高考物理 解读真题系列 专题03 导数的几何意义与运算

专题03 导数的几何意义与运算
一、选择题
1.【导数的几何意义，两直线垂直关系，直线方程的应用，三角形面积取值范围】【2016·四川文科】
设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩
图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，
l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0,+∞)
D.(1,+ ∞)
【答案】A
2. 【平均变化率】【2015·北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ） A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升
【答案】B
二、非选择题
3. 【导数的几何意义，函数的奇偶性、解析式】 【2016·新课标Ⅲ文数】已知()f x 为偶函数，当0
x ≤时，
1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式_____________________________.
【答案】2y x =
4. 【导数的几何意义，函数的单调性】【2016·新课标2文数】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）220x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞
5. 【利用导数研究曲线的切线，函数的零点】【2016·北京文数】 设函数()3
2
.f x x ax bx c =+++
（I ）求曲线().y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程；
（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.
【答案】（Ⅰ）y bx c =+;（Ⅱ）320,
27c ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
;（III ）略. 6. 【导数的运算法则】【2015·天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．
【答案】3
7. 【导数的几何意义】【2015·陕西，文15】函数x
y xe =在其极值点处的切线方程为____________.
【答案】1
y e
=-
8. 【利用导数的几何意义求函数的切线，常见函数的导数】【2015·新课标1，文14】 已知函数()3
1f x ax x =++的图像在点()()
1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = .
【答案】1
9. 【导数的几何意义，直线与抛物线相切问题】【2015新课标2文16】已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()2
21y ax a x =+++ 相切,则a = ．
【答案】8
10. 【导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值，函数零点存在性定理】【2015·山东，文20】设函数. 已知曲线
在点(1,(1))f 处的切线与直线
平
行.
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）是否存在自然数k ，使得方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数()min{(),()}m x f x g x =（{},min p q 表示，,p q 中的较小值），求()m x 的最大值.
【答案】（I ）1a = ；(II) 1k = ；(III)
24
e
. 11. 【导数的几何意义，导数的应用】【2015·天津，文20】已知函数4
()4,,f x x x x R =-? （I ）求()f x 的单调区间;
（II ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £;
（III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x <,求证:1321-43
a x x <-+.
【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞;（II ）略;（III ）略
2017年真题
1. 【导数的几何意义】【2017课标1，文14】曲线2
1
y x x
=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+
【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点),(00y x P 及斜率，其求法为：设),(00y x P 是曲线)(x f y =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：
))(('000x x x f y y -=-．若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切
线定义知，切线方程为0x x =．
2. 【导数的几何意义】【2017天津，文10】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 . 【答案】1 【解析】
(1)f a =，切点为(1,)a ，1()f x a x
'=-，则切线的斜率为(1)1f a '=-，切线方程为：(1)(1)y a a x -=--，
令0x =得出1y =，l 在y 轴的截距为1.
【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题型，函数()f x 在点0x 处的导数()0f x '的几何意义是曲线()y f x =在点()00,P x y 处的切线的斜率．相应地，切线方程为()()000y y f x x x '-=-．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.
3. 【导数的几何意义，利用导数求函数的最值】【2017北京，文20】已知函数()e cos x
f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2
上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2
π-. 【解析】
试题解析：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x
f x x x f ''=--=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.
（Ⅱ）设()e (cos sin )1x
h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x
x
h x x x x x x '=---=-. 当π
(0,)2
x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2
上单调递减.
所以对任意π(0,]2
x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π[0,]2
上单调递减.
因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22
f =-. 【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.
【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为()f x '不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x '= ，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()h x '恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，根据单调性求最值，从而判断()y f x =的单调性，求得最值.
4. 【导数的几何意义，导数的应用】【2017山东，文20】（本小题满分13分）已知函数
()3211
,32
f x x ax a =-∈R .,
(I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()
3,3f 处的切线方程；
(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 【答案】(I)390x y --=,（2）(II)⑴0a =无极值；⑵0a <极大值为3
1sin 6
a a --,极小值为a -； ⑶0a >极大值为a -,极小值为3
1sin 6
a a --. 【解析】
(I)根据求出切线斜率,再用点斜式写出切线方程；(II)由()()(sin )g x x a x x '=--,通过讨论确定()g x 单调性,再由单调性确定极值.
试题解析：（I ）由题意'
2
()f x x ax =-，
所以，当2a =时，(3)0f =，'2
()2f x x x =-，
所以'
(3)3f =，
因此，曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程是3(3)y x =-， 即390x y --=.
（II ）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--， 所以'
'
()()cos ()sin cos g x f x x x a x x =+---，
()()sin x x a x a x =--- ()(sin )x a x x =--
令()sin h x x x =-， 则'
()1cos 0h x x =->， 所以()h x 在R 上单调递增， 因为(0)0h =，
所以，当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <.
所以，当x a =时，()g x 取到极大值，极大值是3
1()sin 6
g a a a =-
-，
当0x =时，()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-. （2）当0a =时，'
()(sin )g x x x x =-， 当(,)x ∈-∞+∞时，'()0g x ≥，()g x 单调递增；
所以，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值. （3）当0a >时，'
()()(sin )g x x a x x =--，
当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，'
()0g x >，()g x 单调递增； 当(0,)x a ∈时，0x a -<，'()0g x <，()g x 单调递减； 当(,)x a ∈+∞时，0x a ->，'()0g x >，()g x 单调递增. 所以，当0x =时，()g x 取到极大值，极大值是(0)g a =-； 当x a =时，()g x 取到极小值，极小值是3
1()sin 6
g a a a =--. 综上所述：
当0a <时，函数()g x 在(,)a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(,0)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是3
1()sin 6
g a a a =-
-，极小值是(0)g a =-. 当0a =时，函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；
当0a >时，函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)g a =-，极小值是3
1()sin 6
g a a a =--. 【考点】导数的几何意义及导数的应用
【名师点睛】(1)求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么
f (x )在x 0处取极大值,如果左负右正,那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有极值,
那么y ＝f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．。