成都七中实验学校八年级数学上册第三单元《轴对称》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．下列命题中，假命题是（ ）
A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B ．等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形
C ．相等的两个角是对顶角
D ．有一个角是60的等腰三角形是等边三角形
2．如图，在ABC ∆中，DE 垂直平分BC 交AB 于点,D 交BC 于点E ．若
10,8AB cm AC cm ==，则ACD ∆的周长是（ ）
A ．12cm
B ．18cm
C ．16cm
D ．14cm 3．如图，在ABC 中，34B ∠=︒，BCA ∠的平分线CD 交AB 于点D ，若D
E 垂直平分BC 交BC 于点E ，则A ∠的度数为（ ）
A ．90°
B ．68°
C ．78°
D ．88°
4．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（ ）
A ．()2,2
B ．(2,1)-
C ．()2,1-
D ．(2,1)-- 5．平面直角坐标系中，已知()1,1A ，()2,0B ．若在x 轴上取点C ，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
6．如图，在ABC 中，87,A ABC ∠=︒∠的平分线BD 交AC 于点,D E 是BC 中点，且DE BC ⊥，那么C ∠的度数为（ ）
A ．16︒
B ．28︒
C ．31︒
D ．62︒
7．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（ ）
A ．∠1＝2∠2
B ．∠1+∠2＝180°
C ．∠1+3∠2＝180°
D ．3∠2﹣∠1＝180° 8．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．如图，AEC BED △△≌，点D 在AC 边上，AE 和BD 相交于点O ，若
30AED ∠=︒，120∠=︒BEC ，则ADB ∠的度数为（ ）
A ．45°
B ．40°
C ．35°
D ．30°
10．若a b c 、、是ABC 的边，且222()()()0,a b a c b c -+-+-=则ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 11．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ACB ＝45°，点D 是AB 中点，AF ⊥CD 于点H ，交BC 于点F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于点E ，给出下列结论：①∠BAE ＝∠ACD ，②△ADC ≌△BEA ，③AC ＝AF ，④∠BDE ＝∠EDC ，⑤BC ⊥DE ．上述结论正确的序号是（ ）
A ．①②⑤
B ．②④⑤
C ．①②④
D ．①②③ 12．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，
E 是ABC 内的两点，AD 平分
BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（ ）
A ．6cm
B ．6.5cm
C ．7cm
D ．8cm
二、填空题
13．平面直角坐标系xOy 中，先作出点P (2,3)-关于y 轴的对称点，再将该对称点先向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到点P 1，称为完成一次图形变换，再将点P 1进行同样的图形变换得到点P 2，以此类推，则点P 2020的坐标为___________．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点1B ，与y 轴交点于D ，且
111,60OB ODB =∠=︒，以1OB 为边长作等边三角形11AOB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，
交直线l 于点2B ，以12A B 为边长作等边三角形212A A B ，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为边长作等边三角形323A A B ，…，按此规律进行下去，则点6A 的横坐标是______．
15．如图，已知点D 、点E 分别是边长为2a 的等边三角形ABC 的边BC AB 、的中点，连接,AD 点F 为AD 上的一个动点，连接,EF BF 、若,AD b =则BEF 的周长的最小值是__________．
16．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A ，1B B 上分别截取
1212B A B B =，连接22A B ，……按此规律作下去，若11A B O α∠=，则
1010A B O ∠=___________．
17．若等腰三角形的一条边长为5cm ，另一条边长为10cm ，则此三角形第三条边长为__________cm ．
18．如图，P 是等边三角形ABC 内一点，∠APB ，∠BPC ，∠CPA 的大小之比为5：6：7，则以PA ，PB ，PC 为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是_________________．
19．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE CF =，BD CE =，如果44A ∠=︒，则EDF ∠的度数为__．
20．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE ，如果∠A ＝44°，则∠EDF 的度数为__．
三、解答题
21．如图，△ABC 是等边三角形，E 、F 分别是边AB 、AC 上的点，且AE ＝CF ，且CE 、BF 交于点P ，且EG ⊥BF ，垂足为G ．
（1）求证：∠ACE ＝∠CBF ；
（2）若PG ＝1，求EP 的长度．
22．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A B C ，，的坐标分别为()()()4,5,2,1,1,3--- （1）作出ABC ∆关于y 轴对称的A B C ∆'''，并写出点'B 的坐标
（2）点P 是x 轴上的动点，当A BP ∆'周长最小时，找出点P ，并直接写出点P 的坐标
23．如图，在ABC 中，AB AC =，CD AB ⊥，BE AC ⊥，垂足为D 、E ，BE 、CD 相交于点O ．
（1）求证：DBC ECB △△≌；
（2）求证：OD OE =．
24．如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为G ，且AD AB =，60EDF ∠=︒，其两边分别交AB ，AC 于点E ，F ．
（1）求证：ABD △是等边三角形；
（2）若2DG =，求AC 的长；
（3）求证：AB AE AF =+．
25．如图，已知四边形ABCD 中，60B ∠=，边8cm AB BC ==，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB ，BC 方向匀速运动，其中点P 运动的速度是每秒1cm ，点Q 运动的速度是每秒2cm ，当点Q 到达点C 时，P ，Q 两点都停止运动，设运动时间为t 秒．
解答下列问题：
（1）AP =_______________，BP =______________，BQ =______________．(用含t 的式子表示)
（2）当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 的位置关系如何．请说明理由．
（3）在点P 与点Q 的运动过程中，BPQ 是否能成为等边三角形．若能，请求出t 的值．若不能，请说明理由．
26．如图，在平面直角坐标系xOy 中点(6,8)A ，点(6,0)B ．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P ，使点P 同时满足下列两个条件（要求
保留作图痕迹，不必写出作法）；
①点P到A，B两点的距离相等；
∠的两边的距离相等．
②点P到xOy
（2）在（1）作出点P后，直接写出点P的坐标______．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
利用全等三角形的判定和等腰三角形的性质判断A、B，根据对顶角的定义判断C，根据等边三角形的判定判断D．
【详解】
解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是真命题；
B．已知等腰三角形的两腰相等，且顶角的平分线即为底边上的高，则可根据为HL可以得出两个三角形全等，故本选项是真命题；
C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题；
故选C．
【点睛】
本题考查了命题和定理，解题的关键是明确题意，可以判断题目中的命题的真假，对于假命题能举出反例或者说明理由．
2．B
解析：B
【分析】
∆的周长= AB+AC，据此可解．
由题意可知BD=CD，因此ACD
【详解】
解：∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD，
∆的周长=AD+CD+AC
∴ACD
= AD+BD+AC
= AB+AC
=10+8
=18(cm)，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质，关键在于求出BD=CD ．
3．C
解析：C
【分析】
由垂直平分线的性质，可得∠DCB=34B ∠=︒，由角平分线的定义得∠ACB=2∠DCB=68°，进而即可求解．
【详解】
∵DE 垂直平分BC 交BC 于点E ，
∴DB=DC ，
∴∠DCB=34B ∠=︒，
∵CD 是BCA ∠的平分线，
∴∠ACB=2∠DCB=68°，
∴∠A=180°-34°-68°=78°，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练垂直平分线的性质定理，是解题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
根据点A ，点A'坐标可得点A ，点A'关于y 轴对称，即可求点B'坐标．
【详解】
解：∵将线段AB 沿坐标轴翻折后，点A （1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3）， ∴线段AB 沿y 轴翻折，
∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为（-2，1）
故选：C ．
【点睛】
本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．
5．C
解析：C
【分析】
分三种情况：当AB=AC 时，当BA=BC 时，当AC=AB 时，根据等腰三角形两边相等的性质分别作图即可得解．
【详解】
当AB=AC 时，点C 与点O 重合；
当BA=BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，与x 轴有两个交点；
当AC=AB 时，作线段AB 的垂直平分线，与x 轴有一个交点，
共有4个点C ，
故选：C ．
．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，直角坐标系中作等腰三角形的方法，熟记等腰三角形的性质并利用其作图是解题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
根据角平分线的定义得到ABD CBD ∠=∠，根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC ，进而得到DBC C ∠=∠，根据三角形内角和定理列式计算即可．
【详解】
∵BD 平分ABC ∠，
∴ABD CBD ∠=∠，
∵DE BC ⊥，E 是BC 中点，
∴DB=DC ，
∴DBC C ∠=∠，
∴ABD CBD C ∠=∠=∠，
∴18087ABD CBD C ∠+∠+∠=︒-︒，
解得：31C ∠=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．
【详解】
解：∵2∠是ACD △的外角，
∴12C ∠+∠=∠，
∴∠C=∠2-∠1，
∵AB AC =，
∴B C ∠=∠，
∵AB BD =，
∴2BAD ∠=∠，
∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，
∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，
∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．
故选：D ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 8．B
解析：B
【分析】
根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．
【详解】
第一个图案是轴对称图形，
第二个图案不是轴对称图形，
第三个图案是轴对称图形，
第四个图案不是轴对称图形，
综上所述：是轴对称图形的图案有2个，
故选：B ．
【点睛】
本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．
9．A
解析：A
【分析】
由△AEC ≌△BED 可知：EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度数，从而可求出∠ADB 的度数．
【详解】
解：∵△AEC ≌△BED ，
∴EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，
∴∠BEO+∠AED=∠CED+∠AED ，
∴∠BEO=∠CED,
∵∠AED=30°，∠BEC=120°，
∴∠BEO=∠CED=
120302︒-︒=45°， 在△EDC 中，
∵EC=ED ，∠CED=45°，
∴∠C=∠EDC=67.5°，
∴∠BDE=∠C=67.5°，
∴∠ADB=180°-∠BDE-∠EDC=180°-67.5°-67.5°=45°，
故选A ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质．
10．D
解析：D
【分析】
由偶次方的非负性质得出a-b=0，a-c=0，b-c=0，得出a=b=c ，即可得出结论．
【详解】
解：∵222()()()0,a b a c b c -+-+-=，
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0，
∴a=b ，a=c ，b=c ，
∴a=b=c ，
∴这个三角形是等边三角形；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定、偶次方的非负性质；熟练掌握等边三角形的判定方法，由偶次方的非负性质得出a=b=c 是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
由90BAE FAC ∠+∠=︒，90ACD FAC ，得出BAE ACD ∠=∠，①正确；由ASA 证明ADC BEA ∆≅∆，②正确；由AC AB AF ，得出③不正确；由全等三角形
的性质得出AD BE =，由AD BD =，得出BE BD =，45
BDE EDC ，④不正确；由等腰直角三角形的三线合一性质得出⑤正确；即可得出结论．
【详解】
90BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，
ABC ∴是等腰直角三角形，90BAE FAC ∠+∠=︒，
AB AC ∴=，45CBA ACB ，
AF CD ⊥，
90AHC ∴∠=︒，
90ACD FAC ，
BAE ACD ∴∠=∠，①正确；
//BE AC ，
180ABE BAC ，
90ABE ∴∠=︒，
在ADC ∆和BEA ∆中，
90CAD
ABE AC
AB ACD BAE
()ADC
BEA ASA ，②正确； AC AB AF ，
∴③不正确； ADC BEA ， AD BE ∴=，
点D 是AB 中点，
AD BD ∴=，
BE BD ∴=，
45BDE EDC ，④不正确；
90ABE ∠=︒，BE BD =，45CBA ∠=︒，
45EBP ，即BP 平分ABE ∠，△BDE 为等腰直角三角形，
∴根据“三线合一”可得BC ⊥DE ，⑤正确．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．
【详解】
延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，
AB AC =，AD 平分BAC ∠，
∴AN BC
⊥，BN CN
=，
∴90
ANB ANC
∠=∠=，
EBC E
∠=∠=，
60
∴EBM
△是等边三角形，
=，
6
BE cm
∴6
===，
EB EM BM cm
//
DF BC，
∴60
∠=∠=，
EFD EBM
∴EFD
△是等边三角形，
=，
2
DE cm
∴2
===，
EF FD ED cm
∴4
=，
DM cm
△是等边三角形，
EBM
∴60
∠=，
EMB
∴30
∠=，
NDM
∴2
NM cm
=，
∴4
=-=，
BN BM NM cm
∴28
==．
BC BN cm
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN的长度是解决问题的关键．
二、填空题
13．【分析】按程序先作y轴对称求出点坐标横坐标-2纵坐标-1完成一次图形变换求出P变换后的坐标找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0偶次变换点的横坐标x=-2纵坐标变一次下移一个单位【详解】解：完成
--
解析：(2,2017)
【分析】
按程序先作y轴对称，求出点坐标，横坐标-2，纵坐标-1，完成一次图形变换求出P变换后的坐标，找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．
【详解】
-关于y轴的对称点（2，3），横坐标2-2=0，纵坐标3-解：完成1次图形变换，点P (2,3)
1=2，P1（0，2），
完成2次图形变换，点P1(0,2)关于y轴的对称点（0，2），横坐标0-2=-2，纵坐标2-
1=1，P2（-2，1），
完成3次图形变换，点P2（-2，1）关于y轴的对称点（2，1），横坐标3-3=0，纵坐标1-1=0，P3（0，0），
完成4次图形变换，点P3（0，0）关于y轴的对称点（0，0），横坐标0-2=-2，纵坐标0-1=-1，P4（-2，-1），
……,
完成2020次图形变换，点P2019（0，3-2019）关于y轴的对称点（0，-2016），横坐标0-2=-2，纵坐标-2016-1=-2017，P2020（-2，-2017）．
故答案为：（-2，-2017）．
【点睛】
本题考查图形规律探索问题，掌握图形程序变换的轴对称性质和平移特征，关键是找到变换规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．
14．5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A过A2作A2B⊥A1B2于B过A3作
A3C⊥A2B3于C根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质分别求得A1的横坐标为A2的横坐标为A3的横坐标为进而
解析：5
【分析】
过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形
的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为
1
21
2
-
，，A2的横坐标
为
2
21
2
-
，A3的横坐标为
3
21
2
-
，进而得到A n的横坐标为
21
2
n-
，据此可得点A6的横坐
标．【详解】
解：如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=1
2
OB1=
1
2
，
即A1的横坐标为1
2
=
1
21
2
-
，
∵
160
ODB
∠=°，
∴∠OB 1D =30°，
∵A 1B 2//x 轴，
∴∠A 1B 2B 1=∠OB 1D =30°，∠B 2A 1B 1=∠A 1B 1O =60°，
∴∠A 1B 1B 2=90°，
∴A 1B 2=2A 1B 1=2，
过A 2作A 2B ⊥A 1B 2于B ,则A 1B =12
A 1
B 2=1， 即A 2的横坐标为12+1=2212
-， 过A 3作A 3C ⊥A 2B 3于C ，
同理可得,A 2B 3=2A 2B 2=4,A 2C =12
A 2
B 3=2， 即A 3的横坐标为12+1+2=3212
-， 同理可得,A 4的横坐标为12+1+2+4=4212
-， 由此可得,A n 的横坐标为212
n -， ∴点A 6的横坐标是62163==31.522
-， 故答案为31.5．
【点睛】
本题是一道找规律问题，涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键要利用等边三角形的性质总结出关于点A 的系列点的规律．
15．【分析】过C 作CE ⊥AB 于E 交AD 于F 连接BF 则BF+EF 最小证
△ADB ≌△CEB 得CE=AD=b 即BF+EF=b 再根据等边三角形的性质可得BE=a 从而可得结论【详解】解：过C 作CE ⊥AB 于E 交AD
解析：+a b
【分析】
过C 作CE ⊥AB 于E ，交AD 于F ，连接BF ，则BF+EF 最小，证△ADB ≌△CEB 得CE=AD=b ，即BF+EF=b ，再根据等边三角形的性质可得BE=a ，从而可得结论．
【详解】
解：过C 作CE ⊥AB 于E ，交AD 于F ，连接BF ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴BE=12
AB a = ∵等边△ABC 中，BD=CD ，
∴AD ⊥BC ，
∴AD 是BC 的垂直平分线（三线合一），
∴C 和B 关于直线AD 对称，
∴CF=BF ，
即BF+EF=CF+EF=CE ，
∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在△ADB 和△CEB 中，
∵ADB CEB ABD CBE AB CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ADB ≌△CEB （AAS ），
∴CE=AD=b ，即BF+EF=b ，
∴BEF 的周长的最小值为BE+CF=a+b ，
故答案为：a+b ．
【点睛】 本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．
16．【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A2B2O 依此类推即可得到结论【详解】解：∵B1A2＝B1B2∠A1B1O ＝α∴∠A2B2Oα同理
∠A3B3O ∠A2B2Oα∠A4B4Oα∴∠AnBnOα 解析：
512
α． 【分析】 根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A 2B 2O ，依此类推即可得到结论．
【详解】
解：∵B 1A 2＝B 1B 2，∠A 1B 1O ＝α，
∴∠A 2B 2O 12
=α， 同理∠A 3B 3O 12=
∠A 2B 2O 212=α， ∠A 4B 4O 3
12=α， ∴∠A n B n O 112n -=
α， ∴∠A 10B 10O 95221αα=
=． 故答案为：
512
α． 【点睛】 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．
17．10【分析】因为等腰三角形的两边分别为5cm 和10cm 但没有明确哪是底边哪是腰所以有两种情况需要分类讨论【详解】当5cm 为底时其它两边都为10cm5cm10cm10cm 可以构成三角形；当5cm 为腰时
解析：10
【分析】
因为等腰三角形的两边分别为5cm 和10cm ，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【详解】
当5cm 为底时，其它两边都为10cm ，
5cm 、10cm 、10cm 可以构成三角形；
当5cm 为腰时，其它两边为5cm 和10cm ，因为5+5=10，所以不能构成三角形，故舍去． 所以三角形三边长只能是5cm 、10cm 、10cm ，所以第三边是10cm ．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 18．2：3：4【分析】将△APB 绕A 点逆时针旋转60°得△AP′C 显然有△AP′C ≌△APB 连PP′证△AP′P 是等边三角形PP′=AP 所以△P′CP 的三边长分别为PAPBPC ；由∠APB ：∠BPC ：∠
解析：2：3：4．
【分析】
将△APB 绕A 点逆时针旋转60°得△AP′C ，显然有△AP′C ≌△APB ，连PP′，证△AP′P 是等边三角形，PP′=AP ，所以△P′CP 的三边长分别为PA ，PB ，PC ；由∠APB ：∠BPC ：∠CPA=5：6：7，设∠APB=5xº，∠BPC=6xº，∠CPA=7xº，5x+6x+7x=360，x=20，得到∠APB=100°，
∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=40°，∠P′PC=80°，∠PCP′=60°即可．【详解】
如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，
∵AP′=AP，∠P′AP=60°，
∴△AP′P是等边三角形，
∴PP′=AP，
∵P′C=PB，
∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，
∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，
设∠APB=5xº，∠BPC=6xº，∠CPA=7xº，
∴5x+6x+7x=360，
∴18x=360，
∴x=20，
∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，
∴∠PP′C=∠AP′C-∠AP′P=∠APB-∠AP′P=100°-60°=40°，
∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°，
∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°，
∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=40°：60°:80°=2：3：4．
故答案为：2：3：4．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．利用方程来解角成比例问题，三角形的内角和，用角度的和差计算解决问题．
19．56°【分析】根据AB=AC可证明又因为∠A=44°可求出∠ABC=∠ACB=68°根据利用三角形内角和定理即可求出∠EDF的度数；【详解】解：
∵BE=CFBD=CE∴在和中是等腰三角形；∴∠BDE
解析：56°
【分析】
∆≅∆，又因为∠A=44°，可求出∠ABC=∠ACB=68°，根据
根据AB=AC可证明DBE CEF
DBE CEF
∆≅∆，利用三角形内角和定理即可求出∠EDF的度数；
【详解】
=，
解：AB AC
ABC ACB
∴∠=∠，
∵BE=CF，BD=CE，
∴在DBE ∆和CEF ∆中
BE CF ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()DBE CEF SAS ∴∆≅∆，
DE EF ∴=，
DEF ∴∆是等腰三角形；
DBE CEF ∆≅∆，
∴∠BDE=∠CEF ，∠DEB=∠CFE ，
180A B C ∠+∠+∠=︒，∠A=44°，
1(18044)682
B ∴∠=︒-︒=︒ ∴∠BDE+∠DEB=112°
∴∠CEF +∠DEB=112°
180112=68DEF ∴∠=︒-︒︒，
18068562
EDF ︒-︒∴∠==︒． 故答案为：56︒．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质的掌握，以及三角形的内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题；
20．56°【分析】根据可求出根据△DBE ≌△ECF 利用三角形内角和定理即可求出的度数【详解】解：∵AB ＝AC ∴∠ABC ＝∠ACB 在△DBE 和△CEF 中∴△DBE ≌△ECF （SAS ）∴DE ＝EF ∴△DEF
解析：56°
【分析】
根据44A ∠=︒可求出68ABC ACB ∠=∠=︒，根据△DBE ≌△ECF ，利用三角形内角和定理即可求出 EDF ∠的度数．
【详解】
解：∵AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝∠ACB ，
在△DBE 和△CEF 中
BE CF ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DBE ≌△ECF （SAS ），
∴DE ＝EF ，
∴△DEF 是等腰三角形，
∵△DBE ≌△ECF ，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴()118044682
B ∠=︒-︒=︒， ∴1218068∠+∠=︒-︒，
∴3218068∠+∠=︒-︒，
∴∠DEF ＝68°， ∴18068562
EDF ︒-︒∠=
=︒． 故答案为：56°．
【点睛】 此题主要考查全等三角形的判定与性质的理解和掌握，主要应用了三角形内角和定理和平角是180︒，根据等腰三角形的性质得出B C ∠=∠是解题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）PE ＝2
【分析】
（1）证明△ACE ≌△CBF （SAS ），即可得到∠ACE ＝∠CBF ；
（2）利用由（1）知∠ACE ＝∠CBF ，求出∠BPE ＝60°，又EG ⊥BF ，即∠PGE ＝90°，得到∠GEP ＝30°，根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，可求出EP 的长．
【详解】
（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AC ＝BC ，∠A ＝∠BCF ＝60°，AB ＝AC ，
在△ACE 与△BCF 中，
AC ＝BC ，∠A ＝∠BCF ，AE ＝CF ，
∴△ACE ≌△CBF （SAS ），
∴∠ACE ＝∠CBF ；
（2）解：∵由（1）知，∠ACE ＝∠CBF ，
又∠ACE ＋∠PCB ＝∠ACB ＝60°，
∴∠PBC ＋∠PCB ＝60°，
∴∠BPE ＝60°，
∵EG ⊥BF ，即∠PGE ＝90°，
∴∠GEP ＝30°，
∴在Rt △PGE 中，PE ＝2PG ，
∵PG ＝1，
∴PE ＝2．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，解决本题的关键是证明△ACE ≌△CBF ．
22．（1）见解析，()'2,1B ；（2）见解析，()1,0P -
【分析】
（1）分别作出A ，B ，C 关于y 轴对称的对应点A′，B′，C′，即可得到答案．
（2）作点B 关于x 轴的对称点B″，连接A′B″交x 轴于P ，点P 即为所求．
【详解】
解：()1如图'''A B C ∆即为所求，
由图可知，()'2,1B ；
()2如图所示，点()1,0P -即为所求点．
【点睛】
本题考查作图——轴对称变换，轴对称——最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由“AAS”即可证明△BDC ≌△CEB ；
（2）由△BDC ≌△CEB ，推出BD=CE ，∠BCD=∠CBE ，得到OB=OC ，即可证明结论．
【详解】
（1）∵CD AB ⊥，BE AC ⊥，
∴∠BDC=∠BEC=90︒，
∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB ，
在△BDC 和△CEB 中，
90BDC BEC ABC ACB BC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDC ≌△CEB （AAS ）；
（2）∵△BDC ≌△CEB ，
∴CD=BE ，∠BCD=∠CBE ，
∴OB=OC ，
∴OD=OE ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形和全等三角形的判定和性质，关键是利用AAS 证明△BDC ≌△CEB ． 24．（1）见解析；（2）4AC =；（3）见解析
【分析】
（1）连接BD 由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD ＝∠DAC ＝
12×120°＝60°，再由AD ＝AB ，即可得出结论；
（2）由等边三角形三线合一可得，122DG AG AD ==
=，可得4AD AB AC ===，即可求解；
（3）由△ABD 是等边三角形，得出BD ＝AD ，∠ABD ＝∠ADB ＝60°，证出∠BDE ＝∠ADF ，由ASA 证明△BDE ≌△ADF ，得出AF ＝BE ，即可求解．
【详解】
证明：（1）AB AC =，AD BC ⊥，
12
BAD DAC BAC ∴∠=∠=∠， 120BAC ∠=︒，1120602
BAD DAC ∴∠=∠=⨯︒=︒， =AD AB ，ABD ∴是等边三角形．
（2）ABD 是等边三角形，
AD AB BD ∴==，
AD BC ⊥，122
DG AG AD ∴==
=， 4AD AB AC ∴===，即4AC =；
（3）ABD 是等三角形，
60ABD ADB ∴∠=∠=︒，BD AD =，
60EDF ∠=︒，ADB ADE EDF ADE ∴∠-∠=∠-∠，
即BDE ADF ∠=∠．
在BDE 和ADF 中，
60ABD DAC ∠=∠=︒，BD AD =，BDE ADF ∠=∠，
(ASA)BDE ADF ∴△≌△，
BE AF ∴=，
AB AE BE =+，AB AE AF ∴=+．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
25．（1）AP t =，8BP t =-，2BQ t =；（2）PQ AB ⊥，理由见解析；（3）能，当t 为8
3时，BPQ 为等边三角形
【分析】
（1）根据点P 、Q 的运动速度解答；
（2）连接AC ，得到△ABC 为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一证明；
（3）根据等边三角形的判定定理列出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）AP t =，8BP t =-，2BQ t =
故答案为：t ；8-t ；2t ；
（2）PQ AB ⊥．
理由如下：连接AC
∵AB BC =，60B ∠=，
∴ABC 是等边三角形．
∵Q 的速度是每秒2cm ，故当Q 与C 重合时，t 4=
又P 的速度是每秒1cm ，=8cm AB ，
∴=4AB BP =
又∵=CA CB ，
∴PQ AB ⊥．
（3）能．
∵60B ∠=，
∴当BP BQ =时，BPQ 为等边三角形，
∴82t t -=．
∴8
t ．
3
∴当t为8
时，BPQ为等边三角形．
3
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一、等边三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26．（1）作图见解析；（2）（4，4）
【分析】
（1）作AB的垂轴平分线和∠xOy的角平分线，它们的交点即为P点；
（2）由于点P在AB的垂轴平分线上，则P点的纵坐标为4，再利用点P在第一象限的角平分线上，则点P的横纵坐标相同，从而得到P点坐标．
【详解】
（1）如图，点P为所作；
（2）P点坐标为（4，4）．
故答案为（4，4）．
【点睛】
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．。