现，方程类试题常与函数图象融为一体，更贴近学生的生活实际，从研究函数的数学性质转移到函数知识的实际应用，特别是利用函数解应用题的问题明显增多．同时，新的课题学习应引起每一个教师的重视．因此在教学中应要求学生熟悉社会热点中一些基本生活情境，善于用数学的眼光去观察、分析日常生活中的问题．让学生经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程，培养学生主动观察、实验、猜想、探究、交流的能力．教师和学生平时应收集一些数学应用的实例，对于课题学习，设法给学生提供动手操作、亲自实践的机会，从而帮助学生树立应用数学的意识．。